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绪论(二) 实验数据的处理 复旦大学物理教学实验中心

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1 绪论(二) 实验数据的处理 复旦大学物理教学实验中心 http://Phylab.fudan.edu.cn
基础物理实验 绪论(二) 实验数据的处理 复旦大学物理教学实验中心 符维娟 光华楼西辅楼 B 1

2 资料领取: 补充讲义一份 实验报告纸一份 数字示波器实验报告册

3 如何做物理实验

4 报告分数比例:

5 为什么要精密测量? 1894年,英国化学家瑞利(Rayleigh)发现从空气中分离出来的氮 气的密度比从氨中得到的氮气的密度大0.5%
Rayleigh和Ramsay与1895年发现惰性气体氩(Argon),氩在 空气中占比约1%。 1929年用化学方法测定的H和16O质量比:  :16 1927年英国物理学家阿斯顿(Aston)用质谱法测得的 H和16O质量比:  :16 1931年,伯奇(Birge)和门泽尔(Menzel)与认为化学法测得的是氢 、氘的平均质量,后者占比约1:5000 1932年被尤雷(Urey)、Brickwedde和 Murphy的光谱测量结果所 证实 译自《Practical Physics》

6 为什么要进行数据处理? 大量的 杂乱无章的 难以理解 物理实验的目的:探寻和验证物理规律。 大多数物理规律是用物理量之间的定量关系来表述的。
实验得到的数据只有经过认真地、正确地、有效地处理才能得出公认的、合理的结论。

7 绪论(二) 测量误差和数据处理 测量与误差 测量的不确定度和结果表达 有效数字及其运算法则 常用的数据处理方法

8 测量与误差 1、测量(MEASUREMENT) 测量的结果应包括 数值、单位以及结果可信赖的程度
测量是以确定被测对象量值为目的的全部操作, 它是物理实验的基础。 直接测量: 将待测量直接与标准物理量比较 如:用卡尺测长度、秒表测时间、温度计测温度等 间接测量: 利用一定的函数关系由一个或几个直接测量量得到的物理量 如:测量重力加速度、体积、密度、粘度等 测量的结果应包括 数值、单位以及结果可信赖的程度

9 2、真值(true value)的不可知性 真值是不可知的, 故误差的值从根本上也是不可知的。 物理量自身客观存在的量值称为该物理量的真值.
对待测物理量用同一种方法、使用同样仪器、在同样环境下进行多次重复测量,结果也不完全相同。 所谓“等精度测量” 测量值与真值之间总存在差异。 误差(error)存在于一切测量值中,并贯穿测量的始终。 真值是不可知的, 故误差的值从根本上也是不可知的。 只能估计其范围或限度 因此科学的测量还要给出结果的精确度或误差范围。

10 3、误差的定义与表达方式 绝对误差(δ )=测量结果(x)-被测量的真值(a) 相对误差(Er)=绝对误差(δ)/ 真值(a)×100%
在实际操作中(尤其在教学实验中),常常用十分接近于真值的所谓“约定真值”代替真值。 误差有正负之分。 测量误差的大小反映了测量结果的精确程度。 误差分析的作用: 分析误差的性质和原因,正确处理数据,消除减少误差或确定误差的范围,并做出精度评价。 设计实验时,对测量结果先确定一个精度要求,用误差分析方法合理选择测量方法,仪器和条件,以便达到预期。

11 a.系统误差(systematic error):
4、误差的分类 按照测量误差的特点、性质和规律,以及对测量结果的影响方式,将其分为系统误差,随机误差和粗大误差三类: a.系统误差(systematic error): 多次测量时,保持恒定或以特定规律变化的误差分量。 系统误差的特点是具有确定性。 仪器误差—如标尺的刻度偏差、指针的安装偏心等; 理论误差—如伏安法测电阻中欧姆定律的使用; 观测误差—如动态测量时,记录信号有滞后的倾向。

12 系统误差的处理方法 i) 在确定实验方案时避免其产生 ii) 在实验过程中直接消除 iii) 在数据处理时对实验数据进行修正
增加测量次数误差不能减少,只能从方法、理论、仪器等方面的改进与修正来实现。 i) 在确定实验方案时避免其产生 合理选择实验方法 改进实验装置 事先校准仪器…… ii) 在实验过程中直接消除 例如:用自组电桥测电阻时采用“交换法” iii) 在数据处理时对实验数据进行修正

13 如:电磁场等的微扰,测量者的心理等。 b.随机误差(random error) : 在多次测量过程中以“不可预知方式”变化的误差分量。
随机误差的特点是单个具有随机性,而总体服从统计规律。 如:电磁场等的微扰,测量者的心理等。 在相同的测量条件下,对某一被测量进行多次重复测量,假设系统误差已经消除。如果该被测量的真值为a,则根据误差的定义,各次测量的误差为 (i=1,2,…,n) 实验和统计理论都证明,当重复测量次数足够多时,随机误差服从或接近正态分布(或称高斯分布)规律。

14 式中的是一个与实验条件有关的常数,称之为正态分布的标准误差。±是曲线两个拐点的横坐标位置。
随机误差的统计处理 ※算术平均值是真值的最佳估计值 随机误差正态分布的性质: ① 单峰性:绝对值小的误差出现的可能性(概率)大,绝对值大的误差出现的可能性小。 ② 对称性:大小相等的正误差和负误差出现的机会均等,对称分布于真值的两侧。 ③ 有界性:非常大的正误差或负误差出现的可能性几乎为零。 ④ 抵偿性:当测量次数非常多时,正误差和负误差相互抵消,于是,误差的代数和趋向于零。 式中的是一个与实验条件有关的常数,称之为正态分布的标准误差。±是曲线两个拐点的横坐标位置。

15 标准误差的物理意义 如果很大,误差分布的范围就较宽,说明测得值的离散性大,测量的精密度低。
它是描述测量数据分散性指标的特征量 若测量的标准误差很小,则测得值的离散性小,重复测量所得的结果相互接近,测量的精密度高; 如果很大,误差分布的范围就较宽,说明测得值的离散性大,测量的精密度低。 标准误差不是具体的测量误差值,而是一组测量的随机误差出现概率的分布情况,是统计性的特征值。

16 置信区间和置信概率 f(δ) δ 误差出现在置信区间的概率 置信概率 置信区间 坏值的剔除

17 标准误差与标准偏差 标准误差(标准差): 标准偏差-贝塞尔公式: 作为真值a的最佳估计值 标准偏差是标准误差的最佳估计值 无限次测量
有限次测量 n很大,但有限 作为真值a的最佳估计值 标准偏差是标准误差的最佳估计值 ※测量次数n为有限次时用贝塞尔公式计算直接测量的实验标准差

18 算术平均值的标准偏差与测量次数的影响 平均值的标准偏差比任何一次测量的实验标准差小,增加测量次数,可以减少平均值的标准偏差,提高测量的准确度. 但是,n>10以后,n再增加,平均值的标准偏差减小缓慢,因此,在物理实验教学中一般取n为6~10次 s 5 10 n 15

19 若无法消除或修正(系统误差或随机误差),应评估其对测量结果可靠性的影响或误差范围。
由此给出引起测量值的离散性的合理指标。 c.粗大误差 由于实验者粗心大意或环境突发干扰而造成的,该测量值为坏值,在处理数据时应予以剔除(采用判据)。

20 5、测量结果的评价- 精确度 精度 精密度反映随机误差大小的程度,它是对测量结果的重复性的评价。精密度高是指测量的重复性好,各次测量值的分布密集,随机误差小。但是,精密度不能确定系统误差的大小。 正确度反映系统误差大小的程度。正确度高是指测量数据的算术平均值偏离真值较小,测量的系统误差小。但是正确度不能确定数据分散的情况,即不能反映随机误差的大小。 精确度反映系统误差与随机误差综合大小的程度。准确度高是指测量结果既精密又正确,即随机误差与系统误差均小。

21 测量结果的评价-以打靶为例 真值 uA大 uB2大 下载于百度文库:不确定度.ppt

22 正确度、精密度与精确度 uA大 uB2大 真值 随机误差大 系统误差大 正确度高 精密度高 精确度高!
(c)精确度高,系统误差和随机误差都小。 22

23 1、测量结果的不确定度 二、测量的不确定度和结果表达
由于实际取得实验结果的过程是复杂的,在实际测量中很难界定系统误差和随机误差,因此,用误差评定测量结果是困难的。为了以最佳方式评价测量结果, 国内外有关计量部门和组织的规定(1980),应引入不确定度(uncertainty of measurement)这一参数,定量表征被测量值的分散性。 任何测量都存在不确定度——不确定度存在原理。 不确定度是测量结果不能肯定的程度,是测量质量的量度。

24 不确定度与误差的比较 不确定度和误差是两个不同的概念。误差是指测量值和真值之差,一般情况下,它是未知的、确定的、可正可负的量;
不确定度是表示误差可能存在的范围,它的大小可以按一定的方法计算(或估计)出来。不确定度大,不一定误差的绝对值也大。两者不应混淆。(如前:正确度好,精密度低的数据) 测量结果 表示区间 以一定的概率包含真值。 要完整地表示一个物理量,应该有数值、单位、不确定度( Δ )这三个要素。

25 2、不确定度的分类和计算 A类不确定度——测量者对观测列进行统计分析,且用标准不确定度进行估算。
B类不确定度——测量者对观测列不进行统计分析,且用标准不确定度进行估算。 合成不确定度——A、B两类不确定度相互独立, A、B两类不确定度的方和根合成称为合成不确定度,

26 a.不确定度的分类 A类不确定度(多次测量, 平均值的标准偏差) B1 类不确定度 d为仪器的分度值 (单次测量) B 类不确定度
uB1=d/10(最好) B1 类不确定度 d为仪器的分度值 (单次测量) uB1=d/5 (中等) uB1=d/2 (较差) B 类不确定度 uB1=d (特殊情况,比如数字显示) B2 类不确定度 (仪器不确定度) a为仪器的不确定度限值 C称为“置信因子”,取 (仪器误差均匀分布) 26 26

27 b.不确定度的合成 测量结果以一定的概率包含真值。 以上置信概率是P=0.683,若将P提高到0.95,则1.96u(x) 单次测量:
在长度测量中,长度值是两个位置读数x1和x2之差, 其不确定度合成公式为: 多次测量: 测量结果以一定的概率包含真值。 以上置信概率是P=0.683,若将P提高到0.95,则1.96u(x) 27

28 c.不确定度的传递 一般传递公式,当各直接测量的量相互独立无关时: 偏导,测量量对该自变量的变化率 传递系数,该自变量对不确定度的贡献大小
28

29 加减: 几个常用的传递公式 乘除: 乘方:

30 d.不确定度的表达 1、测量结果不确定度的一般表示法: 如:长度为(1.05±0.02)cm。 2、不确定度的百分比表示法:
30 30

31 不确定度的总结 不确定度评定的意义 --- 过大?过小? 不确定度的分类 --- A类不确定度、B1和B2类不确定度
不确定度的合成 --- 单次测量、多次测量 不确定度的传递 --- 加减、乘除、乘方 不确定度本身一般只取一位有效数字 ---当修约前首位数字是1时,不确定度应保留两位有效数字;运算过程中,一般要取两位或者更多。 测量值的末位有效数字应与不确定度的有效数字对齐 --- 即:测量值的末位有效数字是不确定的。 31

32 1、有效数字——从第一个不为0的数开始算起的所有数字。
三、有效数字及其运算法则 1、有效数字——从第一个不为0的数开始算起的所有数字。 0.35 (2个) 3.54 (3个) (4个) (5个) 通常规定测量结果数值中的可靠数字与所保留的一位(或两位)可疑数字,统称为有效数字。 哪些是多余的数字——测量结果的一般表示法:量值的大小(数值和单位),并给出不确定度。( )cm 结合上节课测量例子讲解“可靠数字”“可疑数字” 有效数字[1] :具体地说,是指在分析工作中实际能够测量到的数字。能够测量到的是包括最后一位估计的,不确定的数字。 我们把通过直读获得的准确数字叫做可靠数字;把通过估读得到的那部分数字叫做存疑数字。 一般情况下不确定度的有效数字只取一位,其数位即是测量结果的存疑数字的位置;有时不确定度需要取两位数字,其最后一个数位才与测量结果的存疑数字的位置对应。

33 有效数字很重要! 测量一个物体的厚度 2cm 2.0cm 2.00cm 2.000cm 这些表达式不一样 33

34 2、有效数字的运算规则: 加减法: 与不确定度最大项的末位有效数字对齐。如
57.31+0.0156- (= )=55.08 乘除法: 与最少个数的有效数字相同。如 57.31×0.0156÷ (= )=0.399 四位 三位 六位 三位 特殊数的有效数字位数:参与运算的准确数字或常数,比如1、π、e等的有效数字的位数可以认为 是无限多。 乘方、立方、开方:和原数相同 对数:n位对数表 三角函数:和原数相同 加减法:小数点后位数最少,尾数对齐 乘除法:有效数字位数最少,位数对齐 “不确定度最大项”在讲解不确定度这个概念之前,可以先以“可疑数字最高位”来帮助同学理解。 34

35 3、为什么使用修约规则? 有效数字的修约:对某一表示测量结果的数值,根据保留位数的要求,去掉数据中多余的位,叫数值修约,也叫做化整。
即便,计算机运算,也要对结果和误差,运用有效数字运算规则进行判别。 3、为什么使用修约规则? 有效数字的修约:对某一表示测量结果的数值,根据保留位数的要求,去掉数据中多余的位,叫数值修约,也叫做化整。

36 Rounding method 修约规则很重要
-- very significant effect on the result. A famous instance: a new index the Vancouver Stock Exchange in 1982. Initially ; after 22 mo. ~ 520 (but stock prices had generally increased) Problem? rounded down 1000s times daily rounding errors accumulated. Recalculating -- with better rounding Nicholas J. Higham (2002). Accuracy and stability of numerical algorithms. p. 54. ISBN  , 转引自 Wikipedia: Rounding 36

37 为什么使用修约规则? 选取修约规则的原则 – 对大量数据进行修约后,修约误差能达到相互抵消,而不导致互相迭加而积累;
数据修约国家标准(GB1807-1987) 选取修约规则的原则 – 对大量数据进行修约后,修约误差能达到相互抵消,而不导致互相迭加而积累; 修约规则“4舍6入5成双”合理假设最后 第二位奇偶几率各半。这样舍去或增加最 后第二位的0.5的几率一样。 这是对测量结果的有效数字修约; 对于误差和不确定度呢? 一位 首位是1 、2时候,留两位 37 37

38 有效数字修约规则 “4”代表小于5 “6”代表大于5 小于5舍、大于5入 刚好是5时,若前一位为奇数则入,为偶数则舍。 “4舍6入5成双”
38

39 一个修约的例子 如:计算值x1为3.54835; x2为3.65325 4舍6入5成双 3.54835 3.65325 不确定度 x1取值
0.0003 3.5484  3.6532  0.002 3.548  3.653  0.04 3.55  3.65 0.3 3.5  3.7  4舍6入5成双 39

40 3 . 5 4 8 计算值: . 2 不确定度: 修约结果: 3 . 5 4 8 40

41 3 . 5 4 8 计算值: . 4 不确定度: 修约结果: 3 . 5 41

42 向后看 向前看 3 . 5 4 8 3 4 5 计算值: . 3 不确定度: 修约结果: 3 . 5 4 8 42

43 3 . 6 5 2 3 . 6 5 计算值: . 1 不确定度: 修约结果: 3 . 6 3 . ? 3 . 7 43

44 例:测量一个圆柱体的密度 分析待测量 间接测量量 转化为3个直接测量量M、D、h 为了不改变有效数字,
单位换算,交换小数点位置,小单位换成大单位 例:测量一个圆柱体的密度 分析待测量 间接测量量 转化为3个直接测量量M、D、h 44

45 例:测量一个圆柱体的密度 质量的测量:选用最小指示值为0.01g、不确定度限值为0.02g的电子天平, 测得:M=80.36g
高度的测量:选用最小分度值为0.1cm、不确定度限值为0.01cm的钢尺,估读1/5分度, 测得左端读数:H1=4.00cm 测得右端读数:H2=19.32cm 45

46 例:测量一个圆柱体的密度 直径的测量:选用最小分度值为0.002cm、不确定度限值为0.002cm的游标卡尺, 测得数据如下: 46

47 例:测量一个圆柱体的密度 数据处理: 质量的测量:选用最小指示值为0.01g、不确定度限值为0.02g的电子天平,测得:M=80.36g
多保留一位有效数字 47

48 例:测量一个圆柱体的密度 例:测量一个圆柱体的密度 数据处理:
高度的测量:选用最小分度值为0.1cm、不确定度限值为0.01cm的钢尺,估读1/5分度,测得左端读数:H1=4.00cm,测得右端读数:H2=19.32cm; 多保留一位有效数字 48

49 例:测量一个圆柱体的密度 数据处理: 直径的测量:选用分度值为0.002cm、不确定度限值为0.002cm的游 标卡尺,测得数据如下:
计算过程中 多保留一位有效数字 49

50 例:测量一个圆柱体的密度 为了不改变有效数字, 合理使用科学记数法。 单位换算,交换小数点位置,小单位换成大单位 数据处理: 50

51 四、常用数据处理方法 1、列表法 列表法清晰、简便,是一种重要的数据处理方法 测量次数 左读数/mm 右读数/mm 直径Di/mm
12.764 18.762 5.998 2 10.843 5.995 3 11.987 16.838 5.991 4 11.588 5.996 5 12.346 17.978 5.992 6 11.015 直径平均值 5.9945

52 为什么要作图? 作图规则? 如何读图? 2、作图法处理实验数据 作图纸请到本部教育超市或者相辉堂内的仓库自行购买,本课程用量不会超过10张。
52

53 a.为什么要作图 清晰地看到定性关系 方便地比较不同特性 合理地从图上得到有用的信息 在不同磁场下锑化铟的磁阻变化曲线 二极管伏安特性
电阻随温度的变化关系 53

54 b.作图规则 1.选择坐标纸 2.根据自变量-因变量选择图纸方向(一般取自变量为横坐标),选择合适比例,图纸上1格所表示的数据量值符合原数据量值变化的1、2、5等数(或它们的十进倍率),便于读取。 3.画坐标轴、分度线(等间距、勿太密)并标明物理量名称(斜体)及单位(正体)。 54

55 作图规则 40 38 36 34 32 30 R/  / ℃ 55

56 作图规则 1.选择坐标纸 2.根据自变量-因变量选择图纸方向(一般取自变量为横坐标),选择合适比例,图纸上1格所表示的数据量值符合原数据量值变化的1、2、5等数(或它们的十进倍率),便于读取。 3.画坐标轴、分度线(等间距、勿太密)并标明物理量名称(斜体)及单位(正体)。 4.画数据点(不标数据值,要用端正的“+”或者“⊙” 符号来表示,不同组数据要用不同的符号)。 56

57 作图规则 40 38 36 34 32 30 样品A + 样品B + R/  / ℃ 57

58 作图规则 作图规则 1.选择坐标纸 2.根据自变量-因变量选择图纸方向(一般取自变量为横坐标),选择合适比例,图纸上1格所表示的数据量值符合原数据量值变化的1、2、5等数(或它们的十进倍率),便于读取。 3.画坐标轴、分度线(等间距、勿太密)并标明物理量名称(斜体)及单位(正体)。 4.画数据点(不标数据值,要用端正的“+”或者“⊙” 符号来表示)。 5.画直线或曲线,标明特殊点(特殊点所用符号应有别于 数据点的符号)及坐标值(计算斜率用的点,曲线的峰、 谷等)。 58

59 作图规则 样品A + 样品B + + + + + 40 38 (60.0, 38.5) 36 34 32 30 R/
(26.0, 31.8) + + R/ + + +  / ℃ 59

60 作图规则 作图规则 6.写出实验名称、图名、实验者、实验日期。 1.选择坐标纸
2.根据自变量-因变量选择图纸方向(一般取自变量为横坐标),选择合适比例,图纸上1格所表示的数据量值符合原数据量值变化的1、2、5等数(或它们的十进倍率),便于读取。 3.画坐标轴、分度线(等间距、勿太密)并标明物理量名称(斜体)及单位(正体)。 4.画数据点(不标数据值,要用端正的“+”或者“⊙”符号来表 示)。 5.画直线或曲线,标明特殊点(特殊点所用符号应有别于数据点的符号) 及坐标值(计算斜率用的点,曲线的峰、谷等)。 6.写出实验名称、图名、实验者、实验日期。 60

61 作图规则 样品A + 样品B + + + + + 40 38 (60.0, 38.5) 36 34 32 30 R/
(26.0, 31.8) + + R/ + + 实验名称:******** 图 名:******** 实 验 者:******** 实验日期:******** +  / ℃ 61

62 c.如何读图 读某个数据点时-有效数字 读单一坐标值时-有效数字、单位 通过作直线求斜率时 取点、标出坐标值、计算斜率(单位)
取点三个规则: 不能取原始数据点; 尽量远但不超数据范围; 取与X轴刻度线的交点。 62 62

63 例:如何读图 读单一坐标值时——有效数字、单位; 样品A + 样品B + + + + + 40 38 36 34 32 30 R/
实验名称:******** 图 名:******** 实 验 者:******** 实验日期:******** 31.8 +  / ℃ 63 63

64 例:如何读图 读某个数据点时——有效数字; 样品A + 样品B + + + + + 40 38 (60.0, 38.5) 36 34 32
30 样品A + 样品B (60.0, 38.5) (26.0, 31.8) + + R/ + 从图上求斜率 + 实验名称:******** 图 名:******** 实 验 者:******** 实验日期:******** +  / ℃ 64 64

65 例:如何读图 作图法求斜率: 取点、标出坐标值、计算斜率(单位) 取点三个规则: 不能取原始数据点; 尽量远但不超数据范围;
作图法求斜率: 取点、标出坐标值、计算斜率(单位) 40 38 36 34 32 30 +  / ℃ R/ 样品A + 样品B (60.0, 38.5) (26.0, 31.8) 实验名称:******** 图 名:******** 实 验 者:******** 实验日期:******** 取点三个规则: 不能取原始数据点; 尽量远但不超数据范围; 取与X轴刻度线的交点。 跟学生强调:数据处理不可以写在图纸上 65 65

66 例:关于作图 例:关于作图 在伏安法测电阻的实验中,同学根据测得的数据如下: 这幅图中存在什么问题呢? 66

67 如何找到一条最佳的拟合直线? 内接法: + 外接法:  实验名称:伏安法测电阻 图 名:内接与外接时的伏安曲线
内接法: + 外接法:  如何找到一条最佳的拟合直线? 实验名称:伏安法测电阻 图 名:内接与外接时的伏安曲线 实 验 者:******** 实验日期:******** 67

68 k=( )/( ) =0.15/150=0.001 k=( )/( ) =0.150/150=1.00×10-3(1/mT) (373,0.45) (374,0.450) (223,0.3) (224,0.300) 数据处理时,可能要分段拟合 在不同磁场下锑化铟的磁阻变化曲线 68 68

69 3、逐差法 逐差法一般用于等间隔线性变化测量所得数据的处理,是把测量数据分成高低两组实行对应项相减的一种数据处理方法. 例如声速的测定实验中,用行波法测量声波波长的以下一列数据: 如果简单的将每一个波峰的距离直接计算出来,有: 只有始末两次测量值起了作用,等效于只测 。为了充分利用测量数据,减小测量误差,应采用逐差法: N 1 2 3 4 5 6 7 8 9

70 (1)将测量列按次序分为高低两组 ; (2)取对应项的差值后再求平均:
其中 为6个峰值间的距离,即 逐差法是物理实验中常用的数据处理方法,它的优点是:充分利用各个测量数据,减小测量误差和扩大测量范围。其应用的一般条件是:处理等间隔线性变化的测量数据。

71 是从统计的角度处理数据,并能得到测量结果不确定度的一种方法。
4、最小二乘法 —1806年,法国,勒让德 是从统计的角度处理数据,并能得到测量结果不确定度的一种方法。 假设两个物理量之间满足线性关系,其函数形式可写为 y=a+bx。现由实验测得一组数据 为了讨论简便起见,认为xi值是准确的,而所有的误差都只与yi联系着。那么每一次的测量值yi与按方程(y=a+bxi)计算出的y值之间的偏差为

72 根据最小二乘法原理,a、b的取值应该使所有y的偏差平方之和
为最小值,根据极值条件 由此可得:

73 由此可求得a和b

74 yi和a、b的误差估算以及相关系数 如果y和x的相关性好,可以粗略考虑a的有效位数的最后一位与y的有效数字最后一位对齐,b的有效数字与yn-y1和xn-x1中有效位数较少的相同。

75 最小二乘法应用举例 巳知某铜棒的电阻与温度关系为: 。实验测得7组数据(见表1)如下:试用最小二乘法求出参量R0以及k 。 表 1:在不温度下,铜棒的电阻值  / ℃ 19.10 25.10 30.10 36.00 40.00 45.10 50.10 R /  76.30 77.80 79.75 80.80 82.35 83.90 85.10 分析:此例中只有两个待定的参量R0和k,为得到它们的最佳系数,所需要的数据有n、 、 、 、 和 六个累加数,为此在没有常用的科学型计算器时,通过列表计算的方式来进行,这对提高计算速度将会有极大的帮助(参见表2),并使工作有条理与不易出错。 75

76 最小二乘法应用举例 表2:用最小二乘法拟合数据 i q /℃ Rq/W q´q Rq ´Rq q ´Rq 1 19.10 76.30
364.81 2 25.10 77.80 630.01 3 30.10 79.75 906.01 4 36.00 80.80 5 40.00 82.35 6 45.10 83.90 7 50.10 85.10 n= 245.50 566.00 76

77 最小二乘法应用举例 说明:电阻Rt与温度t的线性关系良好, 所以取R0的有效数字与R对齐,即:R0=70.76;
相关系数保留到第一个非9的数字 说明:电阻Rt与温度t的线性关系良好, 所以取R0的有效数字与R对齐,即:R0=70.76; 又因为t7-t1 = 31.00℃,R7-R1 = 8.80,取k有效数字为以上两个差值中较少的位数3位,则k = 0.288/C。 由此可以得到电阻与温度的相关关系为: 77

78 最小二乘法步骤: 写出拟合直线方程: 确定方程中的自变量x和应变量y (自变量为两个测量量中不确定度较小的) 代入公式解出: P19.
进一步得出直线的两个参数k、b以及相关系数r 写出结论 如有要求可通过公式得出各物理量的不确定度

79 最小二乘法应用举例 表2:列表计算 i t / ℃ ( xi ) Rt /  ( yi ) t×t ( x2i ) Rt  Rt
( xi yi ) R计算 /  i /  i2×10-4 /  1 2 3 4 5 6 7 19.10 25.10 30.10 36.00 40.00 45.10 50.10 76.30 77.80 79.75 80.80 82.35 83.90 85.10 364.8 630.0 906.0 1296 1600 2034 2510 5821.7 6052.8 6360.1 6528.6 6781.5 7039.2 7242.0 1457.3 1952.8 2400.5 2908.8 3294.0 3783.9 4263.5 76.26 77.99 79.43 81.13 82.28 83.75 85.19 +0.04 -0.19 +0.32 -0.33 +0.07 +0.15 -0.09 16 361 1024 1089 49 225 81 245.50 566.00 9340.8 2845×10-4 i t / ℃ ( xi ) Rt /  ( yi ) t×t ( x2i ) Rt  Rt ( y2i ) t×Rt ( xi yi ) R计算 /  i /  i2×10-4 /  1 2 3 4 5 6 7 19.10 25.10 30.10 36.00 40.00 45.10 50.10 76.30 77.80 79.75 80.80 82.35 83.90 85.10 364.8 630.0 906.0 1296 1600 2034 2510 5821.7 6052.8 6360.1 6528.6 6781.5 7039.2 7242.0 1457.3 1952.8 2400.5 2908.8 3294.0 3783.9 4263.5 245.50 566.00 9340.8

80 最小二乘法应用举例 计算k 和b的不确定度,由公式计算,可得: 故: 则:

81 5、用Origin来拟合数据 列出数据表 画出散点图 拟合数据 得到拟合曲线 根据作图要求 修改图 实验名称:*****
图 名:铜棒电阻随温度的变化曲线 实验者:*** 实验日期:**** 列出数据表 画出散点图 拟合数据 得到拟合曲线 根据作图要求 修改图 此处插入的拟合结果是没有考虑有效数字的情况。 R = R0+at Parameter Value Error α 70.8 0.3 R0 0.288 0.009 R SD N P 0.998 7 <0.0001 81 81

82 用Origin来拟合数据-步骤 2. 画出散点图 4. 得到拟合直线 1. 列出数据表 3. 拟合数据 实验名称:*****
图 名:铜棒电阻随温度的变化曲线 实验者:*** 实验日期:**** 3. 拟合数据 82

83 用Origin来拟合数据-拟合结果 得出电阻值随温度变化的关系式: 正确的表达式: 或 有效位数 物理量符号、单位
此处要强调拟合结果的有效数字。 <Results Log> Value:相应物理量的数值结果 Standard Error:相应物理量的标准偏差 R:相关系数 N:参与拟合的数据点的数目 P:Probability (that R is zero) R为0的概率 SD:拟合的标准差 正确的表达式: 83 83

84 在网上提前选择实验 并写预习报告! http://phylab.fudan.edu.cn 物理实验课程 – 基础物理实验
根据选课及分组名单中分组表确认自己所在组别 严格按照分组表登陆对应的“· · · · · ·实验室选实验登记表”选择实验填写姓名 选择实验前请仔细阅读登记表前的选实验要求 完成预习报告和数据处理作业并带至实验室 84

85 第三周实验安排(光华楼西辅楼8楼) 登陆实验中心网站http://phylab.fudan.edu.cn
组号 实验室 实验名称 第1组 804 液氮比汽化热的测量 碰撞打靶、转动惯量 第2组 802 LCR串联谐振电路 直流电桥、亥姆霍兹线圈 第3组 801 数字示波器,磁阻,二极管 第4组 805B 量子论实验 X光实验 第5组 805A 透镜焦距的测量 牛顿环、光的衍射 第6组 803 计算机实测物理实验 登陆实验中心网站 光华楼西辅楼8楼走廊橱窗内的实验分组名单 85

86 数据处理作业 数据处理作业要求在下周上课前完成,写在A4大小的纸张上即可,第三周带至实验室交给所在实验室教师或者助教! 迟交扣分!
(课程网页有作业电子版供下载) 数据处理作业要求在下周上课前完成,写在A4大小的纸张上即可,第三周带至实验室交给所在实验室教师或者助教! 迟交扣分!

87 数据处理作业 1.改正下列数据。 (先修正不确定度,一位,再将结果和不确定度对齐) (1) ± (2)5.2500± (3)100600±3000 2.计算(一步一步写过程,中间结果多留一位,用下标标记实际应保留位置) (1)1.35×5.00+20.0×2.02+20×0.1 (2)5.02×103-40 (3)(4.160-2.2)×3.768÷2.60 (动手做一做) (3)(4.160-2.2)×3.768÷ = 1.96×3.768÷2.60=(两位!!) (4)4.25×1.800×(1+4/8)(括号中的“1”为准确数) (以下参照PPT例题) 3、 用千分尺多次测量某一金属薄片的厚度 d(如下表),千分尺的不确定度限值为 0.004mm,试求 d 及其不确定度 u(d)。 d/mm 、 用钢尺(分度值为 1mm,不确定度限值为 0.50mm)测量某一物体的长度 l,实验中用 1/10 估读,读得其左端读数 l1为 10.00cm,右端读数 l2为 17.26cm,试 求 l 及其不确定度 u(l)。 5、 利用单摆测重力加速度 g,当摆角很小时有 g=(4π2L)/T2,式中 L 为摆长,T 为周期,它们的测量结果用不确定度分别表示为:L=(97.69±0.02)cm, T=(1.9842±0.0002)s,试求重力加速度 g 的测量结果。 6.由单摆实验得到如下测量数据,请在作图纸上按作图规则作直线图,根据直线斜率求重力加速度。(本次作业要求必须在作图纸上手绘) 摆长 L / cm 周期 T2 / s (提示:原点可取为 L=50cm,T2=2.0s2。)

88 注意事项! 没有预习报告不可以做实验。 迟到扣0.5分,迟到30分钟以上则不允许做实验,该次实验成 绩为0分。
进入实验室后,预习报告须经指导老师检查并签名。 不许带着别人的实验报告在实验室做实验,一经发现,该实验 作0分处理。 记录数据不可以用铅笔,修改数据须有指导老师签名。实验完 毕后,数据需交指导老师审查并签名。

89 注意事项! 按要求独立书写实验报告,不得抄袭别人的报告,引用需注明出处。 交取实验报告的时间:
完成实验后48小时内将报告交至指定信箱,下次实验时取报告。


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