第六章 杆件基本变形下的强度与刚度设计 第一节 设计原则与设计过程 第二节 拉压杆强度设计与拉压杆伸缩量计算 第三节 连接件的强度设计

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1 第六章 杆件基本变形下的强度与刚度设计 第一节 设计原则与设计过程 第二节 拉压杆强度设计与拉压杆伸缩量计算 第三节 连接件的强度设计
第一节 设计原则与设计过程 第二节 拉压杆强度设计与拉压杆伸缩量计算 第三节 连接件的强度设计 第四节 梁的强度设计 第五节 轴的强度设计 第六节 轴和梁的刚度设计 第七节 讨论与说明

2 第一节 设计原则与设计过程 一、强度设计 （一）、强度设计原则与设计过程 1、确定可能最先发生强度失效的截面——危险截面；
第一节 设计原则与设计过程 一、强度设计 （一）、强度设计原则与设计过程 1、确定可能最先发生强度失效的截面——危险截面； 2、确定危险截面上哪些点可能最先发生强度失效——危险点； 3、确定危险点的应力状态，即确定表征危险点的微元各对面上正应力与剪应力（大小和方向）； 4、根据材料性能，判断可能失效形式，从而选择相应的设计准则。 （二）、工程实际计算 1、强度校核; 2、截面设计; 3、确定许可载荷; 4、选择材料。

3 二、刚度设计 根据工程实际要求，对构件进行设计，以保证在确定的外载荷作用下，构件的弹性位移（最大位移或指定位置处的位移）不超过规定的数值。于是： 1、对于拉压杆，刚度设计准则为 ε为轴向线应变；[ε]为许用轴向线应变。 2、对于梁，刚度设计准则为 y和θ分别为梁的挠度和转角；[y]和[θ]分别为梁的许用挠度和许用转角。 3、对于受扭圆轴，刚度设计准则为 φ和θ分别为圆轴指定两截面的相对扭转角和单位长度相对扭转角；[φ]和[φ/l]分别为相应的许用值。

4 第二节 拉压杆强度设计与拉压杆伸缩量计算 一、拉压杆的强度设计 1、拉压杆横截面上的应力 内力系在横截面上均匀分布，横截面上正应力为：
第二节 拉压杆强度设计与拉压杆伸缩量计算 一、拉压杆的强度设计 1、拉压杆横截面上的应力 内力系在横截面上均匀分布，横截面上正应力为： 当杆件压缩时，上式同样适用。 σ的正负规定与轴力相同。拉应力为正，压应力为负。 2、拉压杆强度设计准则

5 二、拉压杆伸缩量计算 拉压杆绝对变形为： 拉压相对变形（线应变）为： R.Hooker（虎克）定律：
常数E称为材料的弹性模量，单位为GPa。EA称为拉压杆的抗拉压刚度。 公式变换 得R.Hooker（虎克）定律的另一种表示形式： 或

6 例 结构尺寸及受力如下图所示。设AB、CD均为刚体，BC、EF为圆形截面杆钢杆。钢杆直径为d =25mm，两杆材料均为Q235钢，其许用应力[σ]=160MPa。若已知载荷 P=39kN，试校核此结构的强度。 解： 1、分析危险状态 可得 EF 杆受力最大，为危险杆。 2、计算应力、校核强度 强度足够

7 例6-2 上例中若杆BC、EF 的直径未知，其它条件不变。试设计两杆的直径。
解： 两杆材料相同，受力不同，故直径不同。有设计准则 得BC、EF杆的直径分别为

8 例6-3 在例6-1中杆BC、EF 的直径均为d=30mm，[σ]=160MPa，其它条件不变。试确定此时结构所能承受的许可载荷？
应用设计准则 有

9 第三节 连接件的强度设计 一、剪切实用计算 二、挤压使用计算
当作为连接件的铆钉、、销钉、键等零件承受一对等值、反向、作用线距离很近的平行力作用时，其主要失效形式之一为沿剪切面发生剪切破坏。发生相对错动的截面称为剪切面。由于剪切面上剪应力分布比较复杂，可假定认为剪应力在剪切面上均匀分布——剪切实用计算。 其设计准则为 其中 Q 为剪切面上的剪力，由平衡条件求解；A 为剪切面面积；[τ]为材料的许用剪应力，单位 MPa。 二、挤压使用计算 在承载的情形下，连接件与其所连接的构件相互接触并产生挤压，因而在二者接触面的局部区域产生较大的接触应力，称为挤压应力，用符号σjy表示，单位MPa。挤压应力是垂直与接触面的正应力。其可导致接触的局部区域产生过量的塑性变形，而导致二者失效。 积压力为作用在接触面上的总的压力，用符号 Pjy 表示。 挤压面为接触面在挤压力作用线垂直平面上的投影，用符号 Ajy 表示。 其强度设计准则

10 三、焊缝使用计算 四、胶粘实用计算 对于主要承受剪切的焊缝，假定沿焊缝的最小断面（即剪切面）发生破坏。假定剪应力在剪切面上均匀分布，于是有
Q为作用于单条焊缝最小断面上的剪力；δ为钢板的厚度；l 为焊缝的长度。 四、胶粘实用计算 胶粘连接，由于连接后的构件受力、接缝方向以及胶层均匀分布程度和胶层质量等各种因素的影响，胶粘连接的失效形式不可能是一种形式。 在某些情况可能发生剪切破坏，如右(a)图；在有些情况可能拉断，如右(b)图；还有些情况，既有可能拉断也有可能剪断，如右(c)图。因而也都采用假定计算。 强度设计时需同时满足

11 连接件的强度设计——综合实例 托架受力如下图 1、已知控制杆AB由钢制成，其强度极限σb=600MPa，安全系数nb=3.3 。求杆的直径。
2、C处的销钉由钢制成，其剪切强度极限τb=350MPa，安全系数nb=3.3 。求销钉的直径。 3、已知托架支承C处材料的挤压许用应力[σjy]=300MPa，确定支承板厚度δ 。 解： 根据平衡方程可求得 1、确定控制杆直径 根据拉压杆的强度准则

12 销钉受力如图（c），承受剪力，有两个剪切面。于是有
2、计算销钉直径 销钉受力如图（c），承受剪力，有两个剪切面。于是有 3、确定支承C的厚度 支承承受挤压，每个挤压面上的积压力及积压面面积分别为： ；

13 第四节 梁的强度设计 一、平面弯曲时梁横截面上的应力 基本概念 1、平面弯曲： 梁发生弯曲变形后，其轴线位移与外载荷共面。 2、斜弯曲：
横向力不作用于主惯性面时，梁发生的弯曲变形。 3、纯弯曲： 某段梁的横截面上只有弯矩而无剪力，此段梁的变形称为纯弯曲。 4、横力弯曲： 梁的横截面上既有弯矩也有剪力的弯曲变形。 一、平面弯曲时梁横截面上的应力 （一）纯弯曲时梁横截面上的应力 梁纯弯曲变形时，纵向纤维既有伸长部分也有缩短部分，其中既没有伸长也没缩短（即伸长部分和缩短部分的分界面）称为中性层。 中性层与横截面的交线，称为中性轴。 梁的变形可以看做横截面绕中性轴发生了转动。 所以梁纯弯曲变形时，横截面上只有正应力而没有剪应力。其中正应力既有拉应力也有压应力。

14 横截面上弯曲正应力沿高度呈线性分部，中性轴处正应力为零，距离中性轴越远正应力越大。沿宽度上正应力大小相等。
横截面上弯曲正应力计算公式 M 为横截面上的弯矩； Iz 为横截面对中性轴的轴惯性矩 单位 mm3 或 m3   ；                     y 为所研究点到中性轴的距离。 （二）弯曲剪应力 距形截面梁弯曲剪应力 设横截面上各点处的切应力均平行于剪力或截面侧边，并沿横截面宽度均匀分布。距中性轴为y处的弯曲切应力公式 式中Q为横截面上的剪力；Iz为整个横截面对中性轴z的惯性矩；Sz为距中性轴y处横线一侧的部分截面（图y阴影部分面积）对中性轴z的静矩；b为y处横线截面的宽度。

15 切应力沿截面高度呈抛物线分布。最大切应力在中性轴处，其值为
常见截面形状梁的最大剪应力近似计算公式表 截面形状

16 二、弯曲强度计算 I 为截面对中性轴惯性矩，单位mm4 或m4 1、纯弯曲——正应力强度准则
对于塑性材料，由于其抗拉压能力相同，故只校核危险截面上应力绝对值最大即可。 I 为截面对中性轴惯性矩，单位mm4 或m4 其中 为抗弯截面模量，单位 mm3 或m 3 对于距形截面 对于圆形截面 对于圆环形截面 其中

17 对于脆性材料，由于许用拉应力和许用压应力不等，所以需要分别校核拉伸边和压缩边的强度。
2、横力弯曲——弯曲剪应力强度准则 当梁的跨度短，截面高（l/h)<5或壁薄时，除了正应力强度校核外，还需进行剪切强度校核。剪切强度准则为 即

18 三、复杂受力时梁的强度计算 1、斜弯曲 可将梁在力P的作用下分解成在 Py、Pz 作用下的两个平面弯曲的叠加。
2、拉伸（压缩）与弯曲组合变形 作用在构件对称平面内的外力与构件轴线平行而不重合，或相交而不垂直。 其强度准则为

19 综 合 实 例 例、发动机活塞的空心销受力如图。
综 合 实 例 例、发动机活塞的空心销受力如图。 已知：Pmax=7000N。销子各段可近视为收均布载荷。销子由钢材制成，内直径 13mm，外直径 20mm，许用应力[σ]=240MPa。 求：校核最大正应力与最大剪应力的强度。 解： 1、作销子的受力简图与剪力、弯矩图，判断危险截面； 从弯矩图可判断出最大弯矩发生在销子中间，其值为 2、计算销子的抗弯截面模量；

20 3、校核最大正应力强度； 最大正应力发生在最大弯矩作用截面的上、下两点，其值为 可知，销子最大弯曲正应力强度足够，安全。 4、校核最大剪应力强度。 通过剪力图可看出梁B、C截面处剪力最大，其值为 最大弯曲剪应力为 根据最大剪应力失效准则，可知 所以销子上最大弯曲剪应力强度足够，安全。

21 第五节 轴的强度设计 一、圆截面轴扭转时横截面上的剪应力 二、圆截面轴强度准则
圆轴扭转变形时，各横截面就像刚性圆盘一样，绕轴线旋转了一个角度。各横截面无沿轴线相对移动。 可得出圆截面轴扭转变形时，横截面上只有剪应力，无正应力。而且，剪应力一定垂直于半径，并且沿半径方向呈线性变化，形心处为零，边缘最大。 圆截面轴扭转时横截面某一点剪应力计算公式 其中 T 为横截面上的扭矩；ρ为截面上点到形心的距离；Ip为截面对形心的极惯性矩，单位 二、圆截面轴强度准则 综合考查危险截面为横截面作用剪应力最大的截面，要保证圆轴正常工作，要保证危险截面上最大剪应力不能超过材料的许用应力。即

22 其中 为截面对形心的极惯性矩，单位 mm4 或m4 ； 为圆轴的抗扭截面模量，单位 mm3 或m3 。 对于实心圆 对于空心圆

23 三、受弯曲与扭转时圆截面轴的强度准则 （一）外力分析 在力 P 的作用下使圆轴发生弯曲与扭转组合变形。
（二）内力分析 A截面为危险截面，其中弯矩和扭矩分别为 （三）应力分析 （四）强度准则 A截面上a、b点为危险点，其应力状态为简单的二向应力状态。 根据第三强度理论有 对于塑性圆截面轴，其弯曲与扭转组合变形的强度准则为

24 实 例 汽车传动轴AB，由45号无缝钢管制成，外径D=90mm，内径d=85mm，许用应力[τ]=60MPa，传递的最大力偶矩m=1.5kNm。 要求：（1）校核其强度；（2）若改用材料相同，扭转强度相等的实心轴，确定其直径；（3）求空心轴与实心轴的重量比值 解： （1）校核扭转强度 （2）计算实心轴直径 d1 扭转强度相同的实心轴与空心轴，当材料相同时，它们的抗扭截面模量应相等。即

25 由此，得实心轴的直径为 （3）两轴重量之比 当两轴的材料、长度相同时，它们的重量之比，将等于横截面面积之比。

26 第六节 轴和梁的刚度设计 一、圆截面轴的扭转变形刚度设计 （一）描述扭转变形刚度的基本参数 设两截面的距离为 dx 时，其扭转角为
单位长度扭转角为 两截面长度为 l 时，其扭转角为 单位：rad （二）圆截面轴扭转变形的刚度准则 最大的单位长度扭转角不得超过材料的许用单位长度扭转角[θ]，即 GIp——称为轴的抗扭刚度。

27 二、梁弯曲变形的刚度设计 （一）描述扭转变形刚度的基本参数 挠曲线：梁发生弯曲变形，梁的轴线由直线变为连续而光滑的平面曲线称为挠曲线。
挠度：梁横截面形心沿y轴移动的距离。 挠曲线方程：挠度随截面位置变化的函数。 转角：横截面相对原来位置转过的角度。 （二）挠曲线近似微分方程 挠曲线方程的二阶导数与弯矩、抗弯刚度的关系，即 （三）梁弯曲变形的刚度准则

28 第七节 讨论与说明 一、工程实例中的问题综合 二、提高构件强度的途径
关于构件的力学模型，对构件进行静力分析与设计，重要的是如何正确建立构件的力学模型。 1、分析所研究的构件在实际中所处的位置及其所起的作用；分析与之相邻的构件之间的相互作用，确定力的传递过程。 2、将作用在构件及其附件上的力向构件横截面形心或弯曲中心简化，并以构件的轴线表示构件，得到构件的受力简图或计算简图。 3、必要时，需要作某种假定简化，例如曲率不大的杆，可近似采用直杆的分析结果；斜度不大的变截面杆，可近似应用等截面杆的理论公式。 二、提高构件强度的途径 提高构件的强度是指在不增加材料的前提下，使构件承受更大的载荷而不发生强度失效。 对于强度问题，只要降低危险截面处的弯矩或剪力，或采用各种方法使危险截面得以加固，就可以达到提高强度的目的。 例如，对于梁或承受纯扭转的圆轴，强度设计主要依据为

29 三、提高构件刚度的途径 所以可以有两种途径提高构件的强度：
1、通过改变支承与加力点的位置，或通过辅助构件，使弯矩或扭矩的峰值尽量减小。如下图 将两端支座向中间移动，可使中间截面上的弯矩逐渐减少，但支承处截面上的弯矩却逐渐增大，但二者数值相近时，这时的支承位置比较合理。 采用次梁加载，作用在主梁上的最大弯矩可比不用次梁加载降低得很多。 2、根据截面上的应力分布特点，选择经济、合理的截面形状。 例如根据梁横截面上正应力分布，在中性轴附近的材料没有充分利用，故在不改变很截面面积的情况下，将中性轴附近的材料移至距中性轴较远处，例可将截面设计成工字型、圆管形或其它空心截面，就能达到不增加材料而使强度提高的目的。 三、提高构件刚度的途径 提高构件刚度主要是指减小梁的弹性位移。除了采用合理的截面形状以增加惯性矩外，主要是减小梁的长度，当梁的长度无法减小时，则需增加中间支座。