第七章 多元函数微分学 一 多元函数与极限 二 多元函数的偏导数 三 多元函数的全微分及其应用 四 多元复合函数的微分法 五 多元函数的极值

1. 实例分析 一、多元函数 一、多元函数的概念

定义 1 ：设在某一过程中有三个变量 x, y 和 z ，如果对于 变量 x, y 在其变化范围 D 内的每一对值 ( x, y ) ， 按照法则 f 有唯一确定的值 z ∈ R 与之对应， 那么这种法则就规定了一个函数： 其中 x ， y 称为自变量， z 称为因变量， D 为定义域。 D 中任一对数 ( x, y ) 在法则 f 下的对应值 z ，称为 f 在 点 ( x, y ) 的函数值，记作 z = f ( x, y ) 。 多元函数的概念

函数 f 的函数值的全体 称为函数 f 的值域。 函数的两个要素 : 定义域，对应法则

设 z = f (x, y) 的定义域是平面区域 D. 按二元函数定义,  (x, y)  D. 可以唯一确定实 数 z, 从而确定了空间一个点 M (x, y, z). 二元函数的几何意义

当 (x, y) 在 D 中变动时, 点 M (x, y, z) 在空间 中变动, 当 (x, y) 取遍 D 中一切点时, M (x, y, z) 在 三维空间中 " 织 " 出一片曲面. 即, 二元函数表示空间中一片曲面, D 是该 曲面在 x y 面上的投影区域.

X D M (x, y, z) y x z o

二元函数的图形通常是一张曲面.

例如, 图形如右图. 左图球面. 单值分支 :

与一元函数相类似，对于定义域约定： 定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切点集. 例 1 求 的定义域． 解 所求定义域为

这是一个无界开区域。 x+y=0 函数 的定义域为

这是一个闭区域。 的定义域为 函数

（ 1 ）邻域 回忆

（ 1 ）邻域 ° °

P0P0 

定义 2 ： 若函数 z = f ( x, y ) 在点 附近有定义 （在点 可以没有定义）， P ( x, y ) 是 邻域内的点，如果当 P 以任意的方式无限的趋向 于点 时。 f ( x, y ) 无限的趋向于某一个常 数 A ，那么我们就说当 或 时，函数 f ( x, y ) 以 A 为极限，记作

说明： （ 1 ）定义中 的方式是任意的； （ 2 ）二元函数的极限运算法则与一元函数类似． （ 3 ）二重极限的几何意义：  > 0 ，  P 0 的去心  邻域 º U(P 0,  ) 。 在 º U(P 0,  ) 内，函数 的图形总在平面 及之间。

例 2 求证 证 当 时， 原结论成立．

注意： 是指 P 以任何方式趋于 P 0. 一元中一元中 多元中多元中

确定极限不存在的方法：

例 3 设 解 但取 其值随 k 的不同而变化。 不存在． 故

考察 P(x, y) 沿平面直线 y = k x 趋于 (0, 0) 的情形. 如图 对应函数值 x o y

定义 3 ：设函数 z = f ( x, y ) 在点 及其附近有定义 如果 ，就称函数 f ( x, y ) 在点 连续。如果 f ( x, y ) 在区域 D 的 每一点都连续，就称 f ( x, y ) 在区域 D 连续。

例 4 求 解

例 5 求极限 解 其中

多元初等函数： 由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四 则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表 示的多元函数叫多元初等函数。 一切多元初等函数在其定义域内是连续的． 在定义域内的连续点求极限可用 “ 代入法 ” ：

例７ 解

一、 偏导数 多元函数的偏导数

在二元函数 z = f (x, y) 中, 有两个自变量 x, y, 但 若固定其中一个自变量, 比如, 令 y = y 0, 而让 x 变化. 则 z 成为一元函数 z = f (x, y 0 ), 我们可用讨论一元 函数的方法来讨论它的导数, 称为偏导数. 一、偏导数的定义

则称这个极限值为 z = f (x, y) 在 (x 0, y 0 ) 处对 x 的 偏导数. 即 此时也称 f (x, y) 在 (x 0, y 0 ) 处对 x 的偏导数存在. 否则 称 f (x, y) 在 (x 0, y 0 ) 处对 x 的偏导数不存在.

类似, 若固定 x = x 0, 而让 y 变, z = f (x 0, y) 成 为 y 的一元函数. 则称它为 z = f (x, y) 在 (x 0, y 0 ) 处对 y 的偏导数. 即

定义：设函数 z = f ( x, y ) 在点 的某个邻域内有定义。 固定 ，给 x 增量 ，相应的函数 z 有增量 ，称为 z 关于 x 的偏增量。如果极限 存在，就称其为函数 f ( x, y ) 在点 处对 x 的偏导数，记作

函数 f ( x, y ) 在点 处对 y 的偏导数，记作

若 z = f (x, y) 在区域 D 内每一点 (x, y) 处时 x 的 偏导数都存在, 即  (x, y)  D, 存在. 此时, 它是 x, y 的二元函数. 称为 z 对 x 的偏导 函数. 简称偏导数. 记作 类似定义 z 对 y 的偏导函数.

1. 由偏导数定义知, 所谓 f (x, y) 对 x 的偏 导数, 就是将 y 看作常数, 将 f (x, y) 看作一元 函数来定义的. 注 因此, 在实际计算时, 求 f ' x (x, y) 时, 只须将 y 看作常数, 用一元函数求导公式求即可. 求 f ' y (x, y) 时, 只须将 x 看作常数, 用一元 函数求导公式求即可.

2. f ' x (x 0, y 0 ) 就是 f ' x (x, y), 在点 (x 0, y 0 ) 的值. 算 f ' x (x 0, y 0 ) 可用 3 种方法. f ' y (x 0, y 0 ) f ' y (x, y) f ' y (x 0, y 0 ) (1) 用定义算. (2) 先算 f ' x (x, y), 再算 f ' x (x 0, y 0 ) f ' y (x, y), f ' y (x 0, y 0 ). (3) 先算 f (x, y 0 ), 再算 f ‘ x (x, y 0 ) f ' x (x 0, y 0 ) f (x 0, y), f ' y (x 0, y),f ' y (x 0, y 0 ).

例 1. 解:解: 或 f (x, 2) = x 2 + 6x + 4, f ' x (x, 2) = 2x + 6, 故 f ' x (1, 2) = 2+ 6 = 8.

例 2. 解:解:

例 3. 解:解: 偏导数的概念可推广到三元以上函数中去. 比如, 设 u = f (x, y, z). 它的求法, 就是将 y, z 均看作常数来求即可.

例 4. 解:解:

由一元函数的导数的几何意义, 可以得到偏 导数的几何意义. 设 z = f (x, y) 在点 (x 0, y 0 ) 处的偏导存在, 记 z 0 = f (x 0, y 0 ). 点 M 0 (x 0, y 0, z 0 ) 则 二、偏导数的几何意义

f ' x (x 0, y 0 ) 就是以平面 y = y 0 与曲面 z = f (x, y) 相截, 得到截线  1.  1 上点 M 0 (x 0, y 0, z 0 ) 处切线 对 x 轴的斜率. 而 f ' y (x 0, y 0 ) 就是以就是以平面 x = x 0 与曲面 z = f (x, y) 相截, 得到截线  2.  2 上点 M 0 (x 0, y 0, z 0 ) 处切线对 y 轴的斜率.

4 、偏导数的几何意义 如图

几何意义 :

故只须搞清一元函数 f (x, y 0 ) 的几何意义. 就可 得到 f ' x (x 0, y 0 ) 的几何意义. 以平面 y = y 0 与曲面 z = f (x, y) 相截, 得截线  1 : z = f (x, y) y = y 0 也就是 z = f (x, y 0 ). 且 M 0 (x 0, y 0, z 0 ) 在  1 上.

即 z = f (x, y 0 ) 表示平面 y = y 0 与曲面 z = f (x, y) 的交线  1. z = f (x, y 0 ) 上点 M 0 处的切线对 x 的斜率. 如图

y x z o z = f (x, y) X0X0 M0M0 即 f ' x (x 0, y 0 ) 表示 y = y 0 与 z = f (x, y) 的交线在 M 0 处的 切线对 x 的斜率. T1T1   1 : z = f (x, y 0 ) 11 y0y0

y x z o z = f (x, y) M0M0 X0X0 22  2 : z = f (x 0, y) 类似得 f ' y (x 0, y 0 ) 的几何意义. 如图 即 f ' y (x 0, y 0 ) 表示 x = x 0 与 z = f (x, y) 的 交线在 M 0 处的切线对 y 的斜率. x0x0 T2T2 

在一元函数中, 可导必连续, 但对多元函数 不适用. 即, 对多元函数 f (x,y) 而言, 即使它在 (x 0 ， y 0 ) 的对各个自变量的偏导数都存在, 也不 能保证 f (x,y) 在 (x 0 ， y 0 ) 连续. 三、偏导与连续的关系

例. 设 证明 z = f (x, y) 在 (0, 0) 的两个偏导都 存在, 但它在 (0, 0) 不连续. 证:证: 前边已证 z = f (x, y) 在 (0, 0) 的极限不 存在, 因此它在 (0, 0) 不连续.

= 0 故 z = f (x, y) 在 (0, 0) 的两个偏导都存在, 但它在 (0, 0) 不连续. 下证 z = f (x, y) 在 (0, 0) 的两个偏导都存在.

从几何上看, f ' x (x 0, y 0 ) 存在. 只保证了一 元函数 f (x, y 0 ) 在 x 0 连续. 也即 y = y 0 与 z = f (x, y) 的截线  1 在 M 0 = (x 0, y 0, z 0 ) 是连续的. 同理, f ' y (x 0, y 0 ) 存在. 只保证了 x = x 0 与 z = f (x, y) 的截线  2 在 M 0 连续. 但都不能保证曲面 z = f (x, y) 在 M 0 连续.

换句话说, 当 (x,y) 从任何方向, 沿任何曲线 趋于 (x 0 ， y 0 ) 时, f (x,y) 的极限都是 f (x 0 ， y 0 ). 显然, 上边两个条件都不能保证它成立.

两个偏导数都存在的二元函数未必连续 偏导与连续的关系：

例.例. 易知, f (x, y) 在 (0,0) 的两个偏 导都存在, 且为 0. 但它在 (0, 0) 不连续. 如图 y x z o

由于它们还是 x, y 的函数. 因此, 可继续讨论 高阶偏导数

称为 z = f (x, y) 的二阶偏导数.

类似, 可得三阶, 四阶, …, n 阶偏导数.

例 1. 解:解:

若不是, 那么满足什么条件时, 二阶混合 偏导数才相等呢 ? 问题 : 是否任何函数的二阶混合偏导数都相等 ?

若 z = f (x, y) 的两个混合偏导数 则 定理 1

一般说来, 算这 个改变量较麻烦, 希望找计算它的近似公式. 该近似公式应满足 (1) 好算. (2) 有起码的精度. 在实际中, 常需计算当两个自变量都改 变时, 二元函数 z = f (x, y) 的改变量 f (x 0 +  x, y 0 +  y) – f (x 0, y 0 ). 一、全微分的概念 多元函数的全微分

类似一元函数的微分概念, 引进记号和定义. 记  z = f (x 0 +  x, y 0 +  y) – f (x 0, y 0 ). 称为 z = f (x, y) 在点 (x 0, y 0 ) 的全增量.

全微分的定义 定义定义

对照一元函数的微分, z = f (x, y), 若  z = A  x +0(  x) 则 dz = A  x = f ' (x) ·  x. 自然会提出以下问题. (1) 若 z = f (x, y) 在点 (x 0, y 0 ) 可微, 微分式 dz = A  x +B  y 中系数 A, B 如何求, 是否与 z 的偏导有 关 ? (2) 在一元函数中, 可微与可导是等价的. 在二 元函数中, 可微与存在两个偏导是否也等价 ? (3) 在一元函数中, 可微  连续, 对二元函数是 否也对 ?

事实上

结论 : 对二元函数 z = f (x, y), z 在 (x 0, y 0 ) 可微 ( 不是 存在两个偏导 )  z 在 (x 0, y 0 ) 连续.

可微的条件

证 总成立,

分别称为函数 z = f (x, y) 关于自变量 x ， y 的偏微分。

一元函数在某点的导数存在 多元函数的各偏导数存在 例如， 微分存在． 全微分存在．

则 说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在。

证略。

多元函数连续、可导、可微的关系 函数可微分 函数连续 偏导数连续 偏导数存在

解 (2, 1) 处的全微分 它们均连续。因此，函数可微分。

解

全微分的定义可推广到三元及三元以上函数

解 所求全微分

全微分在近似计算上的应用

估计函数的绝对误差 估计函数的相对误差

定理 1 ： 如果函数 在点 ( x, y ) 有 连续偏导数 ，函数 z = f ( u, v ) 在对应点 ( u, v ) 有连续偏导数 ，则函数 在点 ( x, y ) 有连续偏导数 且 复合函数的微分法 一 链式法则

链式法则如图示

若 z = f ( u, v, w ) ， 都有连续偏导数，则 有多个中间变量的情况，连锁法则仍然适用 例如有三个中间变量的情况

特殊地 即 令 其中

z uvuv x

上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况. 如 全导数. 以上公式中的导数 称为全导数.

解 z uvtuvt t 型t 型

解 z uvuv xyxy 型

解

解 令 则 zu xyxy 型

二、全微分形式不变性 （ 1 ）如果 u ， v 是自变量，结论显然。 （ 2 ）如果 u ， v 是中间变量， 在点 ( x, y ) 有连续偏导数，则复合函数 Z = f [ u ( x, y ), v ( x, y )] 的全微分可表示为： 事实上，

全微分形式不变形的实质： 无论 z 是自变量 u ， v 的函数或中间变量 u ， v 的函数，它的全微分形式是一样的.

常用的微分公式

解

解 d ( )

一、多元函数的极值多元函数的极值 二、多元函数的最大值与最小值多元函数的最大值与最小值多元函数的极值

一、多元函数的极值

不可导点可能是极值点

二、二元函数的最大值与最小值

1 求下列函数的偏导数 2 求下列函数的全微分

3 求下列复合函数的偏导数

4 设 u = f ( x+ at )+ g (x – at ) 其中 f,g 是任意的二阶可微函数， 证明：

答案 1 求下列函数的偏导数

2 求下列函数的全微分

3 求下列复合函数的偏导数

（ 5 ）令 （ 6 ）令

4 证明：令