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東西數學風格比較： 《幾何原本》vs.《九章算術》
洪萬生 《HPM 通訊》 台灣數學博物館 (MTM) 台灣師範大學數學系退休教授 【本著作除另有註明外，採取創用CC「姓名標示－非商業性－相同方式分享」台灣3.0版授權釋出】
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大綱 漢簡《筭數書》、《九章算術》及劉徽注 《幾何原本》(The Elements) ：David Joyce 網站
劉徽 (263 AD 注九章）vs. 歐幾里得 (Euclid, 300 BCE) 孔子 vs. 柏拉圖 墨子 vs. 亞里斯多德
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有關《筭數書》的故事
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《筭數書》的『說文解字』 筭與數 『筭』字，出現在《筭數書》的書名。 筭與算都未見於甲骨文與金文。
小篆『筭』是會意字，許慎的《說文解字》本義作『長六寸，計曆數者，從『竹』、從『弄』，言常弄乃不誤也。』它顯然是指中國古代計算用的一種計算工具。 『算』字從『竹』從『具』，也是一個會意字，「竹謂運筭以計者，具謂計數明確無錯誤，以筭明確計數為算。」可見『算』字是利用『筭』字與『數』字來下定義的。 『算』字的《說文解字》本義作『數也』解，乃計審以計其數之意。段玉裁說：「筭為算之器，算為筭之用。」
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《筭數書》的『說文解字』 考慮『數』的本義。『數』是一個兼具『形聲』與『會意』的文字。在金石文中，我們始見此一文字，它的形狀與小篆略同。在小篆中，『數』從『ㄆ』，『婁』聲。《說文解字》本義作『計』解，乃是計算之意。「俗對十以下之數之數，常輕敲手指、使之屈伸之計之，實存古意，故數從ㄆ。」又以「婁本作『空』解，計算須心中別無雜念，始能專心致志為之，故數從婁聲。」
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公元前186年的《筭數書》 這一部漢代竹簡書於1983年底到隔年初，連同陪葬的其他七冊竹簡，在中國湖北張家山第247號墓出土。
它在西漢呂后二年 (公元前186年）埋葬 ，距離今天 (2010)，最少已有2196年的歷史了。 由墓地規模與棺墎的大小，可以斷定不知名的墓主是一位低級官吏。從陪葬的八部竹簡來看，可知他『通曉法律、能計算、好醫術、導引』。按現在的知識『專業化』與『分工』的觀點來看，很難想像一位低級官吏竟然通曉這四種學問。
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《九章算術》內容簡介 方田：約分術，分數四則運算，面積公式，例如圓田術 粟米：比例計算，例如今有術，已知 a : b = c : x，求x
衰分：比例分配 少廣：開平方，開立方法，球體積公式 商功：體積公式，例如陽馬術 均輸：複比例問題 盈不足：一次方程的算術解法，例如盈不足術 方程：多元一次方程聯立消元解法，例如方程術，正負術 勾股：勾股定理及其測量運用
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九章風貌及特色 前六章按問題性質分類，後三章按數學方法（所謂『術』）分類。
編纂體例不一，譬如卷一方田是按「今有」問題－答曰－術曰序列出現，卷二粟米是先引進「粟米之率」，再接著「今有問題－答曰－術曰」，至於卷三衰分，則是先引進衰分術，再接著「今有問題－答曰－術曰 」等等。 卷八「方程術」在秦簡《數》(212 BCE) 或漢簡《筭數書》(186 BCE) 中未曾出現。
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九章知識內容 按現代數學知識分類： 算術 代數 幾何 按漢代數學知識— 九數 —分類：
東漢鄭玄《周禮注》：九數：方田、粟米、差分、少廣、商功、均輸、方程、贏不足、旁要。今有重差、夕桀、勾股也。
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貴族子弟的教育內容 ‧ 大概從西周時代開始，所謂『計』就與『計』算息息相關。譬如《禮記‧內則》規範了貴族子弟的教育內容：「六年，教之數與方名。九年，教之數日。十年，出就外傅，居宿於外，學書計。」 在學習了數的名稱、方位名稱、如何數日（甲子日與朔望月）之後，就可以外出拜師學習『書』與『計』了
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孔子的見證 司馬遷〈史記‧孔子世家〉有相當忠實的見證：「孔子貧且賤。及長，嘗為季氏史，料量平；嘗為司職吏而畜蕃息。」
前者也稱為『委吏』，掌管倉庫，後者也稱為『乘田』，看管牛羊，都必須熟悉『計』這種學問。 孔子曾自稱︰「吾少也賤，故多能鄙事。」孔門強調『六藝』作為士人的必備素養，的確很有道理。
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孔門六藝與算學 孔門繼承周代城邦家臣傳統而來，「世傳六藝之教：禮、樂、射、御、書、數，恐怕是結集歷史經驗的結果，也應乎當時需要。習禮樂以為相，練射御以治軍，操書數便去當家臣。」 無論是封建時代的家臣或秦漢大一統以後的官吏，學習數學不過是他們干祿的途徑之一。 對於中國傳統士大夫，數學充其量只是一種遊藝活動！南齊顏之推的《顏氏家訓》說得好：「算術亦是六藝要事，自古儒士論天道、定曆律者皆學通之，然可以兼明，不可以專業。」
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《九章算術》的官方用途 東漢光和二年（公元179年）大司農斛、權銘文：
大司農以戊寅詔書，秋分之日，同度量、均衡石、榷斗桶、正權概，更特為諸州作銅斗、斛、稱、尺。依黃鍾律曆，《九章算術》，以均長短、輕重、大小、用齊七政，令海內都同。
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劉徽 三國時代的曹魏人，生平不詳。 陳留王景元四年 (公元263年）注《九章算術》 與注《周髀算經》的孫吳趙爽，應該是同一時代人。
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劉徽注九章序 徽幼習九章，長再詳覽。觀陰陽之割裂，總算術之根源，探賾之暇，遂悟其意。是以敢竭頑魯，採其所見，為之作注。
事類相推，各有所歸，故枝條雖分而同本幹知，發其一端而已。 又所析理以辭，解體用圖，庶亦約而能周，通而不黷，覽之者思過半矣。 且算在六藝，古者以賓興賢能，教習國子。雖曰九數，期能窮纖入微，探測無方。至於以法相傳，亦猶規矩度量可得而共，非特難為也。 當今好之者寡，故世雖多通才達學，而未必能綜於此耳。
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說文解字！ 賾：幽深玄妙。 事類相推：榮子與陳方之對話也有以類推類之說法。後世之「類推」一詞，顯然是由此而來。 黷：繁瑣。
賓興：周代舉賢之法，謂鄉大夫自鄉小學舉薦賢能而賓禮之，以升入國學。 國子：公卿大夫子弟。
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士大夫如何看待數學？ 南齊顏之推《顏氏家訓》卷七〈雜藝〉篇
算術亦是六藝要事，自古儒士論天道、定律曆者，皆學通之。然可以兼明，不可以專業。江南此學殊少，唯范陽祖暅精之，位至南康太守，河北都曉此術。
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祖沖之如何計算 ？ 祖沖之更開密法，以圓徑一億為一丈，圓周盈數三丈一尺四寸一分五釐九毫二秒七忽，朒數三丈一尺四寸一分五釐九毫二秒六忽，正數在盈、朒二限之間。密率：圓徑一百一十三，圓周三百五十五；約率：圓徑七，周二十二。 祖沖之知道圓周率（圓周除以直徑）是常數或定值嗎？我們如何確認？
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《九章算術‧方田章》圭田面積公式
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《九章算術‧方田章》邪田面積公式
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《九章算術‧方田章》圓田面積公式
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九章面積公式 方田 (直田)術：廣、從相乘。 圭田術：半廣以乘正從，亦可半正從以乘廣。劉徽注：半廣知，以盈補虛為直田也。
邪田（類似今之梯形）術：并兩邪而半之，以乘正從若廣；又可半正從若廣，以乘并。劉徽注：并而半之者，以盈補需也。 圓田術：半周、半徑相乘。劉徽注：按半周為從、半徑為廣，故廣、從相乘為積步也。 劉徽的面積理論層次！
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九章體積公式 城、桓、堤、溝、塹、渠皆同術：並上下廣而半之，以高若深乘之，又以袤乘之，即積尺。 方堡壔：方自乘，以高乘之。
圓堡壔：周自相乘，以高乘之，十二而一。 方亭：上下方相乘，又各自乘，并之，以高乘之，三而一。 圓亭：上下周相乘，又各自乘，并之，以高乘之，三十六而一。徽注：從方亭求圓亭之積，亦猶方冪中求圓冪。
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九章體積公式 方錐：下方自乘，以高乘之，三而一。 圓錐：下周自乘，以高乘之，三十六而一。 塹堵：廣、袤相乘，以高乘之，二而一。
陽馬：廣、袤相乘，以高乘之，三而一。 鼈腝：廣、袤相乘，以高乘之，六而一。 羨除：并三廣，以深乘之，六而一。 芻甍：倍下袤，上袤從之，以廣乘之，又以高乘之，六而一。 芻童、曲池、盤池、冥谷皆同術：倍上袤、下袤從之；亦倍下袤，上袤從之；各以其廣乘之；并，以高若深乘之，皆六而一。
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劉徽的幾何理論層次
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版權聲明 頁碼 作品 版權圖示 來源/作者 《數之起源》，洪萬生等著，台灣商務，2006年6月26日出版。
3 《數之起源》，洪萬生等著，台灣商務，2006年6月26日出版。 依據著作權法第46、52、65條合理使用。 4 《數之起源》，洪萬生等著，台灣商務，2006年6月26日出版，頁33。 5 小篆『筭』是會意字，……「筭為算之器，算為筭之用。」 《數之起源》，洪萬生等著，台灣商務，2006年6月26日出版，頁8-9。 6 《HPM通訊》第五卷，第二三期合刊，再論《算數書》，洪莈生著，2002年3月出版，頁1。依據著作權法第46、52、65條合理使用。 7 考慮『數』的本義。……，故數從婁聲。」 《數之起源》，洪萬生等著，台灣商務，2006年6月26日出版，頁10-11。
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版權聲明 頁碼 作品 版權圖示 來源/作者 《數之起源》，洪萬生等著，台灣商務，2006年6月26日出版，頁1。
8 這一部漢代竹簡書於……最少已有2196年的歷史了。 《數之起源》，洪萬生等著，台灣商務，2006年6月26日出版，頁1。 依據著作權法第46、52、65條合理使用。 由墓地規模與棺墎的大小，……低級官吏竟然通曉這四種學問。 《數之起源》，洪萬生等著，台灣商務，2006年6月26日出版，頁2。 10 今有問題－答曰－術曰 《九章算術》，〈劉徽注序〉，成書年無定論。 本作品已超過著作財產權存續期間，屬公共領域之著作。 11 東漢鄭玄《周禮注》：九數：方田......旁要。今有重差、夕桀、勾股也。 《周禮注》，鄭玄(127~200)。 12 Wikipedia，作者：未知，本作品轉載自：
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版權聲明 頁碼 作品 版權圖示 來源/作者 《宋刻算經六種》，上海：文物出版社，1981年出版，頁1。
13 《宋刻算經六種》，上海：文物出版社，1981年出版，頁1。 依據著作權法第46、52、65條合理使用。 14 六年，教之數與方名……，居宿於外，學書計。」 《禮記‧內則》，成書於戰國時期。 本作品已超過著作財產權存續期間，屬公共領域之著作。 15 司馬遷；嘗為司職吏而畜蕃息。」 司馬遷(西元前145~西元前86年)，《史記‧孔子世家》，成書於戰國時期。本作品已超過著作財產權存續期間，屬公共領域之著作。 孔子曾自稱︰「吾少也賤，故多能鄙事。」孔門強調『六藝』作為士人的必備素養，的確很有道理。 《數之起源》，洪萬生等著，台灣商務，2006年6月26日出版， 頁102。依據著作權法第46、52、65條合理使用。 16 世傳六藝之教：禮、……，操書數便去當家臣。 台灣師範大學數學系 洪萬生教授。
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版權聲明 頁碼 作品 版權圖示 來源/作者 《顏氏家訓》，卷七雜藝十九，顏之推。 本作品已超過著作財產權存續期間，屬公共領域之著作。
16 對於中國傳統士大夫，……不可以專業。」 《顏氏家訓》，卷七雜藝十九，顏之推。 本作品已超過著作財產權存續期間，屬公共領域之著作。 17 東漢光和二年……，令海內都同。 大司農斛，權銘文。 本作品已超過著作財產權存續期間，屬公共領域之著作。 19 徽幼習九章…而未必能綜於此耳。 《九章算術》，〈劉徽注序〉，成書年無定論。 20 賾：幽深玄妙。……國子：公卿大夫子弟。 《說文解字》，許慎。 21 南齊顏之推《顏氏家訓》……，河北都曉此術。 《顏氏家訓》卷七〈雜藝〉篇 ，顏之推。
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版權聲明 頁碼 作品 版權圖示 來源/作者 《隨書‧律曆志》。 本作品已超過著作財產權存續期間，屬公共領域之著作。
22 祖沖之更開密法，……，周二十二。 《隨書‧律曆志》。 本作品已超過著作財產權存續期間，屬公共領域之著作。 23 《宋刻算經六種》，上海：文物出版社，1981年出版，頁9。 依據著作權法第46、52、65條合理使用。 24 《宋刻算經六種》，上海：文物出版社，1981年出版，頁10。 25 《宋刻算經六種》，上海：文物出版社，1981年出版，頁10-11。 依據著作權法第46、50、52、65條合理使用。 26 《宋刻算經六種》，上海：文物出版社，1981年出版，頁11。
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版權聲明 頁碼 作品 版權圖示 來源/作者 《九章算術》卷一〈方田〉篇 ，劉徽，成書年無定論。
27 方田 (直田)術：廣、從相乘……半周為從、半徑為廣，故廣、從相乘為積步也。 《九章算術》卷一〈方田〉篇 ，劉徽，成書年無定論。 本作品已超過著作財產權存續期間，屬公共領域之著作。 28 城、桓、堤、溝、塹、渠……圓亭之積，亦猶方冪中求圓冪。 《九章算術》卷五〈商功〉篇 ，劉徽，成書年無定論。 29 方錐：下方自乘，以高乘之，三而一……并，以高若深乘之，皆六而一。 30 《古代世界數學泰斗─劉徽》，郭書春著，明文書局，1995年4月出版，頁315。依據著作權法第46、52、65條合理使用。
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