§ 2.2 线性微分方程与常数变易法 /Linear ODE and variation of constants Method/

本节要求 /Requirements/  熟练掌握线性方程和伯努利方程的求解方法。  了解黎卡提方程的简单性质及其求解方法。 内容提要 /Constant Abstract/

一 、一阶线性微分方程 / First-Order Linear ODE/ ………………(2.2.1) 的方程称为一阶线性微分方程 ( 即关于 是线性的 ) 其中 为 x 的已知函数。当时， 称为齐次线性方程 ; 当时，称为非齐次线性方程。 形如 一般形式 …………(2.2.2) § 2.2 Linear ODE and variation of constants Method

假设 函数在区间 a<x<b 上连续, 则根 据解的存在性及唯一性定理可知，在区域 方程 (2.2.1) 的初值问题的解是存在唯一的。 ………………(2.2.1) § 2.2 Linear ODE and variation of constants Method

（ 1 ）齐次线性方程 /Homogenous Linear ODE/ 解法 : 分离变量，得 : 积分，得 :..……………………..(2.2.2) § 2.2 Linear ODE and variation of constants Method

得 因为为 (2.2.2) 的解, 所以其通解为 : …………………….…(2.2.3) 其中 c 为任意常数。 满足初始条件的解是 …………………..(2.2.3)’ § 2.2 Linear ODE and variation of constants Method

由公式 (2.2.3)’ 得，所求特解为 : 由公式 (2.2.3) 得，所求通解为： 解 例1例1 的通解, 并求满足条件的 特解 试求微分方程 § 2.2 Linear ODE and variation of constants Method

（ 2 ）非齐次线性方程 / Non-Homogenous Linear ODE/ 采用常数变易法求解 设想方程 有形如 (2.2.3) 的解，但其中的常数 c 变易为 x 的待定函数 即设 ………………….(2.2.4) ……………………………(2.2.3) 方程的解。 § 2.2 Linear ODE and variation of constants Method

上式代入方程 (2.2.1) ，得 : 即:即: 积分得 : § 2.2 Linear ODE and variation of constants Method

代入 (2.2.4) ………..(2.2.5) 得:得: 同时，方程满足初始条件 的特解为 : § 2.2 Linear ODE and variation of constants Method

其中第一项是线性齐次方程的通解，第二项是线性非齐次方 程特解。 非齐次线性方程通解的结构： 通解等于其对应齐次方程通解与自身的一个特解之和。 由 (2.2.5) 得 : § 2.2 Linear ODE and variation of constants Method

例2例2 解 1) 先求对应的齐次方程通解 2) 用常数变易法求方程通解 设 是方程的解，代入原方程，得 § 2.2 Linear ODE and variation of constants Method

说明：对于一阶线性方程，也可直接用通解公式计算得出。 § 2.2 Linear ODE and variation of constants Method

例3例3 解 1) 转换变量位置 2) 用公式求方程通解 § 2.2 Linear ODE and variation of constants Method

有时方程关于 x 为 y 的函数，方程关于 于是仍可以根据上面的方法求解。 注意 : 不是线性的，但如果视 是线性的， § 2.2 Linear ODE and variation of constants Method

练习 § 2.2 Linear ODE and variation of constants Method

解 1) 先解齐次方程 积分，得： 2) 设, 代入原方程，得 : 练习 (1) § 2.2 Linear ODE and variation of constants Method

化简得 : 所以，通解为 : § 2.2 Linear ODE and variation of constants Method

练习 (2) 解 用公式求解, 即:即: § 2.2 Linear ODE and variation of constants Method

解 方程可以改写为 : 练习 (3) 故通解为 : 即:即: § 2.2 Linear ODE and variation of constants Method

二、 可化为线性方程的方程 1 伯努利方程 /Bernoulli ODE/ 2* 黎卡提方程 / Riccati ODE/ § 2.2 Linear ODE and variation of constants Method

1 伯努利方程 / Bernoulli ODE/ 形如 的方程称为伯努利方程，其中 它通过变量代换可化为线性方程。 解法： 将方程 (2.2.6) 的各项同乘以 得:得: 令 § 2.2 Linear ODE and variation of constants Method

用上式求解后，代入原变量, 便得原方程的通解。 § 2.2 Linear ODE and variation of constants Method

例4例4 将方程改写为 : 解 故 § 2.2 Linear ODE and variation of constants Method

2 黎卡提方程 / Riccati ODE/ 形如 的方程称为黎卡提方程。 特点 : 在一般情况下，此类方程的解不能用初等函数及其积分 形示表示，如果先由观察法或其他方法知道它的一个特 解时，才可以通过初等积分法，求出它的通解。 § 2.2 Linear ODE and variation of constants Method

解法若方程有一特解为 设 则 化为伯努利方程。 § 2.2 Linear ODE and variation of constants Method

由观察看出 是方程的一个特解，于是 令，则得 解 故原方程的通解为 例5例5 § 2.2 Linear ODE and variation of constants Method

例 6 试求 形如 的特解, 解此微分方程。 解 设 代入方程得 : 所以 故 是方程的一个特解。 令 于是方程化为伯努利方程 § 2.2 Linear ODE and variation of constants Method

故原方程的通解为 § 2.2 Linear ODE and variation of constants Method

练习 § 2.2 Linear ODE and variation of constants Method

练习 方程各项同除以 得:得: 解 令 于是方程化为 : 即 § 2.2 Linear ODE and variation of constants Method

解 经观察，方程有一个特解 令 练习 § 2.2 Linear ODE and variation of constants Method

思考题 作业： P.38 第 6 ， 8 ， 11 ， 14 ， 15 ， 16 ， 20 ， 22(1) 题 P.64 第 36(3) 题 § 2.2 Linear ODE and variation of constants Method

提示 : （线性方程） （伯努利方程） （线性方程） § 2.2 Linear ODE and variation of constants Method

解原方程可改写为 : 故通解为 : § 2.2 Linear ODE and variation of constants Method

即:即: 或： § 2.2 Linear ODE and variation of constants Method