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实验四 利用Mathematica解方程 实验目的：学会正确使用Solve和FindRoot及DSolve解各类方程 预备知识：
（一）理解方程（方程组）的代数解法 （二）解方程的牛顿切线法及弦截法 （三）微分方程相关知识 （四）Mathematica中解各类方程及方程组的相关命令
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边学边做： （一）求方程（方程组）的代数解或数值解：Solve[方程或方程组,变量或变量组]， NSolve [方程或方程组,变量或变量组] （1）解下列方程：ax+b=0；x2+x+1=0； x4-x3-6x2+1=0 （2）解方程组：1+2x=0 3+2x+y=0 （3）对于方程x5-x3-6x2+1==0，试用Solve和NSolve分别对它求解，对比得到的结果，体会代数解（精确解）与数值解的差别
![边学边做： （一）求方程（方程组）的代数解或数值解：Solve[方程或方程组,变量或变量组]， NSolve [方程或方程组,变量或变量组] （1）解下列方程：ax+b=0；x2+x+1=0； x4-x3-6x2+1=0.](http://slidesplayer.com/slide/17281869/100/images/2/%E8%BE%B9%E5%AD%A6%E8%BE%B9%E5%81%9A%EF%BC%9A+%EF%BC%88%E4%B8%80%EF%BC%89%E6%B1%82%E6%96%B9%E7%A8%8B%EF%BC%88%E6%96%B9%E7%A8%8B%E7%BB%84%EF%BC%89%E7%9A%84%E4%BB%A3%E6%95%B0%E8%A7%A3%E6%88%96%E6%95%B0%E5%80%BC%E8%A7%A3%EF%BC%9ASolve%5B%E6%96%B9%E7%A8%8B%E6%88%96%E6%96%B9%E7%A8%8B%E7%BB%84%2C%E5%8F%98%E9%87%8F%E6%88%96%E5%8F%98%E9%87%8F%E7%BB%84%5D%EF%BC%8C+NSolve+%5B%E6%96%B9%E7%A8%8B%E6%88%96%E6%96%B9%E7%A8%8B%E7%BB%84%2C%E5%8F%98%E9%87%8F%E6%88%96%E5%8F%98%E9%87%8F%E7%BB%84%5D+%EF%BC%881%EF%BC%89%E8%A7%A3%E4%B8%8B%E5%88%97%E6%96%B9%E7%A8%8B%EF%BC%9Aax%2Bb%3D0%EF%BC%9Bx2%2Bx%2B1%3D0%EF%BC%9B+x4-x3-6x2%2B1%3D0..jpg "（2）解方程组：1+2x=0. 3+2x+y=0. （3）对于方程x5-x3-6x2+1==0，试用Solve和NSolve分别对它求解，对比得到的结果，体会代数解（精确解）与数值解的差别.")
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（二）从初始值开始搜索方程或方程组的解：FindRoot[方程（方程组），{未知元，初值}]（4）解方程：sinxe2x-cosx=0 (三)在界定范围内搜索方程或方程组的解： FindRoot[方程（方程组），{未知元，初值1，初值2}] （5）解方程：sinxe2x-cosx=0 （6）先观察f(x)=sinx-cosx的图形，然后选择一个初始点去求解，并且根据图形确定在某个区间中搜索它的零点
![（二）从初始值开始搜索方程或方程组的解：FindRoot[方程（方程组），{未知元，初值}]（4）解方程：sinxe2x-cosx=0 (三)在界定范围内搜索方程或方程组的解： FindRoot[方程（方程组），{未知元，初值1，初值2}] （5）解方程：sinxe2x-cosx=0 （6）先观察f(x)=sinx-cosx的图形，然后选择一个初始点去求解，并且根据图形确定在某个区间中搜索它的零点](http://slidesplayer.com/slide/17281869/100/images/3/%EF%BC%88%E4%BA%8C%EF%BC%89%E4%BB%8E%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%80%BC%E5%BC%80%E5%A7%8B%E6%90%9C%E7%B4%A2%E6%96%B9%E7%A8%8B%E6%88%96%E6%96%B9%E7%A8%8B%E7%BB%84%E7%9A%84%E8%A7%A3%EF%BC%9AFindRoot%5B%E6%96%B9%E7%A8%8B%EF%BC%88%E6%96%B9%E7%A8%8B%E7%BB%84%EF%BC%89%EF%BC%8C%7B%E6%9C%AA%E7%9F%A5%E5%85%83%EF%BC%8C%E5%88%9D%E5%80%BC%7D%5D%EF%BC%884%EF%BC%89%E8%A7%A3%E6%96%B9%E7%A8%8B%EF%BC%9Asinxe2x-cosx%3D0+%28%E4%B8%89%29%E5%9C%A8%E7%95%8C%E5%AE%9A%E8%8C%83%E5%9B%B4%E5%86%85%E6%90%9C%E7%B4%A2%E6%96%B9%E7%A8%8B%E6%88%96%E6%96%B9%E7%A8%8B%E7%BB%84%E7%9A%84%E8%A7%A3%EF%BC%9A+FindRoot%5B%E6%96%B9%E7%A8%8B%EF%BC%88%E6%96%B9%E7%A8%8B%E7%BB%84%EF%BC%89%EF%BC%8C%7B%E6%9C%AA%E7%9F%A5%E5%85%83%EF%BC%8C%E5%88%9D%E5%80%BC1%EF%BC%8C%E5%88%9D%E5%80%BC2%7D%5D+%EF%BC%885%EF%BC%89%E8%A7%A3%E6%96%B9%E7%A8%8B%EF%BC%9Asinxe2x-cosx%3D0+%EF%BC%886%EF%BC%89%E5%85%88%E8%A7%82%E5%AF%9Ff%28x%29%3Dsinx-cosx%E7%9A%84%E5%9B%BE%E5%BD%A2%EF%BC%8C%E7%84%B6%E5%90%8E%E9%80%89%E6%8B%A9%E4%B8%80%E4%B8%AA%E5%88%9D%E5%A7%8B%E7%82%B9%E5%8E%BB%E6%B1%82%E8%A7%A3%EF%BC%8C%E5%B9%B6%E4%B8%94%E6%A0%B9%E6%8D%AE%E5%9B%BE%E5%BD%A2%E7%A1%AE%E5%AE%9A%E5%9C%A8%E6%9F%90%E4%B8%AA%E5%8C%BA%E9%97%B4%E4%B8%AD%E6%90%9C%E7%B4%A2%E5%AE%83%E7%9A%84%E9%9B%B6%E7%82%B9.jpg "（二）从初始值开始搜索方程或方程组的解：FindRoot[方程（方程组），{未知元，初值}]（4）解方程：sinxe2x-cosx=0 (三)在界定范围内搜索方程或方程组的解： FindRoot[方程（方程组），{未知元，初值1，初值2}] （5）解方程：sinxe2x-cosx=0 （6）先观察f(x)=sinx-cosx的图形，然后选择一个初始点去求解，并且根据图形确定在某个区间中搜索它的零点")
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(四)解微分方程：DSolve[{微分方程，初始条件}，未知函数，自变量]
（1）求微分方程 满足初始条件 的特解。 （2）求微分方程 的通解 （3）求微分方程 的满足初始条件 的特解。 （4）求微分方程 的通解 （5）求初值问题 在区间[0，1]上的近似解
![(四)解微分方程：DSolve[{微分方程，初始条件}，未知函数，自变量]](http://slidesplayer.com/slide/17281869/100/images/4/%28%E5%9B%9B%29%E8%A7%A3%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B%EF%BC%9ADSolve%5B%7B%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B%EF%BC%8C%E5%88%9D%E5%A7%8B%E6%9D%A1%E4%BB%B6%7D%EF%BC%8C%E6%9C%AA%E7%9F%A5%E5%87%BD%E6%95%B0%EF%BC%8C%E8%87%AA%E5%8F%98%E9%87%8F%5D.jpg "（1）求微分方程 满足初始条件 的特解。 （2）求微分方程 的通解. （3）求微分方程 的满足初始条件. 的特解。 （4）求微分方程 的通解. （5）求初值问题 在区间[0，1]上的近似解.")
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学生实验： 一、基础部分 1．求方程 在 附近的一个根 2．求微分方程 满足初始条件 的特解 3．求微分方程 的通解 4．求微分方程 的通解 5．求微分方程 满足初始条件 的，在 处的数值解
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二、应用部分 (1) 找出方程exsinx-xcos2x=0最靠近原点的五个根. (2)方程y″+9y=0的一条积分曲线通过点(π,-1),且在该点和直线y+1=x-π相切,求这条曲线的方程. (3)一垂直悬挂的弹簧,其下有一质量为m的重物,平衡位置时弹簧伸长a,如果将物体向下拉开一段距离b,然后放开,物体就在平衡位置上下振动,求其运动规律x=x(t). (4)一电动机运转后,每秒钟温度升高1°C,设室内温度为15°C,电动机温度的冷却速率和电动机与室内温差成正比,求电动机的温度与时间的关系.
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一、用Solve解代数方程、方程组，求其精确解，数值解，复数解
实验四内容详解： 一、用Solve解代数方程、方程组，求其精确解，数值解，复数解 1．命令格式 Solve[单个方程,未知元] Solve[｛方程组｝，｛未知元表｝] 2．边学边做 Solve[a*x+b==0,x]； Solve[x^2+x+1==0,x] Solve[x^4-x^3-6*x^2+1==0,x] a=(1+2*x)^3;b=(3+2*x+y)^4; Solve[a==0,b==0,{x,y}]
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注： 1）在Mathematica中用“=”表示相等关系，用“==”表示方程 2）对于高次多项式方程，有时系统也求不出精确解这时可直接用DSolve求出它的数值解。例：NSolve[x^5-x^3-6*x^2+1==0,x,20],命令行中的20表示要求方程的解精确到小数点以后20位，可根据需要输入。
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二、用FindRoot求解一般方程 1．命令格式 FindRoot[方程，{未知元，初值}]或FindRoot[方程，{未知元，初值1，初值2}] 2．边学边做 FindRoot[Sin[x]*Exp[2*x]-Cos[x]==0,{x,0.5}] 初值0.5是方程根的一个近似值，通常通过作图之后去确定。此方法的理论依据是解方程的牛顿切线法。 FindRoot[Sin[x]*Exp[2*x]-Cos[x]==0,{x,0,1}] 此方法的理论依据是解方程的弦截法。 方程求解情况比较复杂，有时上述方法不能解决，则需要其它方法。
![二、用FindRoot求解一般方程 1．命令格式. FindRoot[方程，{未知元，初值}]或FindRoot[方程，{未知元，初值1，初值2}] 2．边学边做. FindRoot[Sin[x]*Exp[2*x]-Cos[x]==0,{x,0.5}]](http://slidesplayer.com/slide/17281869/100/images/9/%E4%BA%8C%E3%80%81%E7%94%A8FindRoot%E6%B1%82%E8%A7%A3%E4%B8%80%E8%88%AC%E6%96%B9%E7%A8%8B+1%EF%BC%8E%E5%91%BD%E4%BB%A4%E6%A0%BC%E5%BC%8F.+FindRoot%5B%E6%96%B9%E7%A8%8B%EF%BC%8C%7B%E6%9C%AA%E7%9F%A5%E5%85%83%EF%BC%8C%E5%88%9D%E5%80%BC%7D%5D%E6%88%96FindRoot%5B%E6%96%B9%E7%A8%8B%EF%BC%8C%7B%E6%9C%AA%E7%9F%A5%E5%85%83%EF%BC%8C%E5%88%9D%E5%80%BC1%EF%BC%8C%E5%88%9D%E5%80%BC2%7D%5D+2%EF%BC%8E%E8%BE%B9%E5%AD%A6%E8%BE%B9%E5%81%9A.+FindRoot%5BSin%5Bx%5D%2AExp%5B2%2Ax%5D-Cos%5Bx%5D%3D%3D0%2C%7Bx%2C0.5%7D%5D.jpg "初值0.5是方程根的一个近似值，通常通过作图之后去确定。此方法的理论依据是解方程的牛顿切线法。 FindRoot[Sin[x]*Exp[2*x]-Cos[x]==0,{x,0,1}] 此方法的理论依据是解方程的弦截法。 方程求解情况比较复杂，有时上述方法不能解决，则需要其它方法。")
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DSolve[{微分方程，初始条件}，未知函数，自变量]
1．命令格式 DSolve[{微分方程，初始条件}，未知函数，自变量] NDSolve[方程，未知函数，{自变量，a,b}]可求得微分方程或方程组在自变量指定取值范围内的数值解 2．边学边做 (1)求微分方程 满足初始条件 的特解。 DSolve[{y’[x]==y[x]+x,y[0]==1},y[x],x] (2)求微分方程 的通解 DSolve[y”[x]+2*y’[x]+y[x]==0,y[x],x]
![DSolve[{微分方程，初始条件}，未知函数，自变量]](http://slidesplayer.com/slide/17281869/100/images/10/DSolve%5B%7B%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B%EF%BC%8C%E5%88%9D%E5%A7%8B%E6%9D%A1%E4%BB%B6%7D%EF%BC%8C%E6%9C%AA%E7%9F%A5%E5%87%BD%E6%95%B0%EF%BC%8C%E8%87%AA%E5%8F%98%E9%87%8F%5D.jpg "1．命令格式. DSolve[{微分方程，初始条件}，未知函数，自变量] NDSolve[方程，未知函数，{自变量，a,b}]可求得微分方程或方程组在自变量指定取值范围内的数值解. 2．边学边做. (1)求微分方程 满足初始条件 的特解。 DSolve[{y’[x]==y[x]+x,y[0]==1},y[x],x] (2)求微分方程 的通解. DSolve[y [x]+2*y’[x]+y[x]==0,y[x],x]")
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（3）求微分方程 满足初始条件 的特解。 解 DSolve[{y”[x]-2*y’[x]+y[x]==0,y[2]==1,y’[2]==2},y[x],x] （4）求微分方程 的通解 解 DSolve[{x’[t]+y’[t]==Cos[t], y’[t]+x[t]==Sin[t]},{x[t],y[t]},t]
![（3）求微分方程 满足初始条件 的特解。 解 DSolve[{y [x]-2*y’[x]+y[x]==0,y[2]==1,y’[2]==2},y[x],x] （4）求微分方程 的通解.](http://slidesplayer.com/slide/17281869/100/images/11/%EF%BC%883%EF%BC%89%E6%B1%82%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B+%E6%BB%A1%E8%B6%B3%E5%88%9D%E5%A7%8B%E6%9D%A1%E4%BB%B6+%E7%9A%84%E7%89%B9%E8%A7%A3%E3%80%82+%E8%A7%A3+DSolve%5B%7By+%5Bx%5D-2%2Ay%E2%80%99%5Bx%5D%2By%5Bx%5D%3D%3D0%2Cy%5B2%5D%3D%3D1%2Cy%E2%80%99%5B2%5D%3D%3D2%7D%2Cy%5Bx%5D%2Cx%5D+%EF%BC%884%EF%BC%89%E6%B1%82%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B+%E7%9A%84%E9%80%9A%E8%A7%A3..jpg "解 DSolve[{x’[t]+y’[t]==Cos[t], y’[t]+x[t]==Sin[t]},{x[t],y[t]},t]")
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（5）求初值问题 在区间[0，1]上的近似解 解 NDSolve[{y’[x]==(3/2)*y[x]-9*x/(2*y[x]),y[0]==1},y[x],{x,0,1}] \输出为{{y->InterpolatingFunction[{0.,1.},<>]}} 该结果表示一个纯函数代入规则，即为区间[0，1]上的插值函数，可通过各种函数操作求解. 如y[0.1]/.% 为x=0.1时的函数值.
![（5）求初值问题 在区间[0，1]上的近似解 解 NDSolve[{y’[x]==(3/2)*y[x]-9*x/(2*y[x]),y[0]==1},y[x],{x,0,1}]](http://slidesplayer.com/slide/17281869/100/images/12/%EF%BC%885%EF%BC%89%E6%B1%82%E5%88%9D%E5%80%BC%E9%97%AE%E9%A2%98+%E5%9C%A8%E5%8C%BA%E9%97%B4%5B0%EF%BC%8C1%5D%E4%B8%8A%E7%9A%84%E8%BF%91%E4%BC%BC%E8%A7%A3+%E8%A7%A3+NDSolve%5B%7By%E2%80%99%5Bx%5D%3D%3D%283%2F2%29%2Ay%5Bx%5D-9%2Ax%2F%282%2Ay%5Bx%5D%29%2Cy%5B0%5D%3D%3D1%7D%2Cy%5Bx%5D%2C%7Bx%2C0%2C1%7D%5D.jpg "\输出为{{y->InterpolatingFunction[{0.,1.},<>]}} 该结果表示一个纯函数代入规则，即为区间[0，1]上的插值函数，可通过各种函数操作求解. 如y[0.1]/.% 为x=0.1时的函数值.")
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![第九章 常微分方程数值解法 §1 、引言. 微分方程的数值解：设方程问题的解 y(x) 的存在区间是 [a,b] ，令 a= x 0 < x 1](/40/11046233/big_thumb.jpg "第九章 常微分方程数值解法 §1 、引言. 微分方程的数值解：设方程问题的解 y(x) 的存在区间是 [a,b] ，令 a= x 0 < x 1 >")
