初中生最爱看的电视节目 美妙的镶嵌 怎么选择最优的方案 简单平面图形的重心 精彩的分形 会徽中的数学

课题学习的背景： 课题学习的目标： 数学 “ 课题学习 ” 是《义务教育课程标准实验教科书》 （浙教版）中较有特色的学习内容，它基于数学基础教育 课程改革的要求，为数学学习提供了更多的实践性、探索 性和研究性的课程渠道。 “ 课题学习 ” 是数学的实践和综合应用，它对数学学习的 过程给予高度的关注，是联系数学基础知识和实际问题的 重要手段和途径。 注重的是学生对于解决问题的能力培养肯定学生在活动 中表现出来的思考水平和策略。最主要的是，要让学生了 解在学习的过程中所获得的体验，并将体验升华到学习的 内在动力和内化能力，逐步形成自觉指导创造行为的个人 观念系统。

考纲对课题学习的要求 : 对课题学习内容的考查, 将结合数与代数、空间与图形、 统计与概率、三个学习领域的内容进行 ( 占 3~5 分 ) 要求如下 : 1. 有初步的研究问题的方法和经验 2. 能探讨一些比较简单的具有挑战性的研究课题, 体会从实际 问题中抽象出数学问题, 建立数学模型, 综合应用已有的知识 解决问题的过程. 3. 体验数学知识之间的内在联系, 对数学有整体性的认识. 4. 能积极思考所面临的课题, 清楚的表达自己的观点, 并解决 问题.

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用黑、白两种颜色的正六边形地砖按如图所示的规律, 拼 成若干个图案. (1) 第四个图案中有白色地＿＿＿＿砖块 ; (2) 第 n 个图案中有白色地＿＿＿＿砖块 ; (3) 按上述规律排列的平面镶嵌图案中, 是否存在刚好由 2008 个正六边形镶嵌成的图案 ?

镶嵌中的 “ 七巧板 ” 问题 : 将一块正方形纸板 ( 如图 1) 沿分割线剪下, 得到七块几何图形的纸板 ( 其中①③⑤⑥⑦是等腰直角三角形, ②是正方形 ), 我们把这七块纸板叫 做七巧板, 现用七巧板拼出一个图形 ( 如图 2), 其空隙部分是一个箭头. (1) 请在图 2 中用实线画出拼图的痕迹 ( 如实线 DP); (2) 若已知图 1 中大正方形纸板的边长为 8, 问图 2 中 “ 箭头 ” 的面积 ( 即封闭 平面图形 ABCDEFG 的面积 ) 比图 1 中标号为②的小正方形的面积大还是 小 ? 请通过计算加以说明. 图1图1 图2图2

如图 1 ，把一张标准纸一次又一次对开，得到 “ 2 开 ” 纸、 “ 4 开 ” 纸、 “ 8 开 ” 纸、 “ 16 开 ” 纸 … 已知标准纸的短边长为 a. （ 1 ）如图 2 ，把这张标准纸对开得到的 “ 16 开 ” 张纸按如下步骤折叠： 第一步 将矩形的短边 AB 与长边 AD 对齐折叠，点 B 落在 AD 上的点 B ’ 处，铺平后得 折痕 AE ； 第二步 将长边 AD 与折痕 AE 对齐折叠，点 D 正好与点 E 重合，铺平后得折痕 AF ， 则 AD ： AB 的值是 ， AD ， AB 的长分别是 ， ． （ 2 ） “ 2 开 ” 纸、 “ 4 开 ” 纸、 “ 8 开 ” 纸的长与宽之比是否都相等？若相等，直接写出这 个比值；若不相等，请分别计算它们的比值． （ 3 ）如图 3 ，由 8 个大小相等的小正方形构成 “ L ” 型图案，它的四个顶点分 E ， F ， G ， H 别在 “ 16 开 ” 纸的边 AB ， BC ， CD ， DA 上，求 DG 的长． （ 4 ）已知梯形 MNPQ 中， MN ‖ PQ ，∠ M=90° ， MN=MQ=2PQ ，且四个顶点 M ， N ， P ， Q 都在 “ 4 开 ” 纸的边上，请直接写出 2 个符合条件且大小不同的直角梯形的 面积 A B C D B C A D E G H F F E 2008 浙江宁波压轴题

t( 分 ) y( 元 ) A B 某电信公司推出了 A 、 B 两种手机通 话套餐，如图，表示通话费用 y （元） 与通话时间 t （分）之间的函数关系. (1) 观察图象可知 当通话时间不超过 200 分时，应选 用＿＿＿套餐. （填 “ A ” 或 “ B ” ） 当通话时间超过 200 分钟时， B 套 餐按每分钟＿＿＿元收费. (2) 当 t≥150 时，写出通话费用 y A ( 元 ) 与 t( 分 ) 之间的函数关系式； 当 t≥200 时，写出通话费用 y B ( 元 ) 与 t( 分 ) 之间的函数关系式； (3) 小明、小丽两人分别选取了 A 、 B 两种套餐. 一天，他们发现两人 2007 年 11 月份的通话时间相同，通话费用差额为 10 元. 请你确定小明 2007 年 11 月份的通话时间.

x( 分 ) y( 元 ) A B 1 、如图，某电信公司提供了 A 、 B 两种方案 的移动通讯费用 y （元）与通话时间 x （分） 之间的关系，则下列说法错误的是 （ ） A. 若通话时间少于 120 分，则 A 方案比 B 方案 便宜 20 元. B. 若通话时间超过 200 分，则 B 方案比 A 方案 便宜 20 元. C. 若通讯费用为 60 元，则 B 方案比 A 方案的通 话时间多. D. 若两种方案通讯费用相差 10 远，则通话时 间是 145 分或 185 分. y t 乙 甲 2 、某电信公司推出小灵通两种收费方式：甲种方 式是月租 20 元，乙种方式是月租 0 元，一个月的本 地网内打出电话时间 t （ min ）与打出电话费 y （元） 的函数关系如图，当打出电话 160min 时，这两种 方式电话费用相差 ＿＿＿元.

三角形重心的三个性质： 1 、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2 ： 1 。 2 、重心和三角形 3 个顶点组成的 3 个三角形面积相等。 3 、重心到三角形 3 个顶点距离的平方和最小。 A BC D E O F 若 O 为△ ABC 重心，可得： （ 1 ） S △ AOC = S △ AOB = S △ BOC （ 2 ）

考纲 P28 26 题：在数学上，把部分与整体以某种形式相似的图形，称为分形。如图是形如雪 花的分形图案，是瑞典数学家科赫将雪花理想化后得到的科赫雪花曲线，它的作法 是在等边三角形每条边的中央分别向外作等边三角形，边长是原三角形边长的三分 之一，就得到了一个六角形，这叫做一次生长；把六角形每边的中央分别向外作等 边三角形，边长是六角形边长的三分之一，这叫作二次生长. 依照此法，无限制的进 行下去，就可以得到漂亮的雪花曲线. 设原等边三角形的边长为 1 ，请你探索： （ 1 ）填写下表 （ 2 ）设第 n 次生长后的周长记为 C n ，若 C n >100, 请用 计算器探索 n 的最小值. （ 3 ）设第 n 次生长后的面积记为 S n ，当 n 足够大时， S n 的值能超过原等边三角形面积的 2 倍吗？请你计算 S 1 ， S 2 的值，并直接作出判断. 边长 边数 一次生长 1/312 二次生长 ……… n 次生长

2008 年金华市 16 题：如图，第（ 1 ）个多边形由正三角形 “ 扩展 ” 而来，边数记为 a3 ， 第（ 2 ）个多边形由正方形 “ 扩展 ” 而来. 边数记为 a4 ， … ，依次类推，由 正 n 边形 “ 扩展 ” 而来的多边形的边数记为 an （ n≥3 ）. 则 a5 的值是＿＿＿， 当 时， n 的值为＿＿＿.

2007 年中山市 已知等边△ OAB 的边长为 a ， 以 AB 边上的高 OA 1 为边， 按逆时针方向作等边 △ OA 1 B 1 ， A 1 B 1 与 OB 相交 于点 A 2. （ 1 ）求线段 OA 2 的长； （ 2 ）若再以 OA 2 为边按逆 时针方向作等边△ OA 2 B 2 ， A 2 B 2 与 OB 1 相交于点 A 3 ， 按此作法进行下去，得到 △ OA 3 B 3 ， △ OA 4 B 4 ， … ， △ OA n B n （如图），求 △ OA 6 B 6 的周长. A A 1 B A2A2 B1B1 A3A3 A4A4 A5A5 A6A6 A7A7 B2B2 B3B3 B4B4 B5B5 B6B6 B7B7

考纲 P15 12 题：如图是一次国际数学家教育大会（ ICME ）的会徽， 会徽的主体图案由一连串如图所示的直角三角形演化而成， 其中 则 n 的最小值是 （ ） （ A ） 7 （ B ） 8 （ C ） 9 （ D ） 10 O A1A1 A2A2 A3A3 A4A4 A5A5 A6A6

图中的螺旋形由一系列等腰 直角三角形组成, 其序号依次为①, ②, ③, ④, ⑤ …, 则第 n 个等腰直角 三角形的斜边长为 ( ) 1 ① ② ③ ④ ⑤

赵爽弦图 2002 年国际数学家大会会标 （ 1 ）证明勾股定理 （ 2 ）证明完全平方公式 c b a 2007 年巴中市 请用图的面积表达式验证勾股定 理（其中四个直角三角形全等，三 条边分别为 a ， b ， c ，且 c>b>a ）. “ 赵爽弦图 ” 是由于四个全等的直角三角形与中间的一个小 正方形拼成的一个大正方形（如图所示）。小亮同学随机地在 大正方形及其内部区域投针，若直角三角形的两条直角边的长 分别是 2 和 1 ，则针扎到小正方形区域的概率是＿＿＿＿.

补充课题：两块三角板 一副三角板衍变出来许多奇妙的问题，角度、线段长 度、面积等问题都蕴涵在三角板的组合和变换中，是近 年来的热门考题 年呼和浩特市、西宁市： 12 题：叫一副直角三角板按图示方法放置（直角顶点重 合），则∠ AOB+ ∠ DOC= ＿＿＿ °. 45° 30° O B D C A

E C A F D B E C A F D B 2008 年山东： （ 1 ）把两个含有 45° 角的直角三 角板如图放置，点 D 在 BC 上，连 接 BE 、 AD ， AD 的延长线交 BE 与 点 F ，求证： AF ⊥ BE. （ 2 ）把两个含有 30° 角的直角三 角板如图放置，点 D 在 BC 上，连 接 BE 、 AD ， AD 的延长线交 BE 与 点 F. 问 AF 与 BE 是否垂直？并说 明理由.