§ 3 格林公式 · 曲线积分 与路线的无关性 在计算定积分时, 牛顿 - 莱布尼茨公式反映 了区间上的定积分与其端点上的原函数值之 间的联系 ; 本节中的格林公式则反映了平面 区域上的二重积分与其边界上的第二型曲线 积分之间的联系. 一、格林公式 二、曲线积分与路线的无关性

一、格林公式 设区域 D 的边界 L 是由 一条或几条光滑曲线所 组成. 边界曲线的正方向 规定为 : 当人沿边界行走 时, 区域 D 总在它的左边, 如图 所示. 与上述规定的方向相反的方向称 为负方向, 记为

定理 若函数在闭区域 D 上 有连续的一阶偏导数, 则有 (1) 这里 L 为区域 D 的边界曲线, 并取正方向. 公式 (1) 称为格林公式. 证 根据区域 D 的不同形状, 这里对以下三种情形 (i) 若 D 既是 x 型又是 y 型区域 ( 图 ), 则可表为 作出证明 :

又可表为 这里 和 分 分别是曲线 和 的方程. 于是 别为曲线和 的方 程, 而和 则 图 21-13

同理又可证得

将上述两个结果相加即得 (ii) 若区域 D 是由一条 按段光滑的闭曲线围成, 且可用几段光滑曲线将 D 分成有限个既是 x 型

又是 y 型的子区域 ( 如图 21-14), 则可逐块按 (i) 得到 它们的格林公式, 然后相加即可. 如图 所示的区域 D, 可将它分成三个既是 x 型又是 y 型的区域于是

(iii) 若区域 D 由几条闭曲线 所围成, 如图 所示. 这 把区域化为 (ii) 的情形来处 时可适当添加线段 理. 在图 中添加了 后, D 的边界则由

注 1 并非任何单连通区域都可分解为有限多个既是 型又是型区域的并集, 例如由 及 构成. 由 (ii) 知

所围成的区域便是如此. 注 2 为便于记忆, 格林公式 (1) 也可写成下述形式 : 注 3 应用格林公式可以简化某些曲线积分的计算. 请看以下二例 :

第一象限部分 ( 图 21-16). 解 对半径为 r 的四分之一圆域 D, 应用格林公式 : 由于 因此 例 1 计算其中曲线 是半径为 r 的圆在

例 2 计算 其中 L 为任一不包含原 点的闭区域的边界线. 解 因为 它们在上述区域 D 上连续且相等, 于是

所以由格林公式立即可得 在格林公式中, 令 则得到一个计算平 面区域 D 的面积 S D 的公式 : (2)

例 3 计算抛物线与 x 轴所围图 形的面积 ( 图 21-17). 解 曲线 由函数 表示, 为直线 于是

二、曲线积分与路线的无关性 在第二十章 §2 中计算第二型曲线积分的开始两 个例子中, 读者可能已经看到, 在例 1 中, 以 A 为起点 B 为终点的曲线积分, 若所沿的路线不同, 则其积分 值也不同, 但在例 2 中的曲线积分值只与起点和终 点有关, 与路线的选取无关. 本段将讨论曲线积分在 什么条件下, 它的值与所沿路线的选取无关. 首先介绍单连通区域的概念. 若对于平面区域 D 内任一封闭曲线, 皆可不经过 D

以外的点而连续收缩于属于 D 的某一点, 则称此平 面区域为单连通区域 ; 否则称为复连通区域. 在图 中, 与 是单连通区域, 而 与 则 是复连通区域. 单连通区域也可以这样叙述 : D 内任 一封闭曲线所围成的区域只含有 D 中的点. 更通

俗地说, 单连通区域就是没有 “ 洞 ” 的区域, 复连通区 域则是有 “ 洞 ” 的区域. 定理 设 D 是单连通闭区域. 若函数 在 D 内连续, 且具有一阶连续偏导数, 则以 下四个条件两两等价 : (i) 沿 D 内任一按段光滑封闭曲线 L, 有 (ii) 对 D 中任一按段光滑曲线 L, 曲线积分

与路线无关, 只与 L 的起点及终点有关 ; (iii) 是 D 内某一函数 的全微分, 即在 D 内有 (iv) 在 D 内处处成立 证 (i) (ii) 如图 21-19, 设 与 为联结点 A, B 的任意两条按段光滑曲线, 由 (i) 可推得

所以

D 内任意一点. 由 (ii), 曲线积分 与路线的选择无关, 故当 在 D 内变动时, 其 积分值是 的函数, 即有 取充分小, 使则函数 对于 x 的偏增量 ( 图 ) (ii) (iii) 设为 D 内某一定点, 为

因为在 D 内曲线积分与路线无关, 所以 因直线段 BC 平行于 x 轴, 故, 从而由积分中 值定理可得

其中根据 在 D 上连续, 于是有 同理可证 所以证得 (iii) (iv) 设存在函数 使得 因此 于是由

一点处都有 (iv) (i) 设 L 为 D 内任一按段光滑封闭曲线, 记 L 所围的区域为. 由于 D 为单连通区域, 所以区域 含在 D 内. 应用格林公式及在 D 内恒有 的 条件, 就得到 以及 P, Q 具有一阶连续偏导数, 便可知道在 D 内每

上面我们将四个条件循环推导了一遍, 这就证明了 它们是相互等价的. 应用定理 中的条件 (iv) 考察第二十章 §2 中的 例 1 与例 2. 在例 1 中 由于故积分与路线有关. 在例 2 中由于

所以积分与路线无关. 例 4 计算 其中 到点 D(0,1) 的路径 ( 见图 21-21). 分析 如果第二型曲线积分在某单连通区域内满足 与路径无关的条件, 则可改变积分路径, 使易于计算. L 为沿着右半圆周 由点 A(0, - 1)

解 记解 记 易知除去点 E(0.5, 0) 外, 处处满足 设为由点 到点 再到点 最 图 21-21

的折线段. 后到点 可被包含在某 一不含奇点 E 的单连通区域内, 所以有

注 1 定理 中对 “ 单连通区域 ” 的要求是重要 何不包含原点的单连通区域, 已证得在这个区域内 的任何封闭曲线 L 上, 皆有 (3) 的. 如本例若取沿 y 轴由点 A 到点 D 的路径, 虽 然算起来很简单, 但却不可用. 因为任何包含 的单连通区域必定含有奇点 E. 又如本节例 2, 对任

只在剔除原点外的任何区域 D 上有定义, 所以 L 必 含在某个复连通区域内. 这时它不满足定理 的条件, 因而就不能保证 (3) 式成立. 事实上, 若取 L 为绕原点一周的圆 则有 倘若 L 为绕原点一周的封闭曲线, 则函数

注 2 若 满足定理 的条件, 则 由上述证明可看到二元函数 具有性质

例 5 试应用曲线积分求 的原函数. 解 这里 在整个平面上成立 由定理 21.12, 曲线积分 我们也称 为 的一个原函数.

为此, 取取路线为图 中的折 注 由例 4 可见, 若 线段 于是有 只与起点 A 和终点 B 有关, 而与路线的选择无关. 则求全微分的原函数可用公式

或 下例介绍用 “ 凑微分 ” 法求全微分的原函数. 例 6 求全微分 的原函数 解 由于

因此 是某个函数 的全微分. 由

可见 其中 为任意常数.

复习思考题 验证格林公式的另一形式 : 其中是的边界 上任一点处的外法线向量.