第六章 数值积分与数值微分.

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1 第六章 数值积分与数值微分

2 §1 数值积分问题的提出 定积分计算： 牛顿莱布尼兹公式： 此时，f(x)在区间【a,b】上连续，F(x)为f(x)的原函数。
插值法满足p(xj)=f(xj)(j=0,1,…,n) 原始数据点误差仍保留，插值函数复杂。 转换思路：不一定要求给定点完全插值，而考虑总体趋势上逼近原函数特性，使二者之间的偏差按某种方法度量达到最小。 好处：尽可能减少测试误差影响，关系函数尽量简化。

3 困难：

4 思路：避免找原函数，设想积分值最好能由被积函数的值直接决定。
积分中值定理： （1）左矩形公式： （2）中矩形公式： （3）右矩形公式：

5 定积分定义：将【a，b】作分割a=x0<x1<…<xn=b，记 ，则
（4）近似计算公式： 一般数值求积公式： 求积节点：xk 求积系数：Ak

6 机械求积法：直接应用被积函数f(x)在一些节点上的函数值的线性组合得出积分的近似值。
机械求积法分类：插值型和外推型

7 机械求积法几何意义：矩形面积近似代替曲边梯形面积。

8 §2 插值型求积公式 2.1 插值求积公式

9 2.2 梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式 插值求积公式的特殊情形/常用情形，即分别取n=1，2，4的情形。

10 几何意义：两矩形面积和近似代替原曲边梯形面积。
（1）梯形公式T(f) ： 几何意义：两矩形面积和近似代替原曲边梯形面积。 a b a+b 2

11 （2）辛卜生公式（Simpson）S(f) ：

12 几何意义：三矩形面积和近似代替原曲边梯形面积。

13 （2）柯特斯公式（Cotes）C(f) ：

14 几何意义：五矩形面积和近似代替原曲边梯形面积。

15 2.3 插值型求积公式的截断误差与代数精度

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17 定理6.1 求积公式 至少具有n次代数精度的充分必要条件是该公式是插值型的，即

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21 2.3 梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式的截断误差

22 §3 复化求积公式

23 复化的出发点：减少求积区间长度对误差的影响，提高求积结果的精度。
复化的办法：将积分区间分为若干个小区间，每个小区间上应用基本求积公式计算，再将个小区间上的求积结果累加。

24 3.1 复化梯形公式

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26 3.2 复化辛卜生公式

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28 3.3 复化柯特斯公式

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30 3.4 复化求积公式的阶 结论：复化梯形公式、复化辛卜生公式和复化柯特斯公式分别是二阶、四阶和六阶收敛的。

31 3.5 步长的自动选择 问题：加密节点可提高精度，但求积之前必须给出合适的步长，太大满足不了精度，太小增加不必要的计算，如何选择步长？
办法：计算机自动选择，加逐次二分，反复求积，直至最后两次积分值的差满足精度要求为止。 理由：

32 §4 龙贝格求积公式 出发点：既发扬梯形公式的计算简单性，又显著提高其代数精度。

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36 复化梯形公式的递推计算：

37 龙贝格求积过程的列表描述：

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39 作业 P158习题6：第9题