第九章 对应分析  §9.1 引言  §9.2 行轮廓和列轮廓  §9.3 独立性的检验和总惯量  §9.4 行、列轮廓的坐标  §9.5 对应分析图 1

§9.1 引言  对应分析（ correspondence analysis ）是用于寻找列联表的行 和列之间关联的一种低维图形表示法，它同时可以揭示同一 分类变量的各个类别之间的差异。  对应分析是由法国人 Benzecri 于 1970 年提出的，起初在法国 和日本最为流行，然后引入到美国。  在对应分析中，列联表的每一行对应（最常是二维）图中的 一点，每一列也对应同一图中的一点。该图形方法特别适用 于有许多类别的列联表，它能有效地用直观、简洁的图形来 描述庞杂的列联表数据中所蕴含的对应关系。  由于列联表中行变量和列变量的地位是对称的，所以对应分 析方法本身及其所得结论对于行和列也是对称的。 2

§9.2 行轮廓和列轮廓  一、列联表  二、对应矩阵  三、行、列轮廓 3

一、列联表 列 12 ⋯ q 合 计 行 1n 11 n 12 ⋯ n1qn1q n 1∙ 2n 21 n 22 ⋯ n2qn2q n 2∙ ⋮⋮⋮⋮⋮ pnp1np1 n p 2 ⋯ n pq np∙np∙ 合 计 n ∙1 n ∙2 ⋯ n∙qn∙q n 表 p × q 列联表 4

二、对应矩阵 这里， 。 显然有 。 列 12q 合 计 行 1p 11 p 12 p1qp1q p 1∙ 2p 21 p 22 p2qp2q p 2∙ ppp1pp1 p p 2 p pq pp∙pp∙ 合 计 p ∙1 p ∙2 p∙qp∙q 1 表 对应矩阵 5

 称 为对应矩阵。将对应矩阵表中的 最后一列用 r 表示，即 其中 是元素均为 1 的 q 维向量，最后一行 用 表示，即 其中 是元素均为 1 的 p 维向量，向量 r 和 c 的元素有时称为行和列密度（ masses ）。 6

三、行、列轮廓  第 i 行轮廓（ profile ） ： 其各元素之和等于 1 ，即 。  第 j 列轮廓： 其各元素之和等于 1 ，即 。 7

行轮廓矩阵 其中 。 8

列轮廓矩阵 其中 。 9

可见， r 可以表示成各列轮廓的加权平均。类似地， 即 可以表示成各行轮廓的加权平均。 10

 例 将由 n=1660 个人组成的样本按心理健康状 况与父母社会经济地位进行交叉分类，分类结果见 表 。 表 心理健康状况 - 父母社会经济状况数据 父母社会 经济地位 A （高） BCD E （低） 心理健康 状况 0 （好） （轻微症状形成） （中等症状形成） （受损）

 表 给出的行密度和列密度向量为 表 从表 算得的对应矩阵 父母社会 经济状况 A （高） BCD E （低）合 计 心理健康 状况 0 （好） （轻微症状形成） （中等症状形成） （受损） 合 计

行轮廓矩阵为 列轮廓矩阵为 13

两个马赛克图 对心理健康的每一种状况， A,B,C,D,E 五个小方块的宽度显 示了行轮廓， 0,1,2,3 四种心理健康状况的小方块高度显示了 行密度。 14

对父母社会经济的每一种地位， 0,1,2,3 四个小方块 的高度显示了列轮廓， A,B,C,D,E 五种父母社会经济 地位的小方块宽度显示了列密度。 15

§9.3 独立性的检验和总惯量  一、行、列独立的检验  二、总惯量 16

一、行、列独立的检验  在列联表中，检验行变量和列变量相互独立假设的 统计量为  当独立性的原假设为真，且样本容量 n 充分大，期望 频数 时，  拒绝规则为 若 ，则拒绝独立性的原假设 17

 χ 2 值取决于 n 和 这两部分， 越大，表明实际频率 p ij 与独立假设下的期望频率 p i pj 总体上 差异越大，也就认为样本数据越是偏离行、列变量相互独立 的情形，从而越应拒绝独立性的原假设； n 越大，表明样本 所含的信息越多，越易检测出对原假设的偏离。  如果表 的列联表中有些单元格的频数很小或为零，上述 的 χ 2 近似就不会很令人满意，在这种情况下可借助于对应分 析将一些具有相近行轮廓（或列轮廓）的类别合并以增加单 元格的频数。 18

二、总惯量   总惯量可作为行、列变量之间关联性的度量。  例 例 中， χ 2 =45.594>21.026= 故拒绝心理健康状况与父母社会经济地位相互独立 的原假设（ p=8.15×10 -6 ）。 19

 总惯量还可以行轮廓和列轮廓的形式表达如下： 其中 称为第 i 行轮廓 r i 到行轮廓中心 c 的卡方（ χ 2 ）距离，它可看作 是一个权数为的加权平方欧氏距离。 20

 同样， 是第 j 列轮廓 c j 到列轮廓中心 r 的卡方距离。  故总惯量可看成是行轮廓到其中心的卡方距离的加 权平均，也可看成是列轮廓到其中心的卡方距离的 加权平均。它既度量了行轮廓之间的总变差，也度 量了列轮廓之间的总变差。  由此可见，行和列之间的关联性越强，行（列）轮 廓之间的差异性就越大；反之亦然。 21

总惯量为零的等价情形  总惯量为零与以下三种情形的任一种等价： (1) ，或表示 为 ； (2) 所有的行轮廓相等，即 ； (3) 所有的列轮廓相等，即 。  所以，如果行变量与列变量相互独立，则我们可以 期望（由样本数据构成的）列联表中所有的行有相 近的轮廓，所有的列亦有相近的轮廓。 22

总惯量的分解  对 P - rc′ 构造标准化矩阵 其元素为 记 k=rank(Z) ，有 k≤min(p - 1,q - 1) ，因为 23

 对 Z 进行奇异值分解，得 其中 U=(u 1,u 2, ⋯,u k ),V=(v 1,v 2, ⋯,v k ), Λ=diag(λ 1,λ 2, ⋯, λ k ) ，这里 u 1,u 2, ⋯,u k 是一组 p 维正交单位向量， v 1,v 2, ⋯,v k 是一组 q 维正交单位向量，即有 U′U=V′V=I ， λ 1,λ 2, ⋯,λ k 是 Z 的 k 个奇异值。于是， 是 ZZ′ 的正特征值。因此 24

§9.4 行、列轮廓的坐标  其中 上式常被称为广义奇异值分解。由于 U′U=V′V=I ，从而  显然， A 和 B 都是列满秩的，故 a 1,a 2, ⋯,a k 是一组线性无关的 p 维向量，而 b 1,b 2, ⋯,b k 是一组线性无关的 q 维向量。 25

 将行轮廓矩阵 R 中心化（即每一行减去 ），得 其中  上式也可表达为 即中心化的第 i 行轮廓在由 b 1,b 2, ⋯,b k 构成的坐标系中 的坐标为 (x i1,x i2, ⋯,x ik ), i=1,2, ⋯,p 。  类似地，将列轮廓矩阵 C 中心化 ( 即每一列减去 r), 得 其中 26

 上式亦可表达为 即中心化的第 j 列轮廓在由 a 1,a 2, ⋯,a k 构成的坐标系中 的坐标为 (y j1,y j2, ⋯,y jk ), j=1,2, ⋯,q 。  从而 27

 即各行点在坐标轴 b i 上坐标的加权平均值为 0 ， i=1,2, ⋯,k 。同 理可得 即各列点在坐标轴 a i 上坐标的加权平均值也为 0 ， i=1,2, ⋯,k 。  由关系式 知 28

即有 于是  即各行点和列点在第 i 坐标轴上的坐标平方的加权平均都等于 ，称之为第 i 主惯量或第 i 惯量， i=1,2, ⋯,k 。主惯量度量 了在每一坐标轴上的变差，类似于主成分的方差。  总惯量可以分解为各主惯量之和，这类似于主成分分析中总 方差可分解为各主成分方差之和。  各行点和各列点在每一坐标轴上的中心都是 0 ，且变差程度 （即主惯量）相同。因此，我们作图时可方便地将行点和列 点置于同一个坐标系中，并使用同一坐标刻度。 29

§9.5 对应分析图  一、行、列轮廓的逼近  二、行（列）点之间的距离  三、行点和列点相近的意涵 30

一、行、列轮廓的逼近  P - rc′ 的降秩到 2 的最优逼近为 于是 其中 ， B 1 =( b 1, b 2 ) 。 X 1 是由 X 的前 2 列 构成的，即 31

故 X 1 的第 i 行 (x i1, x i2 ) 是中心化的第 i 行轮廓 在由 b 1 和 b 2 构成的平面坐标系中的坐标， i=1,2, ⋯,p 。  类似地， 其中 。 Y 1 是由 Y 的前 2 列构成的，即 32

故 Y 1 的第 j 行 (y j1, y j2 ) 是中心化的第 j 列轮廓 c j −r 在由 a 1 和 a 2 构成的平面坐标系中的坐标， j=1,2, ⋯,q 。  将上述两个平面坐标系重叠在一个坐标系中， b 1 和 a 1 重叠在第一维坐标轴上，具有同一主惯量 ，其 对总惯量的贡献率为 。 b 2 和 a 2 重叠在第二维 坐标轴上，具有同一主惯量 ，其对总惯量的贡献 率为 。  前二维对总惯量的累计贡献率为 ， 该值如很大，则说明所作的对应分析图几乎解释了 列联表数据的所有变差。 33

二、行（列）点之间的距离  在累计贡献率 足够大的对应分析图中，第 i 个 行点 (x i1, x i2 ) 与第 j 个行点 (x j1, x j2 ) 之间的平方欧氏距离  类似地，第 i 个列点 (y i1, y i2 ) 与第 j 个列点 (y j1, y j2 ) 之间的平方欧 氏距离 34

 可见，如果两个行（列）点接近，则表明相应的两 个行（列）轮廓是类似的；反之，如果两个行（列 ）点远离，则表明相应的两个行（列）轮廓是非常 不同的。  此外，对应分析图中行（列）点的方位是富有意义 的，而行点与列点之间的距离并没有意义。 35

三、行点和列点相近的意涵  如果对应分析图上第 i 个行点和第 j 个列点相近，即有  则在 足够大的条件下，近似地有  如果一个行点和一个列点相近，则表明行、列两个变量的相 应类别组合发生的频数一般会高于这两个变量相互独立情形 下的期望值，也就意味着该行类别与该列类别相关联。 36

  分别是第 j 个行点和列点对总惯量的 贡献。可见，行（列）点离坐标原点越近（远），其对总惯 量的贡献就倾向于越小（大）。 表 行（或列）轮廓都相同的数据 列变量 ABCD 合计 行变量 合计

 一般来说，对于相近的行点和列点，它们离原点越远，说明 关联倾向越明显。  例 在例 中，经计算，奇异值、主惯性以及贡献率 等的计算结果列于表 中。总惯量的 94.75% 可由第一维来 解释，前二维解释了高达 99.76% 的总惯量，几乎解释了列联 表数据的所有变差。 表 奇异值、主惯量以及贡献率 维数 123 奇异值 总值 主惯量 贡献率 累计贡献率

行点和列点的前二维坐标矩阵为 将各行点和列点置于同一坐标系中，构成对应分析 图，如下图所示。 39

图 心理健康状况 - 父母社会经济地位数据的对应分析图 40

表 行点和列点靠近的分类组合频数及行、列独立情形下的频数期望值 父母社会 经济地位 A （高） BCD E （低） 心理健康状况 0 （好） 121 （ 93.8 ） （轻微症状形成） （ ） 141 （ ） （中等症状形成） （ 62.6 ） （受损） （ 62.1 ） 71 （ 50.9 ） 41

 例 表 中的数据来源于奶酪品尝的实验， 实验记录了九种不同响应和四种不同奶酪添加剂的 交叉频数。九种不同的响应是从最不喜欢到最喜欢 ，品尝者依次打分为 1,2, ⋯,9 ，四种不同的奶酪添加 剂分别为 A,B,C,D 。 42

编号奶酪添加剂响应频数编号奶酪添加剂响应频数 1A1019C11 2A2020C21 3A3121C36 4A4722C48 5A5823C5 6A6824C67 7A71925C75 8A8826C81 9A9127C90 10B1628D10 11B2929D20 12B3 30D30 13B41131D41 14B5732D53 15B6633D67 16B7134D714 17B8035D816 18B9036D911 表 奶酪品尝的实验数据 43

(1) 奶酪添加剂轮廓及密度 (2) 响应轮廓及密度 图 奶酪添加剂 - 响应数据的轮廓及密度 44

图 奇异值、主惯量、贡献率以及行、列点的坐标 45

图 奶酪添加剂 - 响应数据的对应分析图 46

图 奶酪添加剂 - 响应数据的三维对应分析图 47

响应 奶酪添加剂 A (7) 19 (9.75) 8 1 B 6 (1.75) 9 (2.5) 12 (4.75) C (6.75) 23 (10.25) D (6.25) 11 (3) 表 类别组合的实际频数及行、列独立情形下的期望频数 48