大家好，我是 NTOU/MSV 工數教學的 York 老師，今天跟大家講解工程數學的第 一課，一階常微分方程。 一般我們講一階 ODE ， first order ordinary differential equation 。這邊的話我 們建議大家要先修過微積分，才能懂得我們要講甚麼。另外也有 PDE ，我們 請同學也去比較這兩者有甚麼不同。 下面我們看幾個方程式，大家猜一猜哪一個方程式是一階 ODE 。 一階 ODE 的敘述講法是微分方程式中自變數只有一個，變數出現的最高階導 數的階數為一階，稱為一階 ODE ，所以我們很清楚剛剛的範例中哪個才是一 階 ODE 。 在工程或生活的應用中，有幾個類型的問題可以使用一階 ODE ， a. 指數型的成長或衰減，如銀行的利息本金問題及半衰期問題， b. 邏輯成長曲線，如考慮環境乘載量的生物生長個數問題。 c. 變數替代的問題應用，如車燈曲面設計。 d. 勢能函數。這些部分之後會再詳加描述。
所以其實生活中也可以應用這種基本的微分方程。 一般線性一階 ODE 的標準形式為 Dy/Dx+P(x)*y=r(x) ， 因篇幅關係，煩請同學參考我們 NTOU/MSV 的工數 講義內容，可以得到公式解。 但其實不需要去背，因為不同形式的微分方程不能 使用這種公式解。 比如說一階微分方程有剛剛講的一階線性 ODE 、 Bernoulli 方程式、 Riccati 方程式與 Clairaut 方程式， 這些不同的一階 ODE 有其解題流程可以使用，比如 說將這個微分方程式 (dy/dx=-y/x) 中相同的變數整理 再一起成個別函數後各分一邊，就像這樣子，兩邊 積分就可以得到解，這就是分離變數法。
如果有一個式子長成這樣 (M(x,y)dx+N(x,y)dy=0) ，如果這 個式子正合，也就是說有一個 phi 做全微分，可以讓上 式變成 partial M/ partial y= partial N/ partial x= partial phi 兩次 /partial x partial y ，因此兩個函數 M,N 對 x, y 積分後 並加入非相關變數增加項，就可以得到解，如果這個式 子非正合，我們也可以使用積分因子的方法，將兩項各 乘一個積分因子，讓這個式子正合。至於這個積分因子 怎麼找，礙於時間限制請參考我們的工數講義內容。 至於齊次函數定義如下，而齊次微分方程這是這條微分 方程中 f(x)=0 ，而解齊次方程式可用變數代換另 y=ux 去 代換方程式中的 y 相關項，而可以用分離變數法來求解。 最後，也煩請各位同學上我們的網站， Google 搜尋 NTOUMSV 這個關鍵字就可以找到，裡面有許多關於工 程數學與學術相關活動的資訊，謝謝大家。