Signals and Systems 第1章 信号与系统 Signals and Systems.

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1 Signals and Systems 第1章 信号与系统 Signals and Systems

2 本章的基本内容: 信号的描述 信号的自变量变换 基本信号 系统及其数学模型 系统的性质

3 1.0 引言 ( Introduction ) 目的： 讨论信号与系统的基本概念，建立其 相应的数学描述方法，以便利用这种数学描述及其表示方法，建立一套信号与系统的分析体系。

4 1.1 连续时间与离散时间信号 （Continuous-Time and Discrete-Time Signals） 一.信号：
1.1 连续时间与离散时间信号 （Continuous-Time and Discrete-Time Signals） 一.信号： 信号可以描述范围极其广泛的物理现象。信号可以分为确知信号与随机信号，也可以分为连续时间信号与离散时间信号。 确知信号可以表示成一个或几个自变量的函数。作为信号分析的基础，本课程只研究确知信号。

5 连续时间信号的例子： 离散时间信号的例子：

6 连续时间信号与离散时间信号 如果除若干不连续点外，信号在一时间区间内的每一时刻都能取值，即时间t取实数值，则称为连续时间信号。
反之，如果信号仅能在一时间区间内的某些时刻上取值，即时间 ，其中n属于整数，则称为离散时间信号。 连续信号与离散信号 信号与系统

7 提示：模拟信号与连续时间信号的区别 连续时间信号的幅值可以是连续的，也可是离散的，即仅取几个规定数值。
幅值和时间都为连续的信号称为模拟信号。 模拟信号与连续时间信号的区别 信号与系统

8 连续时间信号与离散时间信号 仅在采样时刻取信号样本值而在其它时刻取零值的连续时间信号，即 离散信号是由采样时刻的样本值组成的序列。
注意：离散时间信号与数字信号的差别与联系 数字信号是时间与幅度取值都离散的信号。 采样信号，离散时间信号，数字信号 信号与系统

9 离散时间信号的表示方式 离散时间信号的表示方式 信号与系统

10 声音信号

11 女音“Matlab”的信号 波形 信号与系统

12 信号举例 正弦波信号

13 信号举例 心电图信号

14 人口统计数据 人口 年份 1900－1930 1930－1960 1960－2000 信号的描述： 连续时间信号 离散时间信号

15 二维信号：图像 信号与系统

16 Video signal

17 随机噪声信号 信号与系统

18 图像信号

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20 信号基本概念 信号分类有多种方法，大致有如下分类： 分类标准 确定否 周期否 连续否 量化否 因果否 能量有限否 功率有限否 肯定 确定性
否定 随机性 非周期 离散 非量化 非因果 能量无限 功率无限 信号的分类 信号与系统

21 确定信号与随机信号 如果信号的变化规律是确定的，能用确定的数学函数表示，即对任一确定的时间（或空间），信号有确定的函数值，则称其为确定性信号。如常用的多项式函数、三角函数、指数函数、对数函数等。 相反，如果信号的变化规律是随机的，不能用确定的数学函数表示，只能用统计规律来描述其随机特性，即对任一确定的时间（或空间），信号没有确定函数值，只能用均值、方差等统计量来描述，则称其为随机信号。如各种噪声。 确定性信号与随机信号 信号与系统

22 连续时间信号在离散时刻点上的样本可以构成一个离散时间信号。
二. 信号的能量与功率： 连续时间信号在 区间的能量定义为： 连续时间信号在 区间的平均功率定义为：

23 离散时间信号在 区间的能量定义为 离散时间信号在 区间的平均功率为 在无限区间上也可以定义信号的总能量： 连续时间情况下:

24 离散时间情况下: 在无限区间内的平均功率可定义为：

25 三类重要信号： 1. 能量信号——信号具有有限的总能量， 　即： 2. 功率信号——信号有无限的总能量，但平均功率 　 有限。即： 3. 信号的总能量和平均功率都是无限的。 　即：

26 能量有限信号和功率有限信号 若信号有有限能量，则称为能量有限信号。有限持续时间信号一定是能量有限信号；反之，则未必。
例如：高斯信号是无限持续时间信号，却是能量有限信号。 若信号有有限功率且不为0，则称为功率有限信号。能量有限信号其功率必定有限，但称为能量信号，非功率信号，二者互斥；反之，则未必成立。 例如：正弦信号是功率有限信号，却是能量无限信号。 能量信号与功率信号 信号与系统

27 能量信号和功率信号的判断方法 判断能量信号和功率信号的方法： 1）先计算信号能量，若为有限值则为能量信号；
2）若1）不满足，则计算信号功率，若为有限值且不为0则为功率信号； 3）若上述两者均不符合，则信号既不是能量信号，也不是功率信号。 信号与系统

28 能量信号与功率信号判别例题 例1： 信号与系统

29 能量信号与功率信号判别例题 例2： 信号与系统

30 能量信号与功率信号判别例题 例3： 信号与系统

31 三. 周期信号与非周期信号： 如果信号是周期信号，则 或 连续时间周期信号 离散时间周期信号

32 这种信号也称为功率信号，通常用它的平均功率来表征。
　这种信号也称为功率信号，通常用它的平均功率来表征。 （以T为周期） 或 （以N为周期）或 如果信号是非周期的，且能量有限则称为能量信号。

33 周期信号与非周期信号 周期信号是按某一固定周期重复出现的信号，它可表示为
其中，T为周期，任何周期信号都可表示为仅在基本周期内取非零值的有限长信号的周期延拓，即 周期信号与非周期信号 信号与系统

34 周期信号举例 周期冲激信号 周期脉冲信号 半波整流信号 信号与系统

35 周期信号与非周期信号 非周期信号可以认为是周期为无穷大的周期信号；
常见的非周期信号是有限持续时间（finite duration）信号，即仅在一有限时间区间内存在的信号. 信号与系统

36 判断周期信号的方法 连续时间信号的周期性判断 1.若信号为若干个正弦信号的线性组合，则该信号的周期必为各分量信号周期的整数倍；
eg： 2.若信号由方波等标准信号周期延拓构成，则从波形判断较为简便。 周期信号的判别 信号与系统

37 伪随机信号 具有相对较长周期的确定性信号可以构成“伪随机信号”，看似无规律，但经过一定周期后，信号的波形严格重复，广泛应用与通信系统中。
混沌理论（chaos）：无序中蕴含有序 混沌与分形理论：应用于图像压缩等领域中 信号与系统

38 因果信号与非因果信号 若信号在小于零时刻都取零值 则称为因果信号，反之，称为非因果信号。 因果信号一定是非周期信号。
因果周期信号：从接入时刻起，信号呈周期变化当然，从整体而言，它仍是非周期信号。 因果信号与非因果信号 信号与系统

39 有界信号与无界信号 如果信号在所有时刻的取值都有界，即 则称为有界信号。反之，称为无界信号。 有届信号与无界信号 信号与系统

40 1.2 自变量变换 （Transformations of the Independent Variable)
1.2 自变量变换 （Transformations of the Independent Variable) 由于信号可视为自变量的函数，当自变量改变时，必然会使信号的特性相应地改变。 1. 时移变换：Shift of Signals 当 　时，信号向右平移 　时，信号向左平移 当 　时，信号向右平移 　时，信号向左平移

41 2. 反转变换：Reflection of Signals
信号以 为轴呈镜像对称。 与连续时间的情况相同。 3. 尺度变换： Scaling 时, 是将 在时间上压缩a倍， 时, 是将 在时间上扩展1/a倍。 实例： 照片放大。

42 信号的运算 注意所有的变换是针对时间变量t的。 做尺度变换时注意含有特殊信号的情况，例如单位冲激信号。 信号变量运算的一般情况 信号与系统

43 举例 基于尺度变换和移位的小波信号分析。 信号与系统

44 信号时间变量运算的物理意义 信号的折叠变换，就是将“未来”与“过去”互换，这显然是不能用硬件实现的，所以并无实际意义，但它具有理论意义。
信号的时移变换用时移器(也称延时器)实现 ，当t0＞0时，延时器为因果系统，是可以用硬件实现的；当t0＜0时，延时器是非因果系统， 此时的延时器变成为预测器。 信号时间变量运算的物理意义和主要应用 信号与系统

45 举例 信号移位实际应用：雷达、声纳以及地震信号检测；通信系统中接收信号与原信号的延迟时间。 信号与系统

46 信号滑动平均 信号与系统

47 由于离散时间信号的自变量只能取整数值，因而尺度变换只对连续时间信号而言。
例如： 1 2 3 4 5 6 2 2 2 1 2 3

48 显然 是从 中依次抽出自变量取偶数时的各点而构成的。这一过程称为对信号 的抽取（decimation）。
综合示例： 由 做法一： 1 1/2 3/2 1/6

49 做法二 ： 1 1/3 1/6 1/2 做法三 ： 1 1/6 7/6 1/2

50 信号的运算 对信号值的运算 对函数值的运算可分类为一元运算和多元运算，即时运算（又称为映射）和非即时运算，线性运算和非线性运算。
一元运算是对单输入信号的运算，如微分和积分，信号与常数的乘或加运算等；多元运算是对多个输入信号的运算，如两个信号加权。 信号值的运算 信号与系统

51 信号的运算 对信号值的运算 信号映射使运算结果仅取决于即时的信号值，通常可用输入-输出信号转移特性表示。
信号的非即时运算使运算结果取决于一段时间区间的信号值，一般它要由进行此运算的系统特性，如微分方程，来描述。 多个信号的非即时运算要有进行该运算的多变量系统特性，如微分方程组描述。 信号值的运算 信号与系统

52 信号的运算 信号的运算例 信号微分 信号积分 信号的非线性映射 信号与系统

53 信号的运算 信号运算举例 二维信号（图像）的微分运算（边缘提取） 信号与系统

54 信号的相加与相乘 信号相加/信号相乘（加噪声/调制） 信号与系统
注意两个正弦信号相加和相乘的物理意义，相加：在电子测量中的拍频法测量；相乘：信号的调制。 信号与系统

55 二. 周期信号与非周期信号： 周期信号： 满足此关系的正实数（正整数）中最小的一个， 称为信号的基波周期 （ ）。 可视为周期信号，但它的基波周期没有确定的定义。 可以视为周期信号，其基波周期 。

56 三. 奇信号与偶信号： odd Signals and even Signals
非周期信号 周期信号 三. 奇信号与偶信号： odd Signals and even Signals 对实信号而言： 如果有 则称该信号是偶信号。 （镜像偶对称）

57 如果有 则称该信号为奇信号 （镜像奇对称） 对复信号而言： 如果有 则称该信号为共轭偶信号。 如果有 则称为共轭奇信号。

58 任何信号都能分解成一个偶信号与一个奇信号之和。
对实信号有： 其中 其中

59 对复信号有： 其中： 其中： 例1： -1 -2 1 2

60 例2. 信号的奇偶分解：

61 信号的奇偶分解在分析和理解信号的傅里叶变换或傅里叶级数时很有帮助
直流分量一定属于偶分量 信号能量为偶分量和奇分量能量之和 信号的奇偶分解在分析和理解信号的傅里叶变换或傅里叶级数时很有帮助 信号奇偶分解的例子 信号与系统

62 正交分解 信号正交分解的核心是把信号分解为完备、正交、能量归一的基信号集合中的各个基信号的加权和，它非常有益于信号分析和理解。
原则上有无穷多个这样的正交分解。 最常用的是傅里叶级数分解、傅里叶变换和拉普拉斯变换。 信号的正交分解 信号与系统

63 正交分解 傅里叶级数是把周期信号分解成无穷多个谐波正弦信号的加权和；
傅里叶变换是把非周期信号分解成无穷多个频率间隔无穷小的复正弦信号的加权和； 拉普拉斯变换是把信号分解成无穷多个复指数信号的加权和。 其它的典型例有小波分解(wavelet)，主分量分析(PCA)等。 信号的正交分解 信号与系统

64 正交分解 信号的正交分解 信号与系统

65 信号的直流分量和交流分量 直流分量 交流分量 直流分量与交流分量 即信号平均值 信号的平均功率等于直流功率和交流功率之和 信号与系统

66 例：信号的直流分量和交流分量 求信号 的直流分量。 求周期信号 的直流分量。 直流分量与交流分量 信号与系统

67 例：信号的直流分量和交流分量 求信号 的直流分量。 求周期信号 的直流分量。 直流分量与交流分量 信号与系统

68 例：信号的直流分量和交流分量 求信号 的直流分量。 求周期信号 的直流分量。 直流分量与交流分量 信号与系统

69 1.3 复指数信号与正弦信号 一. 连续时间复指数信号与正弦信号 其中 C, a 为复数 1. 实指数信号： C，a 为实数
1.3 复指数信号与正弦信号 （Exponential and Sinusoidal Signals ） 一. 连续时间复指数信号与正弦信号 其中 C, a 为复数 1. 实指数信号： C，a 为实数 呈单调指数上升。

70 呈单调指数下降。 是常数。 2. 周期性复指数信号与正弦信号: ，不失一般性取 实部与虚部都是正弦信号。 显然是周期的，其基波周期为：

71 一般情况下 其基波周期为 , 基波频率为 ，当 时 通常称为直流信号。

72 对 而言，它在一个周期内的能量是 它的平均功率为： 3. 成谐波关系的复指数信号集:

73 该信号集中的每个信号都是周期的，它们的频率分别为 ，都是 的整数倍，因而称它们是成谐波关系的。
信号集中信号的基波频率为 ，基波周期为 ， 各次谐波的周期分别为 ，它们的公共周期 是 。 当k取任何整数时，该信号集中的每个信号都是彼此独立的。只有该信号集中的所有信号才能构成一个完备的正交函数集。　

74 4. 一般复指数信号: 其中 C, a 为复数 令 则 该信号可看成是振幅按实指数信号规律变化的周期性复指数信号。它的实部与虚部都是振幅呈实指数规律变化的正弦振荡。

75 当 时，是指数增长的正弦振荡。 时，是指数衰减的正弦振荡。 时，是等幅的正弦振荡。

76 二. 离散时间复指数信号与正弦信号 一般为复数 1. 实指数信号： 均为实数 当 时，呈单调指数增长 时，呈单调指数衰减 时，呈摆动指数衰减 时，呈摆动指数增长

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79 2. 正弦信号： 其中 为实数。

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81 离散时间信号的频率表示为 ，其量纲是弧度。
离散时间正弦信号不一定是周期的，这是与连续时间正弦信号的重大区别。 3. 一般复指数信号： 令 则 其实部与虚部都是幅度按实指数规律变化的正弦序列。

82 当 时幅度呈指数增长， 时幅度呈指数衰减。

83 三.离散时间复指数序列的周期性 离散时间复指数序列 不一定是周期性的，要具有周期性，必须具备一定条件。 设 则有： 即 于是有 表明只有在 与 的比值是一个有理数时， 才具有周期性。

84 对 ，当 时，对应的信号振荡频率越来越高不会发生逆转。
而对 ， 当 时，只要是 变化 的范围，如 ，则由于 ，总是会有 。这表明：当 变化时，并非所有的 都是互相独立的。离散时间信号的有效频率范围只有 区间。其中 ， 处都对应最低频率； 或 处都对应最高频率。

85

86 在满足周期性要求的情况下，总能找到互为质数的两个正整数 m, N 使得：
此时 即为该信号的周期, 也称为基波周期,因此该信号的基波频率为 。

87 离散时间周期性复指数信号也可以构成一个成谐波关系的信号集。
该信号集中的每一个信号都是以N为周期的, N是它们的基波周期。 称为直流分量， 称为基波分量。 称为二次谐波分量等等。 每个谐波分量的频率都是 的整数倍。

88 特别值得指出的是：该信号集中的所有信号并不是全部独立的。
显然有： 这表明：该信号集中只有N个信号是独立的。即当k 取相连的N个整数时所对应的各个谐波才是彼此独立的。因此，由N个独立的谐波分量就能构成一个完备的正交函数集。 这是与连续时间的情况有重大区别的。

89 信号 和 的比较 不同，信号不同 对任何 信号都是周期的 基波频率 基波周期：T0 频差 的整数倍时，信号相同 仅当 时， 信号是周期的
信号 和 的比较 不同，信号不同 对任何 信号都是周期的 基波频率 基波周期：T0 频差 的整数倍时，信号相同 仅当 时， 信号是周期的 基波频率 基波周期：N

90 抽样信号 抽样信号 ，t＝0时，值为1。 特点： 1.是偶函数； 2.过零点： 3. 4. 信号与系统
Sa信号的定义和性质，十分重要的一类信号 信号与系统

91 钟形信号 钟形信号（也称高斯信号）： 钟形信号在随机信号分析中十分重要，用作高斯分布的随机信号的概率密度函数，也用作高斯滤波器的传递函数，十分重要。 信号与系统

92 1.4 单位冲激与单位阶跃 （The Unit Impulse and Unit Step Functions）
1.4 单位冲激与单位阶跃 （The Unit Impulse and Unit Step Functions） 一. 离散时间单位脉冲与单位阶跃 1. 单位脉冲序列 : 定义 1

93 2. 单位阶跃序列 : ， 定义 ， 1 与 之间的关系： 一次差分

94 离散矩形窗函数 离散矩形窗函数 典型离散时间信号：因果矩形窗函数

95 1 具有提取信号 中某一点的样值的作用。

96 其他常用离散时间信号 斜变序列

97 离散信号的运算汇总 1．相加： 2．相乘： 3．乘系数： 4．移位：

98 5．倒置： 6．差分： 7．累加： 8．重排（压缩、扩展）： 注意：有时需去除某些点或补足相应的零值。 9．序列的能量

99 定义的不严密性，由于 在 不连续，因而在该处不可导。
二. 连续时间单位阶跃与单位冲激 单位阶跃 1 ， 定义： ， 2. 单位冲激 定义： 定义的不严密性，由于 在 不连续，因而在该处不可导。

100 定义 如图所示: 1 显然当 时 可认为 即 可视为一个面积始终为1的矩形，当其宽度 趋于零时的极限。

101 1 表示为 1 矩形面积称为冲激强度。 显然有：

102 也具有提取连续时间信号样本的作用。

103 用阶跃表示矩形脉冲 G(t)  t G1(t) 0 t  t

104 阶跃信号的应用 阶跃信号可用作示性函数或二值化函数
对信号 进行阶跃变换 可用来检测该信号的符号，也可用作表示信号具有某种特性的示性函数，即可借用阶跃变换定义示性函数 阶跃信号的应用 信号与系统

105 阶跃信号的应用 人工神经网络： perceptron(感知机)：二元分类器 阶跃信号的应用 信号与系统

106 符号函数 定义 可用阶跃信号表示 1 符号函数 -1 信号与系统

107 斜坡信号 阶跃信号的积分是斜坡信号 t >=0 r(t) = t t >= t0 r(t-t0) = t - t0
t <0 r(t) = t < t r(t-t0) = 0 r(t) r(t-t0) 1 斜坡信号，亦为直线增长信号。 1 t t t t 信号与系统

108 举例 信号与系统

109 1.5 连续时间与离散时间系统 （Continuous-Time and Discrete-Time Systems） 一. 系统
1.5 连续时间与离散时间系统 （Continuous-Time and Discrete-Time Systems） 一. 系统 系统是非常广泛的概念。通常将若干相互依赖，相互作用的事物所组成的具有一定功能的整体称为系统。它可以是物理系统，也可以是非物理系统。 连续时间系统： 输入信号与输出响应都是连续时间信号的系统。 连续时间系统

110 离散时间系统： 输入信号与输出响应都是离散时间信号的系统。 离散时间系统 系统分析的基本思想： 1. 根据工程实际应用，对系统建立数学模型。 　通常表现为描述输入－输出关系的方程。 2. 建立求解这些数学模型的方法。

111 为此要求所研究的系统具有以下两点重要特性:
　（1）这一类系统应该具有一些性质和结构，通过它们能够对系统的行为作出透彻的描述，并能对这一类系统建立有效的分析方法（即可行性）。 （2）很多工程实际中的系统都能够利用这类系统的方法建模（即具有普遍性）。 本课程所研究的对象——LTI（Linear Time－Invariant Systems）系统就是这样的一类系统。

112 通信系统 为传送消息而装设的全套技术设备（包括传输信道）。 信号与系统

113 雷达信号处理应用举例 滤波以前干扰严重 滤波以后干扰去除

114 左边是一段听觉响应的时间信号，没有表现出可以识别的特征 右边是经过小波分析后得到的时间——频率关系平面，得到明显可识别的特征
生物医学信号处理应用举例 左边是一段听觉响应的时间信号，没有表现出可以识别的特征 右边是经过小波分析后得到的时间——频率关系平面，得到明显可识别的特征

115 电路系统

116 信号与系统

117 系统描述方法 微分方程、差分方程或者确定的关系式 1、输入、输出之间的关系描述 2、状态空间方法描述 方框图描述、信号流图等 信号与系统

118 系统描述方法 信号与系统

119 系统描述方法 信号与系统

120 系统描述方法 信号与系统

121 Fibonacci序列（疯狂的兔子）

122 Fibonacci序列

123 Fibonacci序列

124 Fibonacci序列

125 Fibonacci序列

126 Fibonacci序列

127 Fibonacci序列

128 Fibonacci序列

129 Fibonacci序列

130 Fibonacci序列

131 离散时间系统举例 例：求描述图示电阻解码网络的离散系统。 对于任一节点n-1，利用KCL有 二阶常系数差分方程，借助两个边界条件，可求方程解
例题5-2

132 离散时间系统举例 y(n)表示一个国家在第n年的人口数，a,b是常数，分别代表出生率和死亡率。设x(n) 是国外移民的净增数，则该国在第n+1年的人口总数是? y(n+1)=y(n)+ay(n)-by(n)+x(n) =(a-b+1)y(n)+x(n)

133 二. 系统的互联 （Interconnection of Systems）
现实中的系统是各式各样的，其复杂程度也大相径庭。但许多系统都可以分解为若干个简单系统的组合。 可以通过对简单系统（子系统）的分析并通过子系统互联而达到分析复杂系统的目的。 也可以通过将若干个简单子系统互联起来而实现一个相对复杂的系统。这一思想对系统分析和系统综合都是十分重要的。

134 1. 级联 (cascade interconnection)
Ⅰ Ⅱ 2. 并联 ( parallel interconnection ) Ⅰ Ⅱ

135 工程实际中也经常将级联、并联混合使用，如：
Ⅰ Ⅱ Ⅳ Ⅲ 3. 反馈联结 ( Feedback interconnection ) Ⅰ Ⅱ

136 运算放大器电路示例（反馈系统）

137 1.6 系统的基本性质 ( Basic System Properties )
1. 记忆系统与无记忆系统 (memory systems and memoryless systems) 在任何时刻，系统的输出都只与当前时刻的输入有关，而与该时刻以外的输入无关，则称该系统是无记忆系统。否则就是记忆系统，即（memory systems 或 systems with memory )。 如果一个系统的输出响应不仅与当时的输入有关,而且与该时刻以外的其它时刻的输入有关，则系统是记忆的。

138 例如： （电容） （累加器） RC、RLC电路 （差分器）等都是记忆系统 在无记忆系统中有一种特例，即任何时刻系统的输出响应与输入信号都相同，即有 , 或 这样的无记忆系统称为恒等系统 ( identity system )

139 2. 可逆性与逆系统 (Inveritibility and inverse systems) 如果一个系统对任何不同的输入都能产生不同的输出，即输入与输出是一一对应的，则称该系统是可逆系统( invertible systems )。 如果一个系统对两个或两个以上不同的输入信号能产生相同的输出，则系统是不可逆的，称为不可逆系统( noninvertible systems )。

140 Ⅰ Ⅱ 例如: 是可逆系统，其逆系统是: 是可逆系统，其逆系统是:
如果一个可逆系统与另一个系统级联后构成一个恒等系统，则称后者是前者的逆系统 ( inverse system )。 Ⅰ Ⅱ 例如: 是可逆系统，其逆系统是: 是可逆系统，其逆系统是:

141 而 是不可逆系统，因为有两个不同的 输入 和 能产生相同的输出。 也是不可逆的，因为 输入 时, ；输入 时, 。 是不可逆系统，因为无法从 还原为 。 不可逆； 也是不可逆系统。 调制或编码过程必须是可逆的，其逆系统是解调器或解码器。

142 3. 因果性 (causality) 　如果一个系统在任何时刻的输出都只与当时这个时刻的输入以及该时刻以前的输入有关，而和该时刻以后的输入无关就称该系统是因果的(causal system)。否则就是非因果的(noncausal system)。 　一般说来，非因果系统是物理不可实现的。这体现了因果性对系统实现的重要性。但对非实时处理信号的离散时间系统，或信号的自变量并不具有时间概念的情况，因果性并不一定成为系统能否物理实现的先决条件。

143 时 决定于以后时刻的输入。 RLC电路, , 都是因果系统。
　例如在图像处理中, 自变量是图像中各点的坐标位置，而并非代表时间。对某些数据处理系统，如股市分析、经济预测等 ,实际上是以足够的延时来换取非因果性的实现。 时 决定于以后时刻的输入。 是非因果系统。 RLC电路, , 都是因果系统。

144 4. 稳定性 ( stability ) 　如果一个系统当输入有界时，产生的输出也是有界的，则该系统是稳定系统(stable system)。否则，就是不稳定系统(unstable system)。 例如：单摆、RC电路都是稳定系统； 也是稳定系统。 都是不稳定系统。

145 　工程实际中总希望所设计的系统是稳定的。因此稳定性对系统来说是非常重要的。
5. 时不变性 ( Time-invariance ) 如果一个系统当输入信号有一个时移时，输出响应也产生同样的时移。除此之外，输出响应无任何其它变化，则称该系统是时不变的( time-invariant system )。否则就是时变的( time-varying )。 即：若 则系统是时不变的。

146 检验一个系统时不变性的步骤: 令输入为 ，根据系统的描述，确定此时的输出 。 将输入信号变为 ，再根据系统的描述确定输出 。 3. 令 根据自变量变换，检验 是否等于 。

147 如 当 时， 当 时， 令 则有： 由于 系统是时变的。

148 又如： 当 时， 当 时， 令 则有： 而 该系统是时变的。

149 6. 线性（Linearity） 其中a,b是常数 满足此关系的系统是线性的。 若 例如： ,满足可加性，但不满足齐次性。当 时其实部变为虚部，虚部变为实部。 满足齐次性但不满足可加性。

150 因为，若输入为 则 如果一个系统是线性的，当我们能够把输入信号 分解成若干个简单信号的线性组合时，只要能得到该系统对每一个简单信号所产生的响应，就可以很方便的根据线性特性，通过线性组合而得到系统对 的输出响应。即

151 若 ，且 则 这一思想是信号与系统分析理论和方法建立的基础。 　在工程实际中，有一类系统并不满足线性系统的要求。但是这类系统的输出响应的增量与输入信号的增量之间满足线性特性。这类系统称为增量线性系统（incrementally linear systems)。

152 例如： 显然有 　该系统既不满足齐次性，也不满足可加性，但当考查输入的增量与输出的增量之间的关系时，有 　　可见输入的增量与输出的增量之间是满足线性关系的，它是一个增量线性系统。

153 任何增量线性系统都可以等效为一个线性系统再加上一部分与输入无关的响应。
当增量线性系统的 时， 。此时系统的输出响应完全由 决定。此时系统处于零初始状态，故将 称为系统的零状态响应。

154 　根据线性系统的齐次性，可得出：线性系统当输入为零（即根本没有输入）时，系统的输出响应为零（即没有输出响应）。这就是所谓线性系统的零输入—零输出特性。
　增量线性系统当 时，有 ，因此将 称为系统的零输入响应。 可见，增量线性系统的响应包括零输入响应和零状态响应两部分。

155 例：判断下述系统是不是线性、时不变、因果、稳定的
系统分类的判断例题 信号与系统

156 补充例题 信号与系统

157 补充例题 线性，时变，非因果，不稳定 非线性，时变，因果，稳定 线性，时变，因果，稳定 线性，时不变，因果，稳定 信号与系统

158 补充例题:(系统性质判断，以微分方程形式)
判断下述微分方程所对应的系统是否为线性系统? 分析：根据线性系统的定义，证明此系统是否具有均匀性和叠加性。可以证明： 系统不满足均匀性 系统不具有叠加性 所以此系统为非线性系统。 请看下面证明过程

159 证明均匀性 设信号e(t)作用于系统，响应为r(t) 当Ae(t)作用于系统时，若此系统具有线性，则 原方程两端乘A：
(1),(2)两式矛盾。故此系统不满足均匀性

160 证明叠加性 假设有两个输入信号 分别激励系统，则由所给微分方程式分别有： 当 同时作用于系统时，若该系统为线性系统，应有 (3)+(4)得
假设有两个输入信号 分别激励系统，则由所给微分方程式分别有： 当 同时作用于系统时，若该系统为线性系统，应有 (3)+(4)得 (5)、(6)式矛盾，该系统为不具有叠加性

161 1.7 本章小结（Summary） 建立了信号与系统的数学描述方法。 讨论了信号自变量变换对信号的影响。
介绍了作为信号分析基础的基本信号：复指数 信号、正弦信号、单位冲激与单位阶跃信号。 讨论了离散时间信号周期性的问题。 定义并讨论了系统的六大基本特性及系统的互连。讨论了增量线性系统及其等效方法。

162 由于在工程实际中，相当广泛的系统其数学模型都可以描述成一个线性时不变( LTI )系统，而且基于线性和时不变性，为系统分析建立一套完整的、普遍适用的方法提供了可能，因此，线性时不变系统将成为本课程所研究的对象。