Ch.1 控制系统的状态空 间描述

 控制理论主要是研究动态系统的系统分析、优化和综合等问 题。  所谓动态系统 ( 又称为动力学系统 ), 抽象来说是指能储存 输入信息 ( 或能量 ) 的系统。例如, 含有电感和电容等储存电能量的元件的电网络系统, 含有弹簧和质量体等通过位移运动来储存机械能量 的刚体力学系统, 存在热量和物料信息平衡关系的化工热力学系统等。

 这类系统与静态系统 ( 静力学系统 ) 的区别在于 : 静态系统的输出取决于当前系统的瞬时输入, 而动态 系统的输出取决于系统当前及过去的输入信息的影 响的叠加。 如, 电阻的电流直接等于当前的电压输入与电阻值之 比, 而电容两端的电压则是通过电容的当前及过去的 电流的积分值与电容值之比。

 在进行动态系统的分析和综合时, 首先应建立该系统的数学 模型, 它是我们进行系统分析、预报、优化及控制系统设计 的基础。  建立数学模型的主要方法有 : 机理分析建模。  按照系统的实际结构, 工作原理, 并通过某些决定 系统动态行为的物理定律、化学反应定律、社 会和经济发展规律, 以及  各种物料和能量的平衡关系等来建立系统模型。 实验建模 ( 系统辨识 ) 。  通过对系统的实验或实际运行过程中取得能反 映系统的动态行为的信息与数据, 用数学归纳处 理的方法来建立系统模型。

 建立动态系统数学模型的主要机理 / 依据有 :  电网络系统中回路和节点的电压和电流平衡关系, 电感和 电容等储能元件的电压和电流之间的动态关系.  机械动力学系统中的牛顿第二定律, 弹性体和阻尼体的力 与位移、速度间的关系. 对旋转运动, 则相应的为转矩、角位移和角速度.  化工热力学系统中的热量的传递与储存, 化工反应工程系 统中参加反应的物料的传递和平衡关系.  经济系统中的投入产出方程。

 值得指出的是, 不同建模目的, 采用不同数学工具和描述方式, 以及对模型精度的不同要求, 都会导致不同的数学模型。  因此, 一个实际的系统也可以用不同的数学模型去描述。  例如, 严格说来, 大多数实际系统的动力学模型都具有非线 性特性, 而且系统是以分布参数的形式存在。  当然过多考虑系统的各种复杂因素的简化和近似, 也必然 影响数学模型的精度, 以及模型在分析、综合和控制中的 应用效果。 因此, 一个合理的数学模型应是对其准确性和简化程 度作折中考虑, 它是在忽略次要因素, 在现实条件和可 能下, 在一定精度范围内的, 尽可能抓住主要因素, 并最 终落脚于实际应用的目标、条件 ( 工具 ) 与环境的结果。 模型并不是越精确越好、越复杂越好。

 传递函数是经典控制理论中描述系统动态特性的主要数学模 型, 它适用于 SISO 线性定常系统, 能便利地处理这一类系统的 瞬态响应分析或频率法的分析和设计。  但是, 对于 MIMO 系统、时变系统和非线性系统, 这种数学 模型就无能为力。  传递函数仅能反映系统输入与输出之间传递的线性动态 特性, 不能反映系统内部的动态变化特性。  因而是一种对系统的外部动态特性的描述, 这就使得它在 实际应用中受到很大的限制。

 现代控制理论是在引入状态和状态空间概念的基础上发展起 来的。  在用状态空间法分析系统时, 系统的动态特性是用由状态 变量构成的一阶微分方程组来描述的。  它能反映系统的全部独立变量的变化, 从而能同时确定系 统的全部内部运动状态, 而且还可以方便地处理初始条件。  因而, 状态空间模型反映了系统动态行为的全部信息, 是对 系统行为的一种完全描述。

 建立状态空间模型的关键在于状态变量的选取，它是建立状 态空间模型的前提  状态变量的主要选取办法 系统储能元件的输出 系统输出及其输出变量的各阶导数 上述状态变量的数学投影（使系统状态方程成为某种 标准形式的变量）

1. 刚体动力学系统的状态空间描述  下图表示由弹簧、质量体、阻尼器组成的刚体动力学系统的 物理模型.  试建立以外力 u(t) 为系统输入, 质量体位移 y(t) 为输出的状 态空间模型.

 解 对许多实际系统, 由于对系统的各种物理量的初始值或绝 对值难于了解, 一般将对物理量仅考虑在其相对于初始状况之 后的相对值。  对本例的刚体力学系统, 一般先假设在外力 u(t) 作用于小 车之前, 小车已处于平衡态。  下面仅考虑外力加入后, 对小车运动的影响. 系统的受力情况如下图所示.

2. 选择状态变量.  对机械动力学系统, 常常将位移、速度等选作状态变量.  对本例, 有 1. 应根据系统的内部机理列出各物理量 ( 如本例的力、位置和速 度 ) 所满足的关系式.  由牛顿第二定律有

4. 建立输出方程 y=x 1 5. 经整理, 可得如下矩阵形式的状态空间模型 3. 将状态变量代入运动方程

1. 系统的状态和状态变量  动态 ( 亦称动力学 ) 系统的 “ 状态 ” 这个词的字面意思就是指系 统过去、现在、将来的运动状况。  定义 : 动态系统的状态, 是指能够完全描述系统时间域动态行 为的一个最小变量组。  完全描述。即给定描述状态的变量组在初始时刻 (t=t 0 ) 的 值和初始时刻后 (t  t 0 ) 的输入, 则系统在任何瞬时 (t  t 0 ) 的 行为, 即系统的状态, 就可完全且唯一的确定。  动态时域行为。  最小变量组。即描述系统状态的变量组的各分量是相互 独立的。 减少变量, 描述不全。 增加则一定存在线性相关的变量, 冗余的变量, 毫无必 要。

 若要完全描述 n 阶系统, 则其最小变量组必须由 n 个变量 ( 即状 态变量 ) 所组成, 一般记这 n 个状态变量为 x 1 (t),x 2 (t), …,x n (t).  若以这 n 个状态变量为分量, 构成一个 n 维变量向量, 则称这 个向量为状态变量向量, 简称为状态向量, 并可表示如下 : 图 2-1 多输入多输出系统示意图

状态空间  状态变量与输出变量的关系  状态变量是能够完全描述系统内部动态特性行为的变量。  而输出变量是仅仅描述在系统分析和综合 ( 滤波、优化与 控制等 ) 时所关心的系统外在表现的动态特性, 并非系统的 全部动态特性。  因此, 状态变量比输出变量更能全面反映系统的内在变化 规律。 可以说输出变量仅仅是状态变量的外部表现, 是状态 变量的输出空间的投影, 一个子集。 输出 空间 空间映射 x y

2. 系统的状态空间  若以 n 个状态变量 x 1 (t),x 2 (t),…,x n (t) 为坐标轴, 就可构成一个 n 维欧氏空 间, 并称为 n 维状态空间, 记为 R n.  状态向量的端点在状态空间中的位 置, 代表系统在某一时刻的运动状 态。  随着时间的推移, 状态不断地变化,t  t 0 各瞬时的状态在状 态空间构成一条轨迹, 它称为状态轨线。  状态轨线如图 2-2 所示。 图 2-2 二维空间的状态轨线

2.1.2 系统的状态空间模型  状态空间模型是应用状态空间分析法对动态系统所建立的一 种数学模型, 它是应用现代控制理论对系统进行分析和综合的 基础。  状态空间模型由 描述系统的动态特性行为的状态方程和 描述系统输出变量与状态变量间的变换关系的输出 方程 所组成。

建立输出方程 y=x 1 可得如下矩阵形式的状态空间模型 运动方程

 由上述例子, 可总结出状态空间模型的形式为 其中 x 为 n 维的状态向量 ; u 为 r 维的输入向量 ; y 为 m 维的输出向量 ; A 为 n  n 维的系统矩阵 ; B 为 n  r 维的输入矩阵 ; C 为 m  n 维的输出矩阵 ; D 为 m  r 维的直联矩阵 ( 前馈矩阵, 直接转移矩阵 ) 。

 对前面引入的状态空间模型的意义, 有如下讨论 :  状态方程描述的是系统动态特性, 其决定系统状态变量的动态变化。  输出方程描述的是输出与系统内部的状态变量的关系。  系统矩阵 A 表示系统内部各状态变量之间的关联情况, 它主要决定系统的动态特性。  输入矩阵 B 又称为控制矩阵, 它表示输入对状态变量变化的影响。  输出矩阵 C 反映状态变量与输出间的作用关系。  直联矩阵 D 则表示了输入对输出的直接影响, 许多系统不 存在这种直联关系, 即直联矩阵 D=0 。

 为简便, 常将线性时变系统的状态空间模型简记为  (A(t),B(t),C(t),D(t)).  类似地, 线性定常系统的状态空间模型亦可简记为  (A,B,C,D).  几种简记符的意义 :