第五章 导数和微分 §1 导数的概念 §2 求导法则 §3 参变量函数的导数 §4 高阶导数 §5 微分

1 、给出了导数的物理模型 — 瞬时速度和几何模型 — 切线斜率。 2 、给出了函数在一点的导数（可导）的定义和函数在一点的左、 右导数的定义，以及函数在区间上可导的定义；给出了可导与连 续的关系。 3 、给出了导数的几何意义 — 切线的斜率。 教学内容： 4 、给出了应用导数的定义计算导数的例题。 教学重点 : 导数的定义和计算 要求 : 1 、知道导数的构造性定义, 理解导数在研究函数性态方面的作用. 2 、知道导数和连续的关系, 即可导必连续, 连续不一定可导. 3 、应用导数的定义计算函数在一点的导数. §1 导数的概念

问题的提出 : 在中学里我们学习过，物体作匀速直线运动，其速度等 于位移除以时间。而物体的运动往往不可能总是匀速的， 通常人们所说的物体运动速度是指物体在一段时间内的 平均速度。平均速度不能反映物体的瞬时速度。如果我 们已知物体的运动规律，如何计算它的瞬时速度 ?

两个例子 : 1. 瞬时速度

则物体在时刻 t 0 的瞬时速度定义为 速度反映了路程对时间变化的快慢程度

2. 切线的斜率 x Q 曲线 在其上一点 即为曲线在点 P 的切线的斜率. O P T y

一 导数的定义 定义 1: 即 (1)

解 : 由定义求得 所以切线方程为 即

证 因为 注:注: 利用导数的定义可证, 常量函数在任何点的导数为零, 即

定义 2: 类似地, 可以定义左导数 左﹑右导数统称为单侧导数.

单侧导数与导数的关系 : 注:注: 下列函数个别点的导数或左右导数应用导数的定义. (1) 函数在个别点的函数值单独定义的, 其余点的函数 值用统一解析式定义的 ( 函数在个别点连续 ). (2) 求分段函数在分段点的导数. 例

解 由于 因此

可导 → 连续。即可导是连续的充分条件。 可以证明： 连续是可导的必要条件。

二 导函数 特别 例 证明 (i) 为正整数. (ii) (iii) 定义 :

证 (i) 和 (iii) 的证明略. (ii) 下面只证第一个等式, 类似地可证第二个等式. 由于

三﹑导数的几何意义 法线方程为 : 注:注:

例 解 由于

定义 3 定理 ( 费马定理 ) 注:注: 极值点与稳定点的关系 : 1. 极值点不一定是稳定点, 稳定点也不一定是极值点. 2. 可导函数的极值点一定是稳定点.

达布 (Darboux) 定理 ( 导函数的介值定理 ) 证 : ( 略 )

§2 求导法则 教学内容： 1. 给出了函数的和、差、积、商的求导法则. 2. 给出了反函数的求导法则, 并得到了指数函数, 反三角函数 的求导公式. 3. 给出了复合函数的求导法则, 并得到了幂函数的求导公式. 教学重点 : 熟练掌握复合函数的求导法则. 要求 : 1. 掌握求导法则, 尤其是复合函数的求导法则. 2. 能熟练应用求导法则及基本初等函数的求导公式计算 初等函数的导数.

一 导数的四则运算和复合函数的链式法则

问题的提出 : 从上一节可以看到, 应用导数的定义可以求函数的导数, 但通常比较繁琐, 有没有更为简单、方便有效的方法求 函数特别是初等函数的导数 ? 初等函数导数的计算方法 : 1. 利用求导的四则运算法则及复合函数的链式法则求导； 2. 利用反函数求导法则求导； 3. 对数求导法； 4. 利用导数的定义求导；

例 解由于 例 求下列函数的导函数 : 解

二 反函数的导数 基本求导法则 : 例

证 (2) (3) 的证明略去. 三 对数求导法 对数求导法的步骤 : 1. 两端取绝对值之后, 再取自然对数. 2. 等式两端分别对自变量求导.

例 先对函数取对数, 得 解 再对上式两边分别求对数, 得 整理后得到

补充 : 分段函数的导数 例 设 当 解 当

§3 参变量函数的导数 教学内容： 本节给出了由参量方程所确定的参变量函数的 求导法则. 教学重点 : 参量方程的求导法则. 要求 : 能熟练求出参变量函数的导数. 问题的提出 : 前面两节我们学习了显函数的导数的求解方法, 如何 求由参量方程所确定的参变量函数的导数呢 ?

例试求由上半椭圆的参变量方程 所确定的函数 的导数. 解 由公式 (1) 求得 例 证 由公式 (2) 有

§4 高阶导数 教学内容： 1 、给出了高阶导数的定义，并得到幂函数 y=x n 、三角函数 y=sinx 、 y=cosx 、指数函数 y=e x 的 n 阶导数公式。 2 、给出了求两个函数乘积的高阶导数的莱布尼茨公式。 3 、给出了求由参量方程所确定的函数的二阶导数的计算公式。 教学重点： 各类函数高阶导数的计算。 要求： 熟练掌握各类函数高阶导数的计算及莱布尼茨公式的应用。 问题的提出： 速度是位移的导数，而加速度又是速度的导数，那么加速 度与位移是什么关系呢？

一 高阶导数的概念 1 、二阶导数的定义 定义 1 ：若函数 的导函数 在点 可导，则称 在点 的导数为 在点 的二阶导数，记作 ，即 同时称 在点 为二阶可导。 2 、 n 阶导数： 的 n-1 阶导数的导数称为 的 n 阶导数。 3 、高阶导数：二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。

二 高阶导数的计算 1 、 n 个初等函数的高阶导数 例 1 求幂函数 （ n 为正整数）的各阶导数。 解 由幂函数的求导公式得 由此可见，对于正整数幂函数 x n ，每求导一次，其幂次降低 1 ， 第 n 阶导数为一常数，大于 n 阶的导数都等于 0 。

注： 用类似的方法，可求得三 角函数 y=sin x,y=cos x 及指 数函数的各阶导数。

2 、利用莱布尼茨公式求两个函数乘积的高阶导数 莱布尼茨公式： 例 4 ：设 ，求 解 令 由例 2 和例 3 有 应用莱布尼茨公式（ n=5 ）得

3 、分段函数的高阶导数 例 5 研究函数 的高阶导数。 解 当 时， 当 时， 当 时，由左右导数定义不难求得 而当 时， 不存在，整理后得 当 时

4 、由参量方程所确定的函数的高阶导数 由参量方程 所确定的函数 的一阶、二阶 导数分别为 : （1）（1）（2）（2） 例 6 试求由摆线参量方程 所确定的函数 的二阶导数。 解 由公式（ 1 ）得 再由公式（ 2 ）得

§5 微分 教学内容： 1 、给出了函数在一点得微分（可微）的概念，并证明了可导与 可微是等价的。 2 、微分运算法则以及一阶微分形式的不变性。 3 、高阶微分的定义与计算，并说明高阶微分不具有形式的不变 性。 4 、微分在近似计算中的应用。 要求 : 1 、掌握微分概念，理解微分的分析和几何意义。 2 、掌握微分与导数的异同以及它们之间的联系。

问题的提出： 恩格斯在《反社林论》中指出： “ 高等数学的主要基础之一 是这样一个矛盾：在一定条件下直线和曲线应当是一回事 ” 。这 里所说的 “ 一定条件 ” 指的是什么？换句话说，怎样的函数可用线 性函数去逼近？ 由两部分组成： （Ⅰ） （阴影部分） （Ⅱ） 它是关于 的高阶无穷小量 例：设一边长为 x 的正方形，它的面积 是 的函数。若边 长由 增加了 ，相应地正方形面积地增量 因此，当给 一个微小增量 时，由此引 起的正方形增量 可近似地用 的线性部分 来代替，且 由此产生的误差是一个关于 的高阶无穷小量。

一 微分的概念 定义：设函数 定义在点 的某邻域 内。当给 一个增量 时，相应地得到函数的增量为： 如果存在常数 A ，使得 能表示成 则称函数 在点 可微，并称（ 1 ）式中的第一项 为 在 点 的微分，记作 （1）（1） 或 注意：①函数的微分与增量之间仅相差一个关于 的高阶无穷 小量。 ②若函数 在点 可微，则在点 的小邻域内可 用切线代替曲线。

二 可导与可微的联系与区别 1 、函数 在点 可导与可微是等价的，且 2 、函数 在点 的导数 与微分 的区别。 ① 是一个函数，而微分 是 的线性函数， 它的定义域是 R, 它是无穷小，即 ②从几何意义上说，导数 是曲线 在点 的 切线斜率，而微分 是曲线 在点 的切线方程在点 的纵坐标。 ③导数通常用于关于函数性质理论的研究，而微分通常用于近似 计算和微分运算。

三 微分的运算法则 1 、微分运算法则 ①②③④①②③④ 2 、一阶微分方程的不变性 则

3 、函数微分的计算方法 （ 1 ） 利用微分运算法则 例 1 求 的微分。 解 （ 2 ） 利用函数的导数求微分，即 例 求 的微分。 解 因为 所以

（ 3 ）利用一阶微分形式的不变性 例 2 求 的微分。 解 由一阶微分形式不变性，可得

四 高阶微分 3 、高阶微分：二阶以及二阶以上的微分统称为高阶微分。 1 、二阶微分：一阶微分的微分称为二阶微分。记作 且有 （1）（1） 2 、 n 阶微分： n-1 阶微分的微分称为 n 阶微分，记作 且有 （2）（2） 例 3 设 分别依公式（ 1 ）、 （ 2 ）求 解 由 得 依公式（ 1 ）得 类似地，依公式（ 2 ）得

五 微分在近似计算 1 、函数的近似计算 近似计算公式： ①当 很小时， 例 5 设钟摆的周期是 1 秒，在冬季摆长至多缩短 0.01cm ，试 问此钟每天至多快几秒？ 解 由物理学知道，单摆周期 T 与摆长 l 的关系为 其中 g 是重力加速度。已知钟摆周期为 1 秒，故此摆原长为 当摆长最多缩短 0.01cm 时，摆长的增量 它引起 单摆周期的增量（见下页）（见下页）

这就是说, 加快约 秒, 因此每天大约加快 例 4 求 的近似值。 解 由于 因此取 由上述式子得到 ②当 很小时， 注： 利用该公式时，要找一邻近 的点 ，使得 和 容易计算。

注： 在原点附近常用的近似公式：

2 、误差估计 绝对误差限公式： （ 为误差限） 相对误差限公式： 例 6 设测得一球体的直径为 42cm ，测量工具的精度为 0.05cm. 试求以此直径计算球体体积时所引起的误差。 解 由直径 d 计算球体体积的函数式为 取 求得 并由上述公式可求得体积的绝对误差限和相对误差限分别为