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3.2 圆的轴对称性(1).

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1 3.2 圆的轴对称性(1)

2 创设情境,引入新课 3 复习提问: (1)什么是轴对称图形 (2)正三角形是轴对称性图形吗? 是 有几条对称轴?
(1)什么是轴对称图形  如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能 完全重合,这个图形就是轴对称图形。 (2)正三角形是轴对称性图形吗? 有几条对称轴? (3)圆是否为轴对称图形?如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴?

3 合作交流,探究新知 X O 结论: 圆是轴对称图形,每一条直径所在的直线都是对称轴。 强调: 一自主探究
在白纸上任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD, 然后沿着直径所在的直线把纸折叠,你发现了什么? O C D 圆是轴对称图形,每一条直径所在的直线都是对称轴。 结论: 强调: (1)圆的对称轴是直线,不能说每一条直径都是圆的对称轴 (2)圆的对称轴有无数条 判断:任意一条直径都是圆的对称轴( ) X

4 二 合作学习 1.在刚才操作的基础上,再作一条和直径CD垂直的弦      AB,AB与CD相交于点E,然后沿着直径CD所在的直线把纸折叠,你发现哪些点、线互相重合?如果把能够重合的圆弧叫做相等的圆弧(等弧),有哪些圆弧相等? A B E 解:点A与点B重合,AE与BE重合, AC=BC,AD=BD. O C D 2.请你用命题的形式表述你的结论. 垂直于弦的直径平分这条弦, 并且平分弦所对的弧.

5 3.请你对上述命题写出已知,求证,并给出证明. 解 已知:如图,CD是⊙O的直径,AB是⊙O的一 条弦,CD⊥AB,且交AB于点E.
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧. 3.请你对上述命题写出已知,求证,并给出证明. 已知:如图,CD是⊙O的直径,AB是⊙O的一 条弦,CD⊥AB,且交AB于点E. EA=EB, AC= BC, AD=BD. 求证: 证明:连结OA,OB A B E O C D 如果把⊙O沿着直径CD对折, 那么被CD分成的两个半圆互 相重合 ∵∠OEA=∠OEB=Rt∠ ∴点A与点B重合,弧AC和弧BC重合, 弧AD和弧BD重合. ∴线段EA与线段EB重合 思考:你能利用等腰 三角形的性质,说明 OC平分AB吗? ∴ EA=EB, AC= BC, AD=BD.

6 ⌒ 三 概括性质(垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.) 直径平分弦 1.直径垂直于弦 垂径定理的几何语言叙述:
三 概括性质(垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.) 直径平分弦 1.直径垂直于弦 直径平分弦所对的弧 (条件) (结论) 垂径定理的几何语言叙述: ∵CD为直径,CD⊥AB(或OC⊥AB) ∴ EA=EB, AC=BC, AD=BD. A B O C D E 2.分一条弧成相等的两条弧的点, 叫做这条弧的中点. 例如,点C是AB的中点,点D是ADB的中点.

7 ⌒ 例1 已知AB,如图,用直尺和圆规求作这条弧的中点.(先介绍弧中点概念)
分析:要平分AB,只要画垂直于弦AB的直径.而这条直径应在弦AB的垂直平分线上.因此画AB的垂直平分线就能把AB平分. 作法: C ⒈ 连结AB. E ⒉ 作AB的垂直平分线 CD,交弧AB于点E. A B D 点E就是所求弧AB的中点.

8 做一做:课本P65A组题第3题 1.如图,过已知⊙O内的一点A作弦,使A是该弦 的中点,然后作出弦所对的两条弧的中点. E C D B
BC就是所要求的弦 点D,E就是所要求的弦 所对的两条弧的中点. B C

9 例2:一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半径OB=10,水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。
想一想:排水管中水最深多少? 解:作OC⊥AB于C, 由垂径定理得: AC=BC=1/2AB=0.5×16=8 由勾股定理得: 10 C 8 8 D 答:截面圆心O到水面的距离为6. 圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距. 例如,上图中,OC的长就是弦AB的弦心距.

10 题后小结: . 1.作弦心距和半径是圆中常见的辅助线;
O A B C r d 2 .半径(r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路,它们之间的关系:

11 . 想一想: 在同一个圆中,两条弦的长短与它们所对应的 弦心距之间有什么关系? 答:在同一个圆中, 弦心距越长,所对应的弦就越短;
 想一想:  在同一个圆中,两条弦的长短与它们所对应的  弦心距之间有什么关系?  . C 答:在同一个圆中, 弦心距越长,所对应的弦就越短; 弦心距越短,所对应的弦就越长. D A B O

12 做一做 1、已知⊙O的半径为10cm,点P是⊙O内一点,且OP=8,则过点P的所有弦中,最短的弦是( ) D
(A)6cm (B)8cm (C)10cm (D)12cm 10 8 6

13 做一做 ⌒ 解: 2.在直径为20厘米的球形油槽内装入一些油后,截面如 图所示,如果油面宽是16厘米,求油槽中油的最大深度.
过O作OE⊥CD于点E,延长OE交CD于点F, 解: 连结OD. 因为OE⊥CD, O D C 所以油槽中油的最大深度EF=10-6=4(厘米)

14 做一做 3、已知:如图,⊙O 中, AB为 弦,OC ⊥AB OC交AB 于D ,AB = 6cm ,CD = 1cm. 求⊙O 的半径.

15 垂径定理的几个基本图形

16 课 堂 小 结 师生共同总结: 1.本节课主要内容:(1)圆的轴对称性;(2)垂径定理. 2.垂径定理的应用:(1)作图;(2)计算和证明.
3.解题的主要方法: (1)画弦心距和半径是圆中常见的辅助线; (2)半径(r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路,它们之间的关系:


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