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第三章 时域分析法 时域分析法是根据系统的微分方程，以拉普拉斯变换作为数学工具，直接解出控制系统的时间响应。然后，依据响应的表达式及其描述曲线来分析系统的控制性能，如稳定性、快速性、稳态精度等，并找出系统结构、参数与这些性能之间的关系。 表达式 曲线
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3.1 典型输入信号及性能指标 一个系统的时间响应，不仅取决于系统本身的结构与参数，而且还同系统的初始状态以及加在系统上的外作用信号有关。 为了分析和比较控制系统的优劣，通常对初始状态和外作用信号做一些典型化处理。 初始状态：零状态 外作用：应尽可能简单又能反映实际情况。
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一、典型输入信号 1．阶跃函数 其表达式为 当a=1时，称为单位阶跃函数，记作1(t)，则有 单位阶跃函数的拉氏变换为
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2．速度函数（斜坡函数） 其表达式为 当a=1时，r(t)=t，称为单位速度函数，其拉氏变换为
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3．加速度函数（抛物线函数） 其表达式为 当a=1/2时，称为单位加速度函数，其拉氏变换为
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4．脉冲函数 其表达式为 单位脉冲函数δ(t)，其数学描述为 单位脉冲函数的拉氏变换为
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5．正弦函数 其表达式为 其拉氏变换为
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二、阶跃响应的性能指标 分析控制系统时的假定条件有： ①单位负反馈 ②初始状态为零 ③给定输入为单位阶跃函数
（由假设条件知，系统的期望输出为1） 对控制系统性能的一般要求：稳、快、准。 稳：即稳定性，在响应曲线上的反应是有界输入产生有界输出。 它是系统固有性质，由系统的结构和参数决定，与外界因素无关。
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由单位阶跃响应曲线判定系统的稳定性
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过渡过程性能指标：描述快速性和平稳性。 稳态性能指标：描述准确性。 ②上升时间tr ③峰值时间tp ④超调量% ⑤调节时间ts
①延迟时间td 误差带 ②上升时间tr % ③峰值时间tp 0.1 0.9 ess=1-h() ④超调量% ⑤调节时间ts 0.5 td ⑥振荡次数N tp ts ⑦稳态误差ess tr 控制系统的典型单位阶跃响应
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3.2 一阶系统分析 一阶系统也称为惯性环节 传递函数分母为一次多项式的系统，称为一阶系统。 一、一阶系统的数学模型
3.2 一阶系统分析 传递函数分母为一次多项式的系统，称为一阶系统。 一、一阶系统的数学模型 一阶系统的闭环传递函数为 一阶系统也称为惯性环节
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二、一阶系统的单位阶跃响应 单位阶跃输入的拉氏变换为 取C(s)的拉氏变换，可得一阶系统的单位阶跃响应
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动态分量即在动态过程/过渡过程中出现的分量。
初 则 或写成 css=1 代表稳态分量 代表动态分量 动态分量即在动态过程/过渡过程中出现的分量。 一阶系统的单位阶跃响应曲线是一条由零开始，按指数规律上升并最终趋于1的曲线。响应曲线具有非振荡特征，故又称为非周期响应。
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①没有超调 量； 初 ②调节时间 ts=3T(5%) ts=4T(2%) T越小系统快速性越好 ③没有稳态误差，即 一阶系统的阶跃响应
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三、
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五．一阶系统的单位脉冲响应
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微分 微分 稳态输出 1 t 通过对不同输入下的响应进行分析可得： ①稳态输出取决于输入。
1 t 微分 微分 ②对于线性定常系统，在零初始条件下，若输入信号间呈微分的关系，则其对应输出之间也呈微分关系。
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例3.1 一阶系统如图所示,试求系统单位阶跃响应的调节时间ts。如果要
求ts＝0.1 s，试问系统的反馈系数应调整为何值？ 解： (1) 由结构图写出闭环传递函数
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从(s)的分母多项式看出时间常数T=0.1 s，故调节时间
(2) 计算ts＝0.1 s的反馈系数值 设反馈系数为Kh，则系统闭环传递函数 故
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调节时间 要求ts=0.1 s，代入上式得 所以
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传递函数分母为二次多项式的系统，称为二阶系统。
二阶系统分析 传递函数分母为二次多项式的系统，称为二阶系统。 一、二阶系统的数学模型 闭环传递函数一般式 （P61页 3-16式） 其中： 为阻尼系数 为无阻尼自然频率/固有频率 为系统特征方程，其解为系统特征根。
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其闭环特征方程为 由二次方程求根公式得系统的特征根为 随着取值的不同，特征根(闭环极点) 在s平面上的分布有如下特点：
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二、二阶系统的单位阶跃响应 1.过阻尼>1的情况 系统闭环特征方程有两个不相等的负实根,设 则 稳态分量为1，动态分量为两项指数项。
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性能指标： ①无超调 ②无误差 ③调节时间？ 速度为0 过阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线（不同于一阶系统）
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闭环传递函数 经转换后可得 因此，过阻尼二阶系统可以看成两个惯性环节的串联。
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过阻尼二阶系统调节时间特性: 当T1=T2(=1的临界阻尼情况):ts=4.75T1；
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2.临界阻尼=1的情况 系统具有两个相等的负实根s1,2= -n。 所以 取C(s)的拉氏反变换，得临界阻尼下二阶系统的单位阶跃响应 h(t)曲线单调递增至稳态值，且初始速度为0.
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3.欠阻尼0<<1的情况 欠阻尼二阶系统具有一对负实部的共轭复根，时间响应呈衰减振荡特性，故又称为振荡环节。 系统闭环传递函数的一般形式为 特征根为一对共轭复根
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特征根为一对共轭复根 衰减系数 d 阻尼振荡角频率 阻尼角
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当输入信号为单位阶跃作用时 取C(s)的拉氏变换，得欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应
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或者写成 式中 稳态分量的值等于1，动态分量是一个随时间t的增长而衰减的振荡过程。 σ决定了瞬态分量衰减的快慢，即特征根距虚轴越远衰减越快； ωd决定了瞬态分量震荡的频率，即特征根距实轴越远震荡越剧烈；
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欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线
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无阻尼二阶系统的单位阶跃响应为具有频率为n的不衰减(等幅)振荡。
当 =0时，零阻尼响应为 无阻尼二阶系统的单位阶跃响应为具有频率为n的不衰减(等幅)振荡。
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平稳性： 越大，σ%小，平稳性越好。 图3-17 和σ%的关系曲线 二阶系统单位阶跃响应的通用曲线
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二阶系统单位阶跃响应的通用曲线 快速性： ：0→0.7，ts↓； 0.7→2，ts↑；
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稳态精度： ess=0 二阶系统单位阶跃响应的通用曲线
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三、欠阻尼二阶系统单位阶跃响应性能指标 1.上升时间tr
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2.峰值时间tp ：响应曲线达到第一峰值/最大值所需的时间。
令 应取
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3.超调量σ% 超调量的定义 超调量只是阻尼比的函数。
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4.调节时间ts 根据调节时间的定义得 根据调节时间的定义得 由此知，ts与ξωn近似成反比，即调节时间与特征根距虚轴的距离近似成反比。
由于上式较难求出具体解析表达式，故常采用近似计算：
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例3-2 设单位负反馈位置随动系统的开环传递函数
当给定位置为单位阶跃时，试计算放大器增益KA=200时，输出位置响应特性的性能指标：峰值时间tp、调节时间ts和超调量％ 。如果将放大器增益增大到KA=1500或减小到KA=13.5，那么对响应的动态性能有何影响？
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解：由于系统是单位负反馈，所以闭环传递函数
对照标准形式 得到 当KA=200时，得到
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故峰值时间 调节时间 超调量 如果KA增大到KA=1500，同样可计算出 则
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当KA减小到13.5时，可以算出 系统成为过阻尼二阶系统，峰值和超调量不复存在，而调节时间ts等效为大时间常数T1的一阶系统来计算，得到的值为
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不同KA时的阶跃响应曲线
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四、二阶系统响应性能的改善措施 （a）原系统 （b）增加速度负反馈 （c）增加一阶微分环节
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例题解析
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高阶系统分析 （一）高阶系统的单位阶跃响应： 不妨只考虑互异的极点的情况：
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高阶系统的单位阶跃响应： 上式表明， （1）高阶系统单位阶跃函数的响应由稳态值和一系列的衰减指数曲线及衰减振荡指数曲线组成。
（2）各指数项衰减的快慢取决于si和ξkωk，即取决于特征根到虚轴的距离。离虚轴越远衰减的越快。 （3）各指数项的幅值/系数(Ai、Bk)跟闭环零极点有关。
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（3）各指数项的系数(AiBk)与零极点分布间的关系：
①若极点远离虚轴，则相应系数很小； ②若某极点接近一零点，而又远离其他极点和零点，则相应系数也很小； ③若某极点远离零点又接近原点或其他极点，则相应系数就比较大；系数大而衰减慢的这些项将在动态响应过程中起主要作用。
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主导极点 系统有一个极点（一对复极点）离虚轴最近（且附近无零点存在），而其他极点与虚轴的距离是其距虚轴距离的五倍以上，则可近似认为，系统的动态特性由这个（这对）极点决定，其他极点引起的瞬态分量可忽略不计。则这个（这对）极点就称为高阶系统的主导极点。 高阶系统可利用主导极点降阶为一阶/二阶系统来近似估算其性能指标。 偶极子 距离很近的零极点其对系统的影响可忽略不计，这样的一对零极点被称为偶极子。
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例如 某系统闭环传递函数为： 其单位阶跃响应为： S2,3就是该系统的主导极点，对系统的瞬态响应过程其主要作用。S1为非主导极点。
模值之比（到原点的距离之比）： 某系统闭环传递函数为： 其单位阶跃响应为： S2,3就是该系统的主导极点，对系统的瞬态响应过程其主要作用。S1为非主导极点。
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二阶系统 三阶系统
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作业 P102 3.2/3.3
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3.5 系统稳定性分析 一、稳定性的定义 稳定性是系统的一种固有特性，它只取决于系统的结构和参数，而与初始条件及外作用无关。
3.5 系统稳定性分析 一、稳定性的定义 如果系统在扰动作用下偏离了原来的平衡状态，当扰动消失后经过足够长的时间系统能重新恢复到原来的平衡状态则称系统是稳定的。反之，则系统具有不稳定性。 稳定性是系统的一种固有特性，它只取决于系统的结构和参数，而与初始条件及外作用无关。
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二、稳定性的数学条件 （简化处理） 设系统处于全零平衡状态，特征根均为不同实根，现选单位脉冲信号作为输入信号，则系统输出响可写成：
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系统特征根（即闭环极点）都具有负实部，或者说特征根都严格位于s左半平面（虚轴左方）。
即单位脉冲响应为： 系统稳定 系统稳定的充要条件为： 系统特征根（即闭环极点）都具有负实部，或者说特征根都严格位于s左半平面（虚轴左方）。 具有负实部
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三、代数判据 3．劳思(Routh)判据 若系统的特征方程为 系统稳定的充分必要条件是：
劳思表中第一列所有元素均大于零，如果第一列出现小于零的元素，则系统不稳定。并且第一列中数值符号改变的次数等于系统特征方程正实部根的数目。
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试用劳思判据判别系统的稳定性，并确定正实部根的数目。
i i i i 例 已知系统的特征方程为 试用劳思判据判别系统的稳定性，并确定正实部根的数目。 解： 根据特征方程的系数列出劳思表： ①第一列元素不同号，所以系统不稳定。 ②第一列中数值符号改变两次，所以有两个正实部的根。
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4．劳思稳定判据的特殊情况 例如特征方程为 列写劳思表： ①用正数代替第三行第一列的0元素，继续计算劳思表。
i i i i 4．劳思稳定判据的特殊情况 例如特征方程为 列写劳思表： ①用正数代替第三行第一列的0元素，继续计算劳思表。 出现这种情况系统肯定不会是稳定的，当第一列元素无符号改变，表明系统有一对纯虚根；有符号改变时，表明系统有s右平面的根。 ②令0研究劳思表的第一列元素符号。 ③第一列元素符号:＋－ ＋改变两次，系统不稳定 。
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已知一系统的特征方程为 列写劳思表： ①s1行全为零。由s2行系数构造辅助方程 F(s)=21s2+63=0 求导得
i i i i 已知一系统的特征方程为 列写劳思表： ①s1行全为零。由s2行系数构造辅助方程 F(s)=21s2+63=0 求导得 用方程代替原来表中的零行，再继续计算。 ②劳思表第一列有两次符号变化，因此有两个实部为正的根，系统不稳定。
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例 单位负反馈系统的开环传递函数 试求增益K的稳定域。 解： 系统的闭环特征方程 即
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列劳斯表如下： 解： s3 s2 s1 s0 K 40K 所以保证系统稳定，增益的稳定域为 0<K<14
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为了使稳定的系统具有良好的动态性能，常常希望系统特征根的位置与虚轴之间有一定的距离，该距离通常称为稳定度。
确定系统是否具有稳定度a的方法： 1.将s=s1-a代入原特征方程，得新的特征方程D（s1）=0。 2.列s1变量方程的劳斯表，判定系统的稳定性。 3.若s1对应系统稳定，则变量s对应的系统具有a的稳定度。
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例 单位负反馈系统的开环传递函数 要求系统的特征根全部位于垂线s=-1的左侧，即稳定度a=1，试问增益K的允许范围？ 解： 取s=s1-1代入特征方程 得 整理上式，得
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由稳定的充分必要条件 ①ai>0，则40K-27>0，得 K>0.675 ② a1a2-a0a3>0，则1115-(40K-27)>0 ,得 K<4.8 所以满足要求的K值范围为 0.675<K<4.8 显然，比系统原来的稳定域0<K<14要小。
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例3-8 已知单位反馈系统开环传递函数为 （1）试求系统稳定时，开环增益K和阻尼比ξ的取值范围。 （2）取ξ=2，并保证系统极点全部位于s=-1垂线之左，使确定开环增益K的取值范围。 解：特征方程为
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由系统稳定的充要条件得 又因 所以开环增益K和阻尼比的取值范围要满足下式
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（2）取ξ=2时，系统特征方程为： 将s=s1-1代入上式得 由系统稳定的充要条件得 故K的取值范围为
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3.6 稳态精度分析 E(s) 单位反馈时，二者相等
3.6 稳态精度分析 ▲稳态误差是系统在稳态下的性能指标，用以度量系统的控制精度，只有稳定的系统讨论稳态误差才有意义。 ●稳态误差的分类：系统给定误差、系统扰动误差。 ●稳态误差的定义： （1）从输入端定义： （2）从输出端定义： ●二者之间的关系： 单位反馈时，二者相等 即
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二、稳态误差的计算 稳态误差计算的一般方法 （1）判定系统的稳态性 （2）求E(s) （3）利用终值定理求取ess.（终值定理应用条件：sE(s)所有极点位于s左半平面，包括原点）。
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E(s) 可将E(s)写成 ER(s)为输入信号引起的误差信号； EN(s)为干扰引起的误差信号。
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例3-9 系统结构图如下图所示。当输入信号r(t)=t时，求系统在输入信号作用下的稳态误差ess。
解： 稳定的系统,计算稳态误差才有意义。 第一步，判别系统稳定性。 系统的闭环特征方程
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即 由稳定性判据 (1) 各项系数大于零，则K>0。 (2) 由 得 K<6 所以稳定性条件为 0<K<6
E(s) (1) 各项系数大于零，则K>0。 (2) 由 得 K<6 所以稳定性条件为 0<K<6 第二步，求E(s)。
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输入信号r(t)=t，所以 则 第三步，用终值定理求稳态误差ess。 (0<K<6)
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解： 例3-10 系统结构如下图所示。当输入信号r(t)=1(t)，干扰n(t)=1(t)时，求系统总的误差ess。 第一步，判别稳定性。
系统特征方程为： 只要参数K1、K2大于零，系统就稳定。
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第二步，求E(s)。 R(s)对应的误差闭环传函为： N(s)对应的误差闭环传函为：
在r(t)=1(t)，n(t)=1(t)的共同作用下，系统总的误差信号为
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第三步，应用终值定理计算稳态误差ess。
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三、输入信号r(t)作用下的稳态误差与系统结构的关系
当只有输入作用时，系统的结构图为 系统的误差信号为
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将G(s)H(s)写成典型环节串联形式 系统根据开环传函含有积分环节的数目v定义系统的型别。v=0称为0型系统，v=1称为I型系统，…… 式中K为开环增益；为积分环节数目。 则稳态误差信号为
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则 由于G(s)H(s)当s趋于零时的极限为K/s ，所以 上式表明：系统的稳态误差ess除了与外作用R(s)有关外，还与系统的开环增益K和积分环节数目（系统型别）有关。
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下面分别讨论不同输入信号r(t)作用下，稳态误差与系统结构参数的关系。
1．当输入信号为阶跃作用r(t)=r0·1(t)时，（r0为表示阶跃量大小的常数），则 系统稳态误差为：
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令 则系统稳态误差为： Kp被称为系统的静态位置误差系数。 对一个稳定的系统，在求给定输入为阶跃信号时的稳态误差时，可用上述两个公式直接求解。
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2．当输入信号为斜坡作用r(t)=0t·1(t)时，（ 0表示输入信号的速度），则
稳态误差 令 则系统稳态误差为：
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3.当输入信号为等加速度作用r(t)=a0t2/2 ·1(t)时，(a 0为加速度)，则
稳态误差 令 则系统稳态误差为：
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1.系统的型别越高，跟踪典型输入信号的无差能力越强。 2.Kp，Kv，Ka的取值只有三种：0，∞和K。
3.Kp，Kv，Ka越大，ess越小，故Kp，Kv，Ka可以表征系统的控制精度。 4.ess的取值也只有三种：∞，0和有限值。 5.提高控制精度的方法：增加K或v。 典型输入信号作用下的稳态误差 系统型别 静态误差系数 阶跃输入 斜坡输入 加速度输入 Kp K Ka
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例3-11 系统结构如图所示。已知输入信号r(t)=1(t)+t+t2/2，求系统的稳态误差ess(误差定义为 e=r-c)。
解： 第一步，判别稳定性。 系统特征方程为： 系统稳定
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第二步，求误差信号。 系统闭环传递函数为 系统误差信号为
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输入信号为 第三步，求稳态误差。 系统稳态误差为
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例 系统结构如图所示。已知输入信号r(t)=1(t)+t+t2/2，求系统的稳态误差ess(误差定义为 e=r-c)。
解： 第一步，判别稳定性。（略）
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第二步，利用静态误差系数法求稳态误差。 系统等效开环传函为
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系统静态误差系数为 故输入信号为r(t)=1(t)+t+t2/2时的稳态误差为
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五、干扰n(t)作用下的稳态误差与系统结构的关系
G1(s) H(s) R(s) C(s) G2(s) N(s) E(s) n(t)引起的稳态误差与G1(s)H(s)有关，其关系等同于r(t)引起的稳态误差与GK(s)间的关系。
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图3-37 例3-10的系统结构图 求干扰n(t)=1(t)作用下的稳态误差
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六、改善系统稳态精度的方法 1. 按干扰补偿 输出c(t)对干扰n(t)的闭环传递函数
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若能使CN(s)为零，则干扰对输出的影响就可消除。
由分子为零，即 得对干扰全补偿的条件为
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2.按指令信号补偿
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作业 P103 3.7(b) (1) (b)
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本章小结 1.典型输入信号； 2.一阶或二阶系统单位阶跃响应下性能指标的计算； 3.高阶系统中主导极点和偶极子的概念；
4.系统代数稳定判据； 5.系统稳态误差的计算。
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