数据的统计描述和分析 撰写：刘伟 董小刚 林玎 制作：李慧玲 李刚健 吉林建工学院基础科学系 2019/7/19.

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1 数据的统计描述和分析 撰写：刘伟 董小刚 林玎 制作：李慧玲 李刚健 吉林建工学院基础科学系 2019/7/19

2 实验目的 实验内容 1、直观了解统计基本内容。 2、掌握用数学软件包求解统计问题。 1、统计的基本理论。 2、用数学软件包求解统计问题。
3、实验作业。

3 数据的统计描述和分析 统计的基本概念 参数估计 假设检验 2019/7/19

4 一、统计量 2019/7/19

5 2019/7/19

6 二、分布函数的近似求法 2019/7/19

7 ò ò 三、几个在统计中常用的概率分布 1 p = e dy e x F 1 p = +¥ < ¥ - x ) , ( s m N m
2 s m N ． 正态分布 2 ) ( 1 s m p - = x e dy e x F y 2 ) ( 1 s m p - ò = 密度函数： 分布函数： m 2 s +¥ < - x 其中 为均值， 为方差， . 标准正态分布： N （0，1） -4 -2 2 4 6 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 密度函数 2 1 ) ( x e - = p j 分布函数 ， dy e x y 2 1 ) ( - ò = F p 2019/7/19

8 2019/7/19

9 2019/7/19

10 F分布F（10，50）的密度函数曲线 返回 2019/7/19

11 参数估计 2019/7/19

12 一、点估计的求法 (一）矩估计法 2019/7/19

13 (二）极大似然估计法 2019/7/19

14 二、区间估计的求法 2019/7/19

15 (一)数学期望的置信区间 1、已知DX，求EX的置信区间 2． 未知方差DX，求EX的置信区间 （二）方差的区间估计 返回
2019/7/19

16 假设检验 对总体X的分布律或分布参数作某种假设，根据抽取的样本观察值，运用数理统计的分析方法，检验这种假设是否正确，从而决定接受假设或拒绝假设. 1.参数检验：如果观测的分布函数类型已知，这时构造出的 统计量依赖于总体的分布函数，这种检验称为参数检验. 参数检验的目的往往是对总体的参数及其有关性质作出明 确的判断. 2.非参数检验：如果所检验的假设并非是对某个参数作出明 确的判断，因而必须要求构造出的检验统计量的分布函数 不依赖于观测值的分布函数类型，这种检验叫非参数检验. 如要求判断总体分布类型的检验就是非参数检验. 2019/7/19

17 假设检验的一般步骤是： 2019/7/19

18 一、参数检验 （一）单个正态总体均值检验 2019/7/19

19 2019/7/19

20 （二）单个正态总体方差检验 2019/7/19

21 （三）两个正态总体均值检验

22 （四）两个正态总体方差检验

23 二、非参数检验 （二）概率纸检验法 概率纸是一种判断总体分布的简便工具.使用它们，可以很快地判断总体分布的类型.概率纸的种类很多. 返回
2019/7/19

24 统计工具箱中的基本统计命令 1.数据的录入、保存和调用 2.基本统计量 3.常见概率分布的函数 4.频 数 直 方 图 的 描 绘
5.参数估计 6.假设检验 7.综合实例 返回 2019/7/19

25 例1 上海市区社会商品零售总额和全民所有制职工工资总额的数据如下
统计工具箱中的基本统计命令 一、数据的录入、保存和调用 例1 上海市区社会商品零售总额和全民所有制职工工资总额的数据如下 2019/7/19

26 方法1 1、年份数据以1为增量，用产生向量的方法输入。 命令格式： x=a:h:b t=78:87
2、分别以x和y代表变量职工工资总额和商品零售总额。 x=[23.8,27.6,31.6,32.4,33.7,34.9,43.2,52.8,63.8,73.4] y=[41.4,51.8,61.7,67.9,68.7,77.5,95.9,137.4,155.0,175.0] 3、将变量t、x、y的数据保存在文件data中。 save data t x y 4、进行统计分析时，调用数据文件data中的数据。 load data To MATLAB(txy) 2019/7/19

27 方法2 1、输入矩阵： data=[78,79,80,81,82,83,84,85,86,87,88; 23.8,27.6,31.6,32.4,33.7,34.9,43.2,52.8,63.8,73.4; 41.4,51.8,61.7,67.9,68.7,77.5,95.9,137.4,155.0,175.0] 2、将矩阵data的数据保存在文件data1中：save data1 data 3、进行统计分析时，先用命令： load data1 调用数据文件data1中的数据，再用以下命令分别将矩阵data的第一、二、三行的数据赋给变量t、x、y： t=data(1,:) x=data(2,:) y=data(3,:) 若要调用矩阵data的第j列的数据，可用命令： data(:,j) To MATLAB(data) 返回 2019/7/19

28 对随机变量x，计算其基本统计量的命令如下： 均值：mean(x) 中位数：median(x) 标准差：std(x) 方差：var(x)
二、基本统计量 对随机变量x，计算其基本统计量的命令如下： 均值：mean(x) 中位数：median(x) 标准差：std(x) 方差：var(x) 偏度：skewness(x) 峰度：kurtosis(x) 例 对例1中的职工工资总额x，可计算上述基本统计量。 To MATLAB(tjl) 返回 2019/7/19

29 三、常见概率分布的函数 Matlab工具箱对每一种分布都提供五类函数，其命令字符为： 概率密度：pdf 概率分布：cdf
逆概率分布：inv 均值与方差：stat 随机数生成：rnd （当需要一种分布的某一类函数时，将以上所列的分布命令字符与函数命令字符接起来，并输入自变量（可以是标量、数组或矩阵）和参数即可.） 2019/7/19

30 y=normpdf(x); z=normpdf(x,0,2); plot(x,y,x,z)
如对均值为mu、标准差为sigma的正态分布，举例如下： 1、密度函数：p=normpdf(x,mu,sigma) (当mu=0,sigma=1时可缺省) 在Matlab中输入以下命令： x=-6:0.01:6; y=normpdf(x); z=normpdf(x,0,2); plot(x,y,x,z) To MATLAB(liti2) 2019/7/19

31 2、概率分布：P=normcdf(x,mu,sigma)
To MATLAB(liti3) 3、逆概率分布：x=norminv(P,mu,sigma). 即求出x ，使得P{X<x}=P.此命令可用来求分位数. To MATLAB(liti4) 2019/7/19

32 4、均值与方差：[m,v]=normstat(mu,sigma)
To MATLAB(liti5) 5、随机数生成：normrnd(mu,sigma,m,n).产生mn阶的正态分布随机数矩阵. 例6 命令：M=normrnd([1 2 3;4 5 6],0.1,2,3) 结果为：M= 此命令产生了23的正态分布随机数矩阵，各数分别服从N(1,0.12), N(2,22), N(3, 32), N(4,0.12), N(5, 22),N(6, 32) To MATLAB（liti6） 返回 2019/7/19

33 四、频 数 直 方 图 的 描 绘 1、给出数组data的频数表的命令为： [N,X]=hist(data,k)
此命令将区间[min(data),max(data)]分为k个小区间（缺省为10），返回数组data落在每一个小区间的频数N和每一个小区间的中点X. 2、描绘数组data的频数直方图的命令为： hist(data,k) 返回 2019/7/19

34 五、参数估计 1、正态总体的参数估计 设总体服从正态分布，则其点估计和区间估计可同时由以下命令获得：
[muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X,alpha) 此命令在显著性水平alpha下估计数据X的参数（alpha缺省时设定为0.05），返回值muhat是X的均值的点估计值，sigmahat是标准差的点估计值, muci是均值的区间估计,sigmaci是标准差的区间估计. 2019/7/19

35 一.取容量充分大的样本（n>50），按中心极限定理，它近似地 服从正态分布； 二.使用Matlab工具箱中具有特定分布总体的估计命令.
2、其它分布的参数估计 有两种处理办法: 一.取容量充分大的样本（n>50），按中心极限定理，它近似地 服从正态分布； 二.使用Matlab工具箱中具有特定分布总体的估计命令. （1）[muhat, muci] = expfit(X,alpha)----- 在显著性水平alpha下，求指数分布的数据X的均值的点估计及其区间估计. （2）[lambdahat, lambdaci] = poissfit(X,alpha)----- 在显著性水平alpha下，求泊松分布的数据X 的参数的点估计及其区间估计. （3）[phat, pci] = weibfit(X,alpha)----- 在显著性水平alpha下，求Weibull分布的数据X 的参数的点估计及其区间估计. 返回 2019/7/19

36 六、假设检验 在总体服从正态分布的情况下，可用以下命令进行假设检验. 1、总体方差sigma2已知时，总体均值的检验使用 z-检验
[h,sig,ci] = ztest(x,m,sigma,alpha,tail) 检验数据 x 的关于均值的某一假设是否成立，其中sigma 为已知方差， alpha 为显著性水平，究竟检验什么假设取决于 tail 的取值： tail = 0，检验假设“x 的均值等于 m ” tail = 1，检验假设“x 的均值大于 m ” tail =-1，检验假设“x 的均值小于 m ” tail的缺省值为 0， alpha的缺省值为 0.05. 返回值 h 为一个布尔值，h=1 表示可以拒绝假设，h=0 表示不可以拒绝假设，sig 为假设成立的概率，ci 为均值的 1-alpha 置信区间. 2019/7/19

37 例7 Matlab统计工具箱中的数据文件gas. mat
例7 Matlab统计工具箱中的数据文件gas.mat.中提供了美国1993年一月份和二月份的汽油平均价格（price1,price2分别是一，二月份的油价，单位为美分），它是容量为20的双样本.假设一月份油价的标准偏差是一加仑四分币（=4），试检验一月份油价的均值是否等于115. 解 作假设：m = 115. 首先取出数据，用以下命令： load gas 然后用以下命令检验 [h,sig,ci] = ztest(price1,115,4) To MATLAB（liti7） 返回：h = 0，sig = ，ci = [ ]. 检验结果: 1. 布尔变量h=0, 表示不拒绝零假设. 说明提出的假设均值115 是合理的. 2. sig-值为0.8668, 远超过0.5, 不能拒绝零假设 3. 95%的置信区间为[113.4, 116.9], 它完全包括115, 且精度很 高. . 2019/7/19

38 2、总体方差sigma2未知时，总体均值的检验使用t-检验
[h,sig,ci] = ttest(x,m,alpha,tail) 检验数据 x 的关于均值的某一假设是否成立，其中alpha 为显著性水平，究竟检验什么假设取决于 tail 的取值： tail = 0，检验假设“x 的均值等于 m ” tail = 1，检验假设“x 的均值大于 m ” tail =-1，检验假设“x 的均值小于 m ” tail的缺省值为 0， alpha的缺省值为 0.05. 返回值 h 为一个布尔值，h=1 表示可以拒绝假设，h=0 表示不可以拒绝假设，sig 为假设成立的概率，ci 为均值的 1-alpha 置信区间. 2019/7/19

39 例8 试检验例8中二月份油价 Price2的均值是否等于115. 解 作假设：m = 115，
[h,sig,ci] = ttest( price2 ,115) To MATLAB（liti8） 返回：h = 1，sig = e-004，ci =[ ]. 检验结果: 1. 布尔变量h=1, 表示拒绝零假设. 说明提出的假 设油价均值115是不合理的. 2. 95%的置信区间为[ ], 它不包括 115, 故不能接受假设. 3. sig-值为4.9517e-004, 远小于0.5, 不能接受零 假设. 2019/7/19

40 [h,sig,ci] = ttest2(x,y,alpha,tail)
tail = 0，检验假设“x 的均值等于 y 的均值 ” tail = 1，检验假设“x 的均值大于 y 的均值 ” tail =-1，检验假设“x 的均值小于 y 的均值 ” tail的缺省值为 0， alpha的缺省值为 0.05. 返回值 h 为一个布尔值，h=1 表示可以拒绝假设，h=0 表示不可以拒绝假设，sig 为假设成立的概率，ci 为与x与y均值差的的 1-alpha 置信区间. 2019/7/19

41 例9 试检验例8中一月份油价Price1与二月份的油价Price2均值是否相同.
解 用以下命令检验 [h,sig,ci] = ttest2(price1,price2) To MATLAB（liti9） 返回：h = 1，sig = ，ci =[-5.8,-0.9]. 检验结果:1. 布尔变量h=1, 表示拒绝零假设. 说明提出的 假设“油价均值相同”是不合理的. 2. 95%的置信区间为[-5.8,-0.9],说明一月份油 价比二月份油价约低1至6分. 3. sig-值为0.0083, 远小于0.5, 不能接受“油价均 相同”假设. 2019/7/19

42 4、非参数检验：总体分布的检验 Matlab工具箱提供了两个对总体分布进行检验的命令: （1）h = normplot(x)
（2）h = weibplot(x) 此命令显示数据矩阵x的Weibull概率图.如果数据来自于Weibull分布，则图形将显示出直线性形态.而其它概率分布函数将显示出曲线形态. 返回 2019/7/19

43 试观察该刀具出现故障时完成的零件数属于哪种分布.
例10 一道工序用自动化车床连续加工某种零件，由于刀具损坏等会出现故障.故障是完全随机的，并假定生产任一零件时出现故障机会均相同.工作人员是通过检查零件来确定工序是否出现故障的.现积累有100次故障纪录，故障出现时该刀具完成的零件数如下： 试观察该刀具出现故障时完成的零件数属于哪种分布. 2019/7/19

44 [muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(x)
解 1、数据输入 To MATLAB（liti101） 2、作频数直方图 hist(x,10) To MATLAB（liti102） （看起来刀具寿命服从正态分布） 3、分布的正态性检验 normplot(x) To MATLAB（liti103） （刀具寿命近似服从正态分布） To MATLAB（liti104） 4、参数估计： [muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(x) 估计出该刀具的均值为594，方差204，均值的0.95置信区间为[ ， ]，方差的0.95置信区间为[ ， ]. 2019/7/19

45 5、假设检验 结果：h = 0，sig = 1，ci =[553.4962，634.5038].
To MATLAB（liti105） 5、假设检验 已知刀具的寿命服从正态分布，现在方差未知的情况下，检验其均值 m 是否等于594. 结果：h = 0，sig = 1，ci =[ ， ]. 检验结果: 1. 布尔变量h=0, 表示不拒绝零假设. 说 明提出的假设寿命均值594是合理的. 2. 95%的置信区间为[553.5，634.5], 它 完全包括594, 且精度很高. 3. sig-值为1, 远超过0.5, 不能拒绝零假 设. 返回 2019/7/19

46 作 业 1、某校60名学生的一次考试成绩如下: 1)计算均值、标准差、极差、偏度、峰度，画出直方图； 2)检验分布的正态性； 3)若检验符合正态分布，估计正态分布的参数并检验参数. 2019/7/19

47 2、据说某地汽油的价格是每加仑115美分，为了验证这种说法，一位学者开车随机选择了一些加油站，得到某年一月和二月的数据如下：
一月： 二月： 1）分别用两个月的数据验证这种说法的可靠性； 2）分别给出1月和2月汽油价格的置信区间； 3）给出1月和2月汽油价格差的置信区间. 2019/7/19