 學生氏 t 分布  單一樣品均值推論  兩樣品均值差之分布  兩樣品非成對 t 值檢定  兩樣品成對 t 值檢定  二項分佈均值差推論 第八章. 樣品均值比較問題 The Comparison Problem of Sample Mean

8.1 學生氏 t 分布 於實際應用上，族群變方 通常都是未知的，因此 以樣品資料求得樣品均方 來代替族群變方 於實際應用上，族群變方 通常都是未知的，因此 以樣品資料求得樣品均方 來代替族群變方 所得並非標準常態分布的標準化值 Z ，而是 t 值。 所得並非標準常態分布的標準化值 Z ，而是 t 值。

學生氏 t 分布 此 t 值之分佈為學生氏 t 分布 (Student’s t- distribution) ，為高斯特 (William Sealy Gosset) 於 1908 年所推導得，並以其筆名 Student 來命名。 此 t 值之分佈為學生氏 t 分布 (Student’s t- distribution) ，為高斯特 (William Sealy Gosset) 於 1908 年所推導得，並以其筆名 Student 來命名。 t 分布之機率密度函數為： t 分布之機率密度函數為：

8.2 t 分布之性質 t 分布是以均值 0 為中心的左右對稱分布，而不同 的自由度 有不同的 t 分布。 t 分布是以均值 0 為中心的左右對稱分布，而不同 的自由度 有不同的 t 分布。 t 分布不與橫軸相交， t 分布曲線下的面積等於 1 。 t 分布不與橫軸相交， t 分布曲線下的面積等於 1 。 t 分布決定於自由度 ，它是 t 分布唯一的參數。 t 分布決定於自由度 ，它是 t 分布唯一的參數。 若 n 趨近於無窮大時， t 分布會趨近於標準常態分 布 (Z 分布 ) 。 若 n 趨近於無窮大時， t 分布會趨近於標準常態分 布 (Z 分布 ) 。 t 分布曲線下的機率，如同標準常態分布，已有累 計機率表可供查閱 ( 附表五 ) 。 t 分布曲線下的機率，如同標準常態分布，已有累 計機率表可供查閱 ( 附表五 ) 。

t 分布之性質

 虛無假設 (null hypothesis)  對立假設 (alternative hypothesis)  定顯著水準 或 ( 雙尾 )  計算 t 值 若 ，則接受 H 0 的假設，反之則拒絕 H 0 的假 設。 ( 附表 5 列出右單尾機率及其 t 值，與附表 4 之 Z 值分佈表示法不同 ) 若 ，則接受 H 0 的假設，反之則拒絕 H 0 的假 設。 ( 附表 5 列出右單尾機率及其 t 值，與附表 4 之 Z 值分佈表示法不同 ) 8.3 單一樣品均值推論 如檢測一樣品是否來自於某族群，若族群變方 未知，而以樣品均方 來代替族群變方，則其假 設檢定程序為： 如檢測一樣品是否來自於某族群，若族群變方 未知，而以樣品均方 來代替族群變方，則其假 設檢定程序為：

例子 8.1 假設消基會調查市面上某速食品所含防 腐劑如下： 3 ， 4 ， 5 ， 4 ， 2 ppm ，試推論此速食 品所含防腐劑是否符合國家訂定的標準值 3ppm 。 首先計算資料之平均值及均方 首先計算資料之平均值及均方

例子 8.1 假設消基會調查市面上某速食品所含防 腐劑如下： 3 ， 4 ， 5 ， 4 ， 2 ppm ，試推論此速食 品所含防腐劑是否符合國家訂定的標準值 3ppm (1) (2) (3) 設定顯著水準 ( 雙尾 ) (4) 計算 t 值 ，故接受 H 0 的假設， 表示此速食品所含防腐劑符合國家標準值 3ppm 。

由上式信賴區間中包括 3ppm 在內，故接受 H 0 的假設。 另外我們也可求 的 之信賴區間如下： 另外我們也可求 的 之信賴區間如下： 例子 8.1 可得此速食品防腐劑含量之 95% 信賴區 間為 例子 8.1 可得此速食品防腐劑含量之 95% 信賴區 間為

 虛無假設 (null hypothesis)  對立假設 (alternative hypothesis) 3) 定顯著水準 ( 雙尾 ) 4) 計算 若 ，則接受 H 0 的假設，反之則拒絕 H 0 的假 設。 ( 見附表 4 之 Z 值分布 ) 若 ，則接受 H 0 的假設，反之則拒絕 H 0 的假 設。 ( 見附表 4 之 Z 值分布 ) 8.4 二項族群樣品均值推論 二項族群檢測一樣品是否來自於某族群，其假設 檢定程序為： 二項族群檢測一樣品是否來自於某族群，其假設 檢定程序為：

[ 例 8.2a] 一般患肺癌病人 3 年內之死亡率約 90%, 今有 一新療法, 試驗 150 位病人 3 年內有 126 位病人死亡, 問新療法是否較佳 故接受, 新療法較佳 故接受, 新療法較佳

或以樣品合計亦得同樣結果

[ 例 8.2b] 設今有甲乙兩位市長候選人, 在投票前做民 調, 從全市電話 100 萬號中隨機訪問 1000 人, 結果有 480 人贊成甲候選人,520 人贊成甲候選人, 試推算兩 位市長候選人之得票率有無差異 ( 1) 得票率 ( 1) 得票率 甲 : p1=480/1000=0.48 甲 : p1=480/1000=0.48 乙 : p2=520/1000=0.52 乙 : p2=520/1000=0.52 (2) 得票率估計誤差值 (2) 得票率估計誤差值 為安全起見, 在估算估計值 ( 得票率 p) 之變 方時, 當取 p=0.5, 可得族群最大變方為 為安全起見, 在估算估計值 ( 得票率 p) 之變 方時, 當取 p=0.5, 可得族群最大變方為 V(p)=pq/n=0.5x0.5/1000= V(p)=pq/n=0.5x0.5/1000= 其抽樣誤差 (sampling error) 為 其抽樣誤差 (sampling error) 為 SE(p)= SE(p)=

在 95% 信賴水準下 ( ), 估計誤差值 (b) 為 b= b= (3) 95% 信賴區間 (3) 95% 信賴區間 甲 :( , ) 甲 :( , ) (0.448,0.512) (0.448,0.512) 乙 :( , ) 乙 :( , ) (0.488,0.552) (0.488,0.552)

結論 在乙候選人之 95% 信賴區間 (48.8%,55.2%) 中包括甲候選人之 得票率估計值上限 51.2%, 因此推斷 兩候選人之得票率沒有差別。 在乙候選人之 95% 信賴區間 (48.8%,55.2%) 中包括甲候選人之 得票率估計值上限 51.2%, 因此推斷 兩候選人之得票率沒有差別。 不過當調查人數 (n) 增加時, 其結論 就不一定相同了。 不過當調查人數 (n) 增加時, 其結論 就不一定相同了。

8.5 兩樣品均值差之推論 Inference of The Difference of Two Sample Means 一般從事試驗性研究，多會比較兩事物 ( 兩族群 ) 是否有差異，如 A 、 B 兩種藥品治療某疾病是否 有差別，或是兩種土壤 pH 值是否一樣等問題。 一般從事試驗性研究，多會比較兩事物 ( 兩族群 ) 是否有差異，如 A 、 B 兩種藥品治療某疾病是否 有差別，或是兩種土壤 pH 值是否一樣等問題。 而採用的方法是由兩事物中隨機抽取樣品，並 以兩樣品均值之差，經假設檢定程序以推論兩 事物是否有差異存在。 而採用的方法是由兩事物中隨機抽取樣品，並 以兩樣品均值之差，經假設檢定程序以推論兩 事物是否有差異存在。 我們不能單憑比較兩樣品均值的大小而下結論。 我們不能單憑比較兩樣品均值的大小而下結論。 關於如何進行假設檢定，我們先要瞭解兩樣品 均值差之分佈型態。 關於如何進行假設檢定，我們先要瞭解兩樣品 均值差之分佈型態。

8.5.2 兩樣品均值差之 Z 分佈 若兩樣品均值之分佈都為常態，則兩樣品均值 差之分佈亦為常態，因此可求得標準常態化值 Z 為： 若兩樣品均值之分佈都為常態，則兩樣品均值 差之分佈亦為常態，因此可求得標準常態化值 Z 為： 若兩族群之變方 相等，則上式可改寫成： 若兩族群之變方 相等，則上式可改寫成：

8.5.2 兩樣品均值差之 t 分佈 兩樣品均值差之 t 分佈 由於族群變方通常未知，因此以樣品均方 來代 替，即可得 t 值如下： 由於族群變方通常未知，因此以樣品均方 來代 替，即可得 t 值如下： 若兩族群之變方相等時，兩樣品均方可求得一 共同均方 ，則上式可改寫成： 若兩族群之變方相等時，兩樣品均方可求得一 共同均方 ，則上式可改寫成：

8.5.3 兩樣品均值差成對 t 檢定 (paired t test for two sample means) 當欲比較之兩樣品來自相同環境時，如每個試 驗單位可分前後期來比較，或者可分為兩個小 單位，以隨機安排兩處理 (treatment) 。 當欲比較之兩樣品來自相同環境時，如每個試 驗單位可分前後期來比較，或者可分為兩個小 單位，以隨機安排兩處理 (treatment) 。 則我們宜採用成對 t 檢定法。 則我們宜採用成對 t 檢定法。 例如比較同一株菸草，其上、下部葉片之尼古 丁含量是否有差別，我們可將上半部菸草及下 半部菸草當作兩個樣品，而且此兩樣品是成對 的，兩族群變方也是相同的。 例如比較同一株菸草，其上、下部葉片之尼古 丁含量是否有差別，我們可將上半部菸草及下 半部菸草當作兩個樣品，而且此兩樣品是成對 的，兩族群變方也是相同的。

(1) 虛無假設 (2) 對立假設 (3) 設定顯著水準 或 。 (4) 計算 t 值，首先求成對樣品觀測值之差 而 n 對觀測值差之總和為 其均值為 假設檢定程序 平方和為均方為 成對樣品均值差之均方為

故 t 值為 假設檢定程序 若實測 |t|> 值, 自由度為 ，顯著水準為 ， 表示兩族群均值有差異，反之則否。

成對 t 值檢定 (paired t test) 一. 自身配對： 如下圖為 A,B 兩種病毒分別接種於一片菸葉的兩邊, 以比較此菸草品種抗何 種病毒。 如下圖為 A,B 兩種病毒分別接種於一片菸葉的兩邊, 以比較此菸草品種抗何 種病毒。 同一試驗單位（如人、大型動物或植物）分成兩部位安排兩處理。 同一試驗單位（如人、大型動物或植物）分成兩部位安排兩處理。 同一試驗單位在前後不同時間安排兩處理 同一試驗單位在前後不同時間安排兩處理

透析前體重透析後體重 和 均值 例子 8.3 今欲比較洗腎病人透析前後之體重是 否不同,6 位病人腎臟透析前後體重如下表： 例子 8.3 今欲比較洗腎病人透析前後之體重是 否不同,6 位病人腎臟透析前後體重如下表：

t = > ，表示一般洗腎病人透析 後之體重會減輕。 透析前體重為一樣品, 透析後之體重為另一樣品, 兩樣品相對樣品點均來自同一人, 故以成對 t 值檢 定法先求兩樣品相對觀測值差之平方和為 透析前體重為一樣品, 透析後之體重為另一樣品, 兩樣品相對樣品點均來自同一人, 故以成對 t 值檢 定法先求兩樣品相對觀測值差之平方和為 自身配對

成對 t 值檢定 (paired t test) 二. 同源配對－安排兩處理之兩個試驗單位 二. 同源配對－安排兩處理之兩個試驗單位 （動物或植物）要同性質, 如種屬、同性 別、同年齡與相近體重。 （動物或植物）要同性質, 如種屬、同性 別、同年齡與相近體重。

【例】今有 A 、 B 兩營養食品品質比較, 每種食品 重複四次, 試驗材料為白老鼠, 每兩隻為不同時期 出生, 隨機安排兩食品, 飼養一段時間後之增重如 下 出 生 時 期 ( 週 ) 食品IⅡⅢⅣ和平均 A B

同源配對 (paired t test) 食品 ` ⅠⅡⅢⅣ和平均 A B A-B 兩食品間品質有差異, 以 B 食品為優

8.5.4 非成對 t 檢定 (unpaired t test) 當兩樣品並非成對得來，而是獨立取得時，則 宜採用非成對 t 檢定。 當兩樣品並非成對得來，而是獨立取得時，則 宜採用非成對 t 檢定。 安排兩處理之試驗單位應全為同質，並將試驗 單位完全隨機分成兩組。 安排兩處理之試驗單位應全為同質，並將試驗 單位完全隨機分成兩組。 試驗單位 n=20 第 1 組 (10) 第 2 組 (10) A 藥品 B 藥品 隨機分配 根據族群變方是否相等，而有不同的檢定式。 根據族群變方是否相等，而有不同的檢定式。

(1) 變方相等 ( ) 兩處理 ( 藥品、食品、療法、技術 ) 比較 非成對 t 值檢定 (unpaired t test) ( 兩獨立處理比較 ) ( 兩獨立處理比較 安排兩處理之試驗單位全為同質, 如下圖為 8 隻白老鼠同時出生, 每處理重複 4 次, 隨機安排兩 處理, 可得各處理有相同變方 ( 各處理隨機排列 )

編號 A 奶粉嬰兒增重 B 奶粉嬰兒增重 合計 平均 例子 8.4 假設有 A 、 B 兩種嬰兒奶粉， A 奶粉試 用 9 位初生男嬰， B 奶粉試用 10 位男嬰，則一 個月後兩組嬰兒增重情形如下，試比較兩種嬰 兒奶粉的增重效果是否有差異？ ( ) 例子 8.4 假設有 A 、 B 兩種嬰兒奶粉， A 奶粉試 用 9 位初生男嬰， B 奶粉試用 10 位男嬰，則一 個月後兩組嬰兒增重情形如下，試比較兩種嬰 兒奶粉的增重效果是否有差異？ ( )

(1)(2) (3) 設定顯著水準 ( 雙尾 ) (4) 計算 t 值，首先求兩獨立樣本之平方 和 ，故拒絕 H 0 的假設，表示 A 奶粉對嬰兒的增重效果較 B 奶粉 佳。 共同均方為

(2) 族群變方不等 ( )

雙尾檢定

單尾檢定

例 ：痛風病人與正常人血中尿酸濃度 之比較 資料 痛風病人 : 正常人 : 痛風病人正常人 樣品大小平均平方和均方 n 1 =10 : 9.17 : n 2 =8 :5.775 :

加權自由度

加權 t 值

[ 案例 ] 設今有 A 、 B 兩種藥品欲比較其對某種疾病 之療效，有 12 位病患自願參與試驗，試問如何 安排此試驗比較妥當？ 1. 每種藥品選擇兩位年齡體位相近的病人隨機安 排 A 、 B 兩藥品，採用同源配對試驗。 2. 將 12 位病患隨機分成兩組，每組 6 人，各安排 A 、 B 兩藥品，採用非成對 t 值試驗。 請問？你比較贊成那種試驗法，為什麼 人為雜種動物, 無法同源配對, 故採用非成對 t 值 測驗比較妥當。 思考題

8.6 樣品大小之決定 當兩族群變方已知, 且兩樣品大小 (n) 相同, 在顯著水準, 當兩族群變方已知, 且兩樣品大小 (n) 相同, 在顯著水準, 檢定力為 條件下, 樣品大小應多大, 才能測出兩族群 均值之差異, 其 n 之求法為 : 檢定力為 條件下, 樣品大小應多大, 才能測出兩族群 均值之差異, 其 n 之求法為 : 當

當族群變方未知時, 以樣品均方代替, 則 n 之計算公式 為

設今有 A,B 兩藥品各試驗 10 位病人, 服藥後測 定病人血液中之吸收總藥量如下 : 藥品 | | A | |701.5 A | |701.5 B | |784.4 B | |

若兩藥品被吸收總量之差的絕對值要達到 B 藥 品的 10%, 即, 而, 則, 設 故至少需要 49 人才有 80% 的檢定力以偵測出兩 族群平均值有 10% 的差異 故至少需要 49 人才有 80% 的檢定力以偵測出兩 族群平均值有 10% 的差異

8.7 二項分佈兩樣品均值差推論 當取得的樣品夠大時，二項分佈可呈近似常態分 佈，而二項分佈兩樣品均值差之分佈，亦為近似 常態分佈 當取得的樣品夠大時，二項分佈可呈近似常態分 佈，而二項分佈兩樣品均值差之分佈，亦為近似 常態分佈 (1) 虛無假設 (2) 對立假設 (3) 設定顯著水準 或 。 (4) 計算 Z 值

二項分布兩樣品均值差推論 二項分布兩樣品均值差推論 若 ，且 H 0 的假設成立，則其 p 之估值為 若 ，且 H 0 的假設成立，則其 p 之估值為 則 Z 值為 虛無假設對立假設

例子 8.7 某農藥商宣稱，其新的農藥產品比舊 產品之殺蟲效果高出 8% ，今將此農藥施用於 某昆蟲，其結果得如下記錄： 例子 8.7 某農藥商宣稱，其新的農藥產品比舊 產品之殺蟲效果高出 8% ，今將此農藥施用於 某昆蟲，其結果得如下記錄： 新產品舊產品合計 死蟲數活蟲數 合計死亡率

(1) 虛無假設 (2) 對立假設 (3) 設定顯著水準 。 (4) 計算 Z 值 ，則拒絕 H 0 的假設，表示新產品之殺 蟲效果比舊產品高出 8% 。 ，則拒絕 H 0 的假設，表示新產品之殺 蟲效果比舊產品高出 8% 。

(1) 虛無假設 (2) 對立假設 (3) 設定顯著水準 。 (4) 計算 Z 值 ，則拒絕 H 0 的假設，表示新產品之 殺蟲效果比舊產品好。 ，則拒絕 H 0 的假設，表示新產品之 殺蟲效果比舊產品好。 假設我們只要知道新產品是否比舊產品之殺蟲 效果好，而不一定要知道殺蟲率高多少。 假設我們只要知道新產品是否比舊產品之殺蟲 效果好，而不一定要知道殺蟲率高多少。

卜瓦松分布兩樣品比較 根據卜瓦松分布原理, 根據卜瓦松分布原理, 當, 之分布接近常態分布 當, 之分布接近常態分布 卜瓦松分布兩樣品比較公式為 卜瓦松分布兩樣品比較公式為

[ 例 8.10] 設今檢察 A,B 兩國小學童大便中有無蛔蟲, 分別得為 A 校為 8 人,B A 校為 15 人, A,B 兩國小學童 大便中有蛔蟲人數有無不同 實測 |Z|=1.4596< 1.96 實測 |Z|=1.4596< 1.96 故推論 A,B 兩國小學童大便中有蛔蟲人數相同 故推論 A,B 兩國小學童大便中有蛔蟲人數相同

(1) 單一樣品 t 檢定 (2) 兩樣品 非成對 t 檢定 (3) 兩樣品 成對 t 檢定

本章結束