空间图形与立体几何的 命题立意和解决方案 —— 2016 届高三数学复习备考的思考与建议

一. 对全国新课程卷的认识 ( 一 ) 新课程全国卷的使用情况 2004 年，广东、山东、海南、宁夏 率先试点使用新课程教材， 2007 年首次 进入新课标高考（其中海南、宁夏由教 育部考试中心统一命题）。湖南 07 年开 始使用新课程教材， 10 年进入新课标高 考，经过 10 多年自主命题后， 16 年湖南 将回归全国卷，版本不可知。

（二） 考纲要求 比较显示，《 2015 年普通高等学校招生全 国统一考试大纲》、《 2015 年普通高等学校 招生全国统一考试大纲的说明》、《 2015 年 普通高等学校招生全国统一考试湖南省考试 说明》文理科要求基本保持一致。 《全国考 试说明》未涉及的内容主要有： “ 会画某些建 筑物的视图与直观图 ” ．

（三）考点分布 年份全国卷 ( Ⅰ ) 湖南卷 13 年 理科： 6. 空间球的体积（考查球的 截面性质和体积计算） 8. 三视图体积（考查简单组 合体的三视图和体积） 文科： 11. 三视图体积（同理 8 ） 15. 球及其表面积（考查球 的截面性质及面积计算） 理科： 7. 三视图面 积 文科： 7. 三视图面 积

年份全国卷 ( Ⅰ ) 湖南卷 14 年 理科： 12. 三视图求棱长（考查 三视图与直观图，多面体 相关几何量的计算） 文科： 8. 三视图判几何体图形（ 考查三视图，判断多面体 形状） 理科： 7. 三视图球的 半径 文科： 7. 同理科

年份全国卷 ( Ⅰ ) 湖南卷 15 年 理科： 6. 锥的体积与估值（考查阅读 理解、锥的体积与估值计算） 11. 三视图与组合体体积（考查 三视图、组合体表面积计算） 文科： 6. 锥的体积与估值（同理科 6 ） 11. 三视图与组合体表面积（同 理科 11 题） 理科： 10. 三视图 与体积 文科： 10. 同理科

全国卷I解答题全国卷I解答题 考查直线与直 线（异面垂直 ）、直线与平 面的位置关系 及空间角（线 面角）的求法 。考查了空间 想象能力、推 理论证能力、 运算求解能力 以及转化与化 归能力 考察空间中 的线面关系 及其二面角 的求解，意 在考查空间 想象能力及 运算求解能 力 空间面面垂 直判定与性 质；异面直 线所成角的 计算；空间 想象能力， 推理论证能 力 2013 年 2014 年 2015 年

全 国 卷 22 四点共圆的判定 方法 ; 圆的有关 的几何性质、圆 内接四边形的性 质、等腰三角形 的性质。 四点共圆的判 定方法 ; 圆的有 关的几何性质 、圆内接四边 形的性质、等 腰三角形的性 质。 圆的切线判定 与性质；圆周 角定理；直角 三角形射影定 理 2013 年 2014 年 2015 年

考点分布的主要异同点： 1 ．全国卷对旋转体特别是球的问题经常考（一是考查球 的表面积、体积及距离等基本量的计算；二是考查球与多 面体的相切接，考查了学生的空间想象能力、推理论证能 力和运算求解能力），而湖南卷则 14 年之前连续几年较少 涉及，但 14 、 15 连续考到了． 2 ．在选填题中，全国卷和湖南卷近三年对空间位置关系 都未涉及． 3 ．在解答题中，全国卷 I 和湖南卷近三年对线面平行问题 都未涉及，解答题第一问基本上都是证明位置关系中的垂 直，第二问理科三年都是几何量 - 角的计算：线面角、二 面角、线线角，文科考查的是几何量体积、高和侧面积的 计算。同时我们也注意到全国卷文科近几年都没有考空间 的角，文理也没有出现折叠问题，探索性问题，存在性问 题，几何最值等等，但全国课标卷Ⅱ常考查平行问题。

（四）、试题特点 1. 题型结构 《立体几何》全国卷经常是 2 道小题（ 14 年 1 道） 1 道解答题，共 3 道题；湖南卷经常是 1 道小题、 1 道解答题，共 2 道题．《几何证明选讲》全国卷 为三选一的解答题，湖南理科卷为三选一的填空 题。 2. 分数比例 全国卷对立体几何考查的分值为 22 分，占全 卷分值约 15% ，湖南卷的分值为 17 分，占全卷分 值约 11% ．《几何证明选讲》全国卷 10 分，湖南 卷理科 5 分，文科不选。

3. 难度定位 全国卷对立体几何的考查难度相对稳定， 选择题、填空题难度为中等偏难，选择题基 本在后六题的位置，填空题基本在后二题的 位置（时而作为选择题压轴题，如 2014 年 理 12 、 2011 年文 16 、 2012 年及 2014 年理 11 、 2013 年及 2015 年文 11 ）；解答题属于中等 难度，且基本定位在前三题的位置． 湖南卷对立体几何的考查，选择题、填空题 难度相近，解答题难度稍大。 《几何证明选讲》全国卷明显比湖南卷难。

试题紧扣课程标准和考试说明，考查学生的空 间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行 交流的能力以及几何直观能力。达到了 “ 考基础 、考能力、考素质、考潜能 ” 的考试目标。命题 注重基础，回归教材，涉及考试说明中的大部分 知识点且多属于常规题型；在力求创新基础上， 注意试题的连续性和稳定性，如 2015 年立体几何 进行了一些微创新，与我国古代《九章算术》中 的著名题目相联系，有较大的反响。 二. 命题的特点与立意， 对数学教学的启示

立体几何、平面几何选讲部分相对简单， 更不可忽视，失分的代价更高。 加强学生的空间想象能力的培养。无论是 前几年常考的空间几何体的外接球或内切球的 问题，还是近年考到的三视图与直观图的转化 问题，都要求考生具备一定的空间想象能力， 而现在一方面学生生活阅历所限动手较少，另 一方面理科教学中若过多的使用向量作为工具 解决立体几何问题，都对学生空间想象能力的 培养有一定的负面效应，建议教师在立体几何 教学中加强几何法的教学力度，让学生得到充 分的锻炼。

1. 三视图是几何直观能力的载体，是考查的重 点，年年都考，以选择、填空题为主，也可能 在解答题中由三视图还原为直观图再考查定性 及定量问题，要特别注意视图的视角（图形的 放置）和母图（几何体的生成）问题。 2. 全国卷对旋转体特别是球的问题经常考. 一 是考查球的表面积、体积及距离等基本量的 计算；二是考查球与多面体的相切接，考查 了学生的空间想象能力、推理论证能力和运 算求解能力。

3. 文理科对平行与垂直（特别是垂直）的 判断与证明仍然是必考点。符号语言、图 形语言及文字语言的解读与相互转化，证 明过程如何规范、完整地使用数学语言表 述清楚，都应加强对学生的训练。 4. 空间向量的应用 6. 正确对待近几年命题中的 “ 高频点 ” 、 “ 低频点 ” 及 “ 连续几年不考点 ” 问题 5. 三选一之 “ 几何证明选讲 ”

三. 复习备考建议 1. 仔细研读课程标准与考试大纲 2. 加强集体备课，集思广益 3. 注重双基（三基）教学 4. 把握好教、学的主阵地 —— 课堂 5. 加强学法和解题技法指导，提升学 生数学素养和综合能力