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数理统计基本知识
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随机变量及其概率分布全面描述了随机现象的统计
性规律。概率论的许多问题中，随机变量的概率分布通常 是已知的，或者假设是已知的，而一切计算与推理都是在 这个基础上得出来的。 但实际中，情况往往并非如此，随机变量所服从的分布可能是完全不知道的，或者知道其分布概型，但是其中的某些参数是未知的。 某公路上行驶车辆的速度服从什么分布是未知的； 电视机的使用寿命服从什么分布是未知的； 产品是否合格服从两点分布，但参数——合格率p未知；
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数理统计学是一门关于数据收集、整理、分析和推断的
科学。 数理统计的任务则是以概率论为基础，根据试验所得到 的数据，对研究对象的客观统计规律性做出合理的推断。 以样本的信息来推断总体的信息，是数理统计学研究的 重要问题。
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总体 研究对象的全体称为总体。组成总体的每个研究对象 称为个体。 抽样 要了解总体的分布规律，在统计分析工作中，往往需 从总体中抽取一部分个体进行观测，这个过程称为抽样。
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样本 在抽取过程中，每抽取一个个体，就是对总体X 进行一次随机试验，每次抽取的n个个体 称为总体X的一个样本。 样本中所包含的个体数量称为样本容量。 样本 是n个随机变量，抽取之后 的观测数据 称为样本观察值或样本值。
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随机抽样方法的基本要求 代表性——即样本( )的每个分量 与总体 具有相同的概率分布。 独立性——即每次抽样的结果既不影响其余各次抽样的
代表性——即样本( )的每个分量 与总体 具有相同的概率分布。 独立性——即每次抽样的结果既不影响其余各次抽样的 结果，也不受其它各次抽样结果的影响。 满足上述两点要求的样本称为简单随机样本. 获得简单随机样本的抽样方法叫简单随机抽样.
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简单随机抽样 例如：要通过随机抽样了解一批产品的次品率， 如果每次抽取一件产品观测后放回原来的总量中，则 这是一个简单随机抽样。
但实际抽样中，往往是不再放回产品，则这不是一个简单随机抽样。但当总量N很大时，可近似看成是简单随机抽样。
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设总体X具有分布函数F(x), X1, X2, …, Xn 为 取自该总体的样本，则样本联合分布函数为
则样本的联合密度函数为 对于离散型总体X，设其概率函数为P(X=x) =p(x)， 则样本的联合概率函数为
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统计量 完全由样本决定的量称为统计量，它只依赖于样本，不依赖于任何未知参数. 例如： 设 是从正态总体 中抽取
例如： 设 是从正态总体 中抽取 的一个样本，其中 为已知参数, 为未知参数， 则 是统计量 不是统计量
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几个常用的统计量 设 是总体 的一个样本， 样本均值 样本方差 样本均方差或样本标准差
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设 是总体 的一个样本， 样本的K阶原点矩 样本的K阶中心矩 样本的2阶中心矩
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X(i) 称为该样本的第i 个顺序统计量，它的取值 是将样本观测值由小到大排列后得到的第 i 个
设 X1, X2, …, Xn 是取自总体X的样本, X(i) 称为该样本的第i 个顺序统计量，它的取值 是将样本观测值由小到大排列后得到的第 i 个 观测值。其中X(1)=minX1, X2,…, Xn称为该样本 的最小顺序统计量，称 X(n)=maxX1,X2,…,Xn为 该样本的最大顺序统计量。称R= x(n) -x(1)为极差 样本中位数
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设 X1,X, …, Xn 是取自总体分布函数为F(x)的样本，若将样本观测值由小到大进行排列,为 x(1), x(2), …, x(n)，则称 x(1), x(2), …, x(n) 为有序样本，
用有序样本定义如下函数 则Fn(x)是一非减右连续函数，且满足 Fn() = 0 和 Fn() = 1 则Fn(x)是一个分布函数，称Fn(x)为经验分布函数。
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例 某食品厂生产听装饮料，现从生产线上 随机抽取5听饮料，称得其净重（单位：克） 这是一个容量为5的样本，经排序可得有序样本： x(1)= 344, x(2)= 347, x(3)= 351, x(4)= 354, x(5)= 355 其经验分布函数为
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格里纹科定理 设X1,X2,…,Xn是取自总体分布函数为F(x)的样本, Fn(x) 是其经验分布函数。则对任意>0,当n时，有
PFn(x) F(x) = 1 当n 相当大时，经验分布函数是总体分布函数F(x)的一个良好的近似。经典的统计学中一切统计推断都以样本为依据，其理由就在于此。
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三大统计分布
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c2分布 设(X1，X2，…，Xn)相互独立, 且都服从标准正态分布N (0,1),则称 服从自由度为n的c2分布, 记为
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Xi~N( ， 2)且X1，X2，…，Xn相互独立，则
性质 设(X1，X2，…，Xn)为取自正态总体X~N( ， 2) 的样本，则 证明 Xi~N( ， 2)且X1，X2，…，Xn相互独立，则 且各 相互独立，
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例 设总体 为总体X 的样本, 试确定常数 c , 使 cY 服从 分布. 解
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2分布的数学期望与方差 设X～ 2(n)，则E(X)=n，D(X)=2n. 2分布的可加性 设 且X与Y相互独立， 则
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分位数 x o y x 对X和给定的 (0<<1)，若存在x， 则称x为X的分布的上侧分位数
使P{X≥x} =， 对X和给定的 (0<<1)，若存在x， 则称x为X的分布的上侧分位数 x o y x
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u0.05 =1.645. 标准正态分布的上侧分位数u P{U<u} =1- (u) =1-
(x) x O u P{U≥1.645} =0.05
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2分布的上侧分位数 fn(x) x O 当n不太大时，可查附表3； 当n比较大时； 例如，
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据林德伯格-莱维中心极限定理，当 时 由性质
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t分布 t 分布的数学期望与方差 设随机变量X～N(0，1)，Y～ 2(n) ，且X与Y相互独立，则称统计量 服从自由度为n的t分布，记为
设T～t (n)，则E(T)=0，D(T)=
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t分布的上侧分位数t(n) t t(n) t1- (n) t(n)=-t1- (n) f(t) O 当n较小时，可查表；
t(n)≈u
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F分布 F～F(n1，n2). 设随机变量X～ 2(n1)，Y～ 2(n2)，且相互独 立，则称随机变量
服从第一自由度为n1，第二自由度为n2的F分布， 记作 F～F(n1，n2). 性质1 若F～F(n1，n2)，则 ～F(n2，n1).
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U2～2(1)， ～ F(1, n). 例 若T～t(n)， 问T2服从什么分布？ 解 因为T～t(n)， 可以认为
其中U～N(0,1)， V～2(n)，且U,V独立 U2～2(1)， ～ F(1, n).
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F分布的上侧分位数F(n1，n2) f(x) x O F(n1, n2) 值较小时，可查表； 当 较大时，可以由公式 得出
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证明
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抽样分布定理 设(X1，X2，…，Xn)为来自正态总体 X～N( ， 2)的样本，则
(1) 样本均值 与样本方差S 2相互独立；(证明，略) (2) (证明，略) (3) (4)
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例 设(X1，X2，…，Xn)为取自正态总体X～N( ， 2)
的样本，则
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例 设(X1，X2，…，Xn)为取自正态总体 的样本，(Y1，Y2，…，Ym)为取自正态总体 的样本。X与Y独立，则 的 则
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证明 设(X1，X2，…，Xn)为来自正态总体
由于 与S 2相互独立，则U,V相互独立
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且U,V相互独立， 由F分布的定义有 例 设 为正态总体 的样本容量和样本方差；设 为正态总体 的样本容量和样本方差。设两个总体相互独立，则
例 设 为正态总体 的样本容量和样本方差；设 为正态总体 的样本容量和样本方差。设两个总体相互独立，则 证明 且U,V相互独立， 由F分布的定义有
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～t(2). Xi～N(0,1)，i=1, 2, …, n.且相互独立 X1-X2 ～N(0, 2)，
例 设总体X～N(0,1)， X1，X2，…，Xn为简单随机样本，试问下列统计量各服从什么分布？ Xi～N(0,1)，i=1, 2, …, n.且相互独立 解 (1) X1-X2 ～N(0, 2)， 且U,V相互独立 ～t(2).
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～t(n-1). 例 设总体X～N(0,1)， X1，X2，…，Xn为简单随机样本，试问下列统计量各服从什么分布？ (2)
且U,X1相互独立 ～t(n-1).
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～F(3，n-3). 例 设总体X～N(0,1)， X1，X2，…，Xn为简单随机样本，试问下列统计量各服从什么分布？ (3)
且U,V相互独立 ～F(3，n-3).
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例 设总体X～N( , 42)， X1，X2，…，X10是简单随机样本， S2为样本方差，已知P{S2>}=0.1,求 .
因为n=10，n-1=9， 2=42， 解 所以 ～2(9). 又 P{S2> }= =0.1， 所以 ≈ 故 ≈26.105
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例 从正态总体 中，抽取了 n = 20的样本 (1) 求 (2) 求 解 (1) 即
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(2)
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例 设X 与Y 相互独立，X ~ N(0,16),Y ~ N(0,9) , X1, X2 ,…, X9 与Y1, Y2 ,…, Y16分别是取自 X 与 Y 的简单随机样本, 求统计量 所服从的分布.
解 U,V相互独立
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