Chapter 6 Simple Statically Indeterminate Problems 第六章 简单的超静定问题

1. 静定问题（ statically determinate problems) —— 对于构件仅用静力平衡方程就能求出全部未 知力，这类问题称为静定问题. 实质：未知力的数目等于静力平衡方程的数目。 2. 超静定问题（ statically indeterminate problems) —— 对于构件仅用静力平衡方程不能求出全部未 知力。又称超静定问题。 实质：未知力的数目多于静力平衡方程的数目。

3. 超静定次数 3. 超静定次数 未知力： 4 个 平衡方程： 2 个 超静定次数 = 4 － 2 = 2 此结构为 2 次超静定结构 ○ ○ ○ 超静定次数 = 未知力个数 - 独立平衡 方程个数 ○ ○

4. 多余约束 : -- 结构保持静定所需约束之外的约束。 D BC A P D B A P 多于约束的数量等与超静定次数，多于约 束构件是不确定的 (+)

二. 超静定问题的解法： 二. 超静定问题的解法： 1. 判断超静定次数：去掉多余约束，画上相应 约束反力 — 建立基本静定系。 1. 判断超静定次数：去掉多余约束，画上相应 约束反力 — 建立基本静定系。 2. 列平衡方程 : 在已知主动力，未知约束反力 及多余约束反力共同作用下。 2. 列平衡方程 : 在已知主动力，未知约束反力 及多余约束反力共同作用下。 3. 列几何方程：反映各杆变形之间的关系，需 要具体问题具体分析，各力独立作用产生的位 移与其共同作用产生的位移之间的关系。 3. 列几何方程：反映各杆变形之间的关系，需 要具体问题具体分析，各力独立作用产生的位 移与其共同作用产生的位移之间的关系。 4. 列物理方程：虎克定律 --- 变形与力的关系。 4. 列物理方程：虎克定律 --- 变形与力的关系。 5. 组成补充方程：物理方程代入几何方程即得。 5. 组成补充方程：物理方程代入几何方程即得。 三.超静定问题的特点： 1. 温度能产生应力。 2. 装配能产生应力。 1. 温度能产生应力。 2. 装配能产生应力。

I. 拉压超静定问题解法

例题 6-1 两端固定的等直杆 AB, 在 C 处承受轴 向力 F, 杆的俩与刚度为 EA, 试求杆的支反力。 1. 超静定 1 次 2. 平衡方程 F B -F-F A =0 3. 几何方程 △ BF - △ BB =0 4. 物理方程 △ BF =Fa/EA △ BB =F B L/EA F A B C a b L F A B CF A B CF A B C △ BB △ BF = + FAFA FBFB 5. 补充方程 Fa/EA- F B L/EA=0 得： F B =Fa/ L, F A =- Fb/L 解解：解解：

例题 6-2 已知： E 1 A 1,E 2 A 2 = E 3 A 3, l 1, l 2 = l 3 求：各杆轴力 y x P N1N1 N3N3 N2N2 P E 2 A 2 l 2 E 3 A 3 l 3 =E 2 A 2 l 2 E 1 A 1 l 1 A BCD 解： 1. 判断：一次 超 静定。

2. 列平衡方程 P y x N1N1 N3N3 N2N2 ∑Y=0, N 1 ＋ N 2 cosα ＋ N 3 cos α － P = 0 N 1 ＋ 2N 2 cosα － P = 0 ⑵ N 2 = N 3 ⑴ ∑X=0, － N 2 sinα ＋ N 3 sinα=0

P  l1 l1  l3 l3  l2 l2 3. 列几何方程： E 2 A 2 l 2 E 3 A 3 l 3 =E 2 A 2 l 2 E 1 A 1 l 1 A BCD A´

4. 列物理方程 5. 列补充方程 将物理方程代入几何方程得： ⑶

N 1 ＋ 2N 2 cosα － P = 0 ⑵ N 2 = N 3 ⑴ ⑶

联解⑴，⑵，⑶式，得 P A BCD ⑶ N 1 ＋ 2N 2 cosα － P = 0 ⑵

II. 超静定结构的特点 (2) ——— 温度应力 D BC A T °C A BD C超静定结构 —— ？ —— ？静定结构 —— 无温度应力 —— 无温度应力

⊿ l t =αl ⊿ t α －材料的线膨胀系数

III. 静不定结构的特点 (3) ——— 装配应力 BCD A BD A 超静定结构 —— ？ —— ？ 静定结构 —— 无装配应力 —— 无装配应力 ！

已知：三杆 EA 相同， 1 杆 制造误差 δ ，求装配内力 解题思路：因制造误差， 装配时各杆必须变形， 因此产生装配内力。 ⊿l1⊿l1 δ ○ A l α α ○○○ B C D ○ ⊿l2⊿l2 一次超静定问题。 平衡方程：内力不可任意假设。 几何方程： ⊿ l 1 ＋ ⊿ l 2 / cosα = δ 物理方程 ：虎克定律

1 杆伸长，只能是拉力， 2 ， 3 杆缩短, 应为压力。 ○ A N1N1 N2N2 N3N3 装配应力是不容忽视的，如： δ/l=0.001, E=200GPa, α=30°—— σ 1 = 113 MPa ， σ 2 = σ 3 = － 65.2 MPa ○ A N1N1 N2N2 N3N3 正确不正确

总结与思考 D BC A P 仅用静力平衡方程不能全部求解 1. 超静定问题： 原因：未知量数目多于有效平衡方 程数目 2. 解法： 关键：建立几何方程 建立物理方程 从而可得补充 方程

3. 特点 （ 1 ）内力按刚度比分配 （ 2 ）装配应力 （ 3 ）温度应力 4. 注意事项 : 正确判断超静定次数

---- 物理条件 ---- 几何条件 物理条件 ---- 确定多于约束个数

例题 6—7 梁 AC 如图 a 所示， B ， f 处分别为固定 铰支座和可动铰支座，梁的 A 端用一钢杆 AD 与梁 AC 铰接。在梁受荷载作用以前，杆 AD 内没有内 力。已知梁和拉杆用同样的钢材制成，材料的弹 性模量为 E ，梁横截面的惯性矩为 J ，拉杆横截面 的面积为 A ，其余尺寸见图 a 。试求钢杆 AD 内的 拉力 F 。

例 5-6 得

例题 6—8 弯曲刚度 EJ=5×10 6 N·m 的梁 如图 a 所示，试求梁的支反力，并绘梁的 剪力图和弯矩图。