运动的图象　追及与相遇问题

一、运动的图象 1．直线运动图象的意义 图象法是一种通过建立坐标系来表达物体运动规律的重要方法．形状类似的图象在不同的坐标系中表示的物理规律不同，因此，应用图象时，首先要看清纵、横坐标代表哪种物理量． 对直线运动的图象的认识应该做到： (1)能根据图象识别物体运动的性质； (2)能认识图象截距的意义；

(3)能认识图象斜率的意义； (4)能认识图象覆盖面积的意义； (5)能说出图线上任一点的状况． 2．位移—时间(s－t)图象 物体运动的s－t图象表示物体的位移随 时间变化的规律，与物体运动的轨迹 关系．右图中a、b、c三条 直线对应的s－t关系式分别为s＝ 、 s＝ 、s＝ ，都是 直线运动的 位移—时间图象．纵轴截距s0表示在t＝0时a在b 无任何直接 vat＋s0 匀速 vbt vc(t－t0)

；横轴截距t0表示c比b和a ；斜率表示运动 ，容易看出 ；交点P可反映出t时刻 . 3．速度—时间(v－t)图象 物体运动的v－t图象表示物体运动的速度随时间变化的规律，与物体运动的轨迹 关系． 前方s0处 晚出发t0时间 速度 vc>vb＝va c追上b 无任何直接

右图中a、b、c、d四条直线对应的 v－t关系式分别为va＝ 、 vb＝ 、vc＝ 、 vd＝ ，直线a是匀速 直线运动的速度图象，其余都是匀变速直线运动的速度图象．纵轴截距v0表示 ，横轴截距 tm表示 .斜率表示运动的 ，斜率为负者(如d)对应于 直线运动．图线下边覆盖的面积表示运动的 ．两图线的交点P可反映出在时刻t两个运动(c和d) ． 常数 v0＋at at v0－a′t b、d的初速度 d做匀减速直线运动到速度等于零需要的时间 加速度 匀减速 位移 有相同的速度

二、追及和相遇问题 1．追及和相遇问题概述 当两个物体在 运动时，由于两物体的运动情况不同，所以两物体之间的 会不断发生变化，两物体间距或越来越大或越来越小，这时就会涉及追及、相遇或避免碰撞等问题． 2．追及问题的两类情况 (1)速度大者减速(如匀减速直线运动)追速度小者(如匀速运动)： 同一直线上 距离

①当两者速度相等时，若追者位移仍小于被追者位移，则永远追不上，此时两者间有 距离． ②若两者位移相等，且两者速度相等时，则恰能追上，也是两者 的临界条件． ③若两者位移相等时，追者速度仍大于被追者的速度，则因追者是减速运动，被追者还有一次追上追者的机会，其间速度相等时两者间距离有一个 值． (2)速度小者加速(如初速度为零的匀加速直线运动)追速度大者(如匀速运动)： ①当两者速度相等时有 距离． ②若两者位移相等时，则追上． 最小 避免碰撞 最大 最大

3．相遇问题的常见情况 (1)同向运动的两物体追及即相遇． (2)相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体的距离时即相遇．

题型一：对运动图像的认识和理解

【解析】质点的速度有时取负值，即向x轴负方向运动，A错；质点运动过程中离原点的最大距离为v0t0，B错；质点最终静止时一定在x轴正方向，且离开原点的距离一定小于v0t0，C错D对．

【方法与知识感悟】处理图象问题要注意“五看”即： (1)看坐标．看清楚是什么物理量随什么物理量的变化． (2)看截距代表什么意义． (3)看斜率的物理意义． (4)看面积有什么物理意义． (5)看交点有什么物理意义

下面甲、乙两图以及下表是形状一样的图线在s－t图象与v－t图象中的比较．

s－t图 v－t图 ①表示物体做匀速直线运动(斜率表示速度v) ①表示物体做初速为零的匀加速直线运动(斜率表示加速度a) ②表示物体静止 ②表示物体做匀速直线运动 ③表示物体静止在原点O ③表示物体静止 ④表示物体向反方向做匀速直线运动；初位置为s0 ④表示物体做匀减速直线运动；初速度为v0 ⑤交点的纵坐标表示三个运动质点相遇时的位置 ⑤交点的纵坐标表示三个运动质点的共同速度 ⑥t1时间内物体位移为s1 ⑥t1时刻物体速度为v1(图中阴影部分面积表示质点在0～t1时间内的位移)

题型二：运用运动图象解答运动学问题 例2 原地起跳时，先屈腿下蹲，然后蹬地，从开始蹬地到离地是加速过程(视为匀加速)，加速过程中重心上升的距离称为“加速距离”，离地后重心继续上升，在此过程中重心上升的最大距离称为“竖直高度”．现有下列数据：人原地上跳的“加速距离”d1＝0.5 m，“竖直高度”h1＝1.0 m；跳蚤原地上跳的“加速距离”d2＝0.00080 m，“竖直高度”h2＝0.10 m．假想人具有与跳蚤相等的起跳加速度，而“加速距离”仍为0.50 m，则人跳的“竖直高度”是多少？

【思路点拨】弄清人和跳蚤原地起跳的运动过程，画出它们运动的v－t图像，从图像中找出d1、d2、h2、h对应是哪部分面积． 【解析】人和跳蚤原地起跳均是：先竖 直向上匀加速运动，再竖直向上匀减速 运动到速度为零．若人以跳蚤的起跳加 速度起跳，则整个过程的加速度与跳蚤 的相同．它们的v－t图象如图所示，图中折线OAB为跳蚤的v－t图象，折线ODE为人的v－t图象，其中ΔOAC

的面积为d2、ΔABC的面积为h2、ΔODF的面积为d1、ΔDEF的面积为h(所求量)．由相似三角形知识可得 ＝ ，解得h＝ h2＝62.5 m. 【方法与知识感悟】对于一些较复杂的运动学问题，采用v－t图象分析解答比较简便．解题的关键是： (1)能正确的分析物体的运动情况； (2)准确地画出其v－t图象； (3)能从图象中找出各物理量的关系，特别是图象与时间轴所围的面积表示位移．

题型三：追及与相遇问题 例3 甲车在前以15 m/s的速度匀速行驶，乙车在后以9 m/s的速度匀速行驶．当两车相距32 m时，甲车开始刹车，加速度大小为1 m/s2.问经多少时间乙车可追上甲车？

【方法与知识感悟(1)求解追及和相遇问题的基本思路 ①分别对两物体进行研究，画出运动过程示意图； ②列出位移方程； ③找出时间关系、速度关系、位移关系； ④解出结果，对结果进行必要的讨论．

(2)求解追及和相遇问题的方法 ①数学方法：根据两物体相遇时的位置坐标相同及两物的运动时间，求出各自的位移方程．再根据它们位移间的几何关系，建立两物的位移与运动时间之间的一元二次方程．然后利用根的判别式Δ＝b2－4ac满足的条件来讨论． ②物理方法：首先根据两物体相遇时的位置坐标相同及两物的运动时间，求出各自的位移方程．再根据两物位移的几何关系，建立出两物体的位移方程．然后由两物体在同一位置坐标处的速度大小关系讨论两物体能否追上、相遇或碰撞的条件． ③图象法：画出两物体的速度图象，利用图线下面所围面积即为物体运动的位移大小的特点解题．

1．如图所示为一质点作直 线运动的速度－时间图象， 下列说法中正确的是( ) A．整个过程中，CD段和 DE段的加速度最小 B．整个过程中，BC段的加速度最大 C．整个过程中，D点所表示的状态离出发点最远 D．BC段所表示的运动通过的路程是14 m C

*2.小球从空中自由下落，与水 平地面相碰后弹到空中某一高 度，其v－t图象如图所示，则 由图可知( ) A．小球下落的最大速度为5 m/s B．小球第一次反弹后瞬间速度的大小为3 m/s C．当地的重力加速度为10.0 m/s2 D．小球能弹起的最大高度为1.25 m ABC

3．如图所示，甲、乙、丙三物体从同一地点沿同一方向做直线运动，在t1时刻，三物体比较( ) ①v甲＝v乙＝v丙 ②x甲>x乙>x丙 ③a丙>a乙>a甲 ④甲丙之间距离最大 ⑤甲、乙、丙相遇 A．只有①②③正确 B．只有①②③④正确 C．只有②③④正确 D．全正确 B

*4.甲、乙两物体相距s，同时同向沿同一直线运动，乙在前面做初速度为零、加速度为a1的匀加速直线运动，甲在后做初速度为v0、加速度为a2的匀加速直线运动，则( ) A．若a1＝a2，则两物体可能相遇一次 B．若a1>a2，则两物体可能相遇两次 C．若a1<a2，则两物体可能相遇两次 D．若a1>a2，则两物体可能相遇一次，也可能不相遇 ABD

【巩固基础】 1．设物体运动的加速度为a、速度为v、位移为x.现有四个不同物体的运动图象如图所示，t＝0时刻物体的速度均为零，则其中物体做单向直线运动的图象是( ) C

【解析】A项位移正负交替，说明物体做往复运动，B项物体先做匀加速运动，再做匀减速运动，然后做反向匀加速运动，再做反向匀减速运动，周而复始；C项表示物体先做匀加速运动，再做匀减速运动，循环下去，物体始终单向运动，C正确，D项从面积判断物体速度有负值出现，不是单向运动．

*2.光滑水平面上静置质量为M的很薄的长木板，质量为m的可视为质点的滑块以初速度v0从木板一端开始沿木板运动．已知M>m，则从滑块开始运动后，滑块、木板运动的v－t图象可能是( ) AC

【解析】滑块相对长木板滑动时，在滑动摩擦力作用下，滑块作匀减速运动．长木板向同一方向作初速为0的匀加速直线运动，当两者速度相同时，不再有相对滑动，若此过程中，相对位移小于木板的长度，滑块和木板就以共同速度在水平面上做匀速直线运动．由于M>m，所以木板的加速度要小于滑块的加速度．A对，B错．若相对位移等于木板长度时，滑块的速度大于木板的速度，滑块就会脱离木板，两者以各自的速度在水平面上做匀速直线运动，又由于加速度的大小关系，决定了C对，D错．

3．甲、乙两质点在一直线上做匀加速直线运动的v－t图象如图所示，在3 s末两质点在途中相遇，两质点出发点间的距离是( ) A．甲在乙之前2 m B．乙在甲之前2 m C．乙在甲之前4 m D．甲在乙之前4 m D 【解析】由图象求出s乙＝6 m，s甲＝2 m，∴D对．

C

【提升能力】 5．2010年4月12日，亚丁湾 索马里海域六艘海盗快艇试 图靠近中国海军护航编队保 护的商船，中国特战队员发射爆震弹成功将其驱离．假如其中一艘海盗快艇在海面上运动的v－t图象如图所示，设运动过程中海盗快艇所受阻力不变．则下列说法正确的是( ) A．海盗快艇在0～66 s内从静止出发做加速度增大的加速直线运动 B

B．海盗快艇在96 s末开始调头逃离 C．海盗快艇在66 s末离商船最近 D．海盗快艇在96 s～116 s内做匀减速直线运动 【解析】在0～66 s内图象的斜率越来越小，加速度越来越小，故海盗快艇做加速度减小的加速运动，A错误；海盗快艇在96 s末，速度由正变负，即改变运动的方向，开始掉头逃跑，此时海盗快艇离商船最近，B正确，C错误；海盗快艇在96 s～116 s内，沿反方向做匀加速运动，D错误．

6．某运动员(可看作质点) 参加跳板跳水比赛， t＝0 为其离开跳板瞬间，其速 度与时间关系图象如图所示，则( ) A．t1时刻开始进入水面 B．t2时刻开始进入水面 C．t3时刻已浮出水面 D．t2至t3时间内，运动员处于失重状态 B

*7.汽车从甲地沿平直公路开到乙地时，刚好停止运动．它的速度－时间图象如图所示．在0～t0和t0～3t0两段时间内，汽车的( ) A．加速度大小之比为2∶1 B．位移大小之比为1∶2 C．平均速度大小之比为2∶1 D．平均速度大小之比为1∶1 ABD

*8.下列所给的质点位移图象和速度图象中能反映运动质点回到初始位置的是( ) AD

9．放在水平地面上的物块，受到方向不变的水平推力F的作用，F的大小与时间t的关系如图甲所示，物块速度v与时间t的关系如图乙所示．取重力加速度g＝10 m/s2.由此两图线可以得出( ) B A．物块的质量为1.5 kg B．t＝3 s时刻物块的加速度为2 m/s2 C．t＝3 s时刻物块的速度为3 m/s D．物块与地面之间的滑动摩擦力为1 N

10．A、B两辆汽车在笔直的公路上同向行驶．当B车在A车前84 m处时，B车速度为4 m/s，且正以2 m/s2的加速度做匀加速运动；经过一段时间后，B车加速度突然变为零．A车一直以20 m/s的速度做匀速运动．经过12 s后两车相遇．问B车加速行驶的时间是多少？

【再上台阶】 11．甲乙两运动员在训练交接棒的过程中发现：甲经短距离加速后能保持9 m/s的速度跑完全程；乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速的．为了确定乙起跑的时机，需在接力区前适当的位置设置标记．在某次练习中，甲在接力区前s0＝13.5 m处作了标记，并以v＝ 9 m/s的速度跑到此标记时向乙发出起跑口令．乙在接力区的前端听到口令时起跑，并恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，完成交接棒．已知接力区的长度为L＝20 m．求： (1)此次练习中乙在接棒前的加速度a； (2)在完成交接棒时乙离接力区末端的距离．