概率统计序言

一. 概率统计的研究对象 A. 太阳从东方升起； B.上抛物体一定下落； 确定性现象 C. 明天的最高温度； D. 新生婴儿的体重. 随机现象

在我们所生活的世界上， 充满了随机性 从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的机会游戏，到复杂的社会现象；从婴儿的出生，到世间万物的繁衍生息；从流星坠落，到大自然的千变万化……，我们无时无刻不面临着随机性. 概率统计的研究对象

二.概率统计的研究内容 随机现象是不是没有规律可言? 否！ 在一定条件下对随机现象进行大量观测会发现某种规律性. 随机现象的统计规律性

从表面上看，随机现象的每一次观察结果都是随机的，但多次观察某个随机现象，便可以发现，在大量的偶然之中存在着必然的规律 从表面上看，随机现象的每一次观察结果都是随机的，但多次观察某个随机现象，便可以发现，在大量的偶然之中存在着必然的规律. 这种随机现象所呈现出的固有规律性，称为随机现象的统计规律性. 概率统计的研究内容

三.概率统计的应用 天气预报 经济管理 保险金融 生物医药 …………

下面我们就来开始一门“将不定性数量化”的课程的学习，这就是 概率论与数理统计 概率论与数理统计 概率论与数理统计

第一章 随机事件及其概率

§1.1 随机事件及其运算 1.随机试验与样本空间 若它有如下特点,则称为随机试验,用E表示 可在相同的条件下重复进行 §1.1 随机事件及其运算 1.随机试验与样本空间 对某事物特征进行观察, 统称试验. 若它有如下特点,则称为随机试验,用E表示 可在相同的条件下重复进行 试验结果不止一个,但能明确所有的结果 试验前不能预知出现哪种结果

样本空间—— 随机试验E 所有可能的结果 组成的集合称为样本空间 记为 样本空间的元素, 即E 的直接结果, 称为 样本点(或基本事件) 常记为 ， = {} 随机事件 —— 的子集, 记为 A ,B ,… 它是满足某些条件的样本点所组成的集合.

例1 给出一组随机试验及相应的样本空间 有限样本空间 无限样本空间 投一枚硬币3次，观察正面出现的次数 观察总机每天9:00~10:00接到的电话次数 观察某地区每天的最高温度与最低温度 无限样本空间 其中T1,T2分别是该地区的最低与最高温度

基本事件 —— 仅由一个样本点组成的子集 它是随机试验的直接结果,每次试验必定发 生且只可能发生一个基本事件. 复合事件 ——由若干个基本事件组成的随 机事件. 必然事件——全体样本点组成的事件,记为, 每次试验必定发生的事件. 不可能事件——不包含任何样本点的事件, 记为 ,每次试验必定不发生的事件.

2.事件的关系和运算 随机事件的关系和运算 类同集合的关系和运算 文氏图 ( Venn diagram )  A

1. 事件的包含 —— A 包含于B  事件 A 发生必 导致事件 B 发生 B A 2. 事件的相等 且

3. 事件的并(和) 或  —— A 与B 的和事件 发生 事件 A与事件B 至 少有一个发生 的和事件 —— 的和事件 ——

4. 事件的交(积) 或 —— A 与B 的积事件 发生 事件 A与事件B 同时 发生 的积事件 —— 的积事件 ——

5. 事件的差 —— A 与B 的差事件 发生  事件 A 发生，但 事件 B 不发生

6. 事件的互斥(互不相容) A B —— A 与B 互斥 A、 B不可能同时发生 两两互斥 两两互斥

7. 事件的对立 每次试验 A、 B中有且只有一个发生 称B 为A的对立事件(或逆事件)， 记为 注意：“A 与B 互相对立”与

运算律 事件 运算 对应 集合 运算 吸收律 重余律 幂等律 差化积

交换律 结合律 分配律 反演律 运算顺序： 逆交并差，括号优先

例1 在图书馆中随意抽取一本书， 事件 表示数学书， 表示中文书， 表示平装书. 则 中文版的书都是非数学书 —— 抽取的是精装中文版数学书 例1 在图书馆中随意抽取一本书， 事件 表示数学书， 表示中文书， 表示平装书. 则 —— 抽取的是精装中文版数学书 —— 精装书都是中文书 —— 非数学书都是中文版的，且 中文版的书都是非数学书

例2 利用事件关系和运算表达多 个事件的关系 A ,B ,C 都不发生—— A ,B ,C 不都发生——

习题一

§1.2 随机事件的概率 ① 古典定义 ② 统计定义 ③ 公理化定义 历史上概率的三次定义 概率的最初定义 基于频率的定义 于1933年由前 §1.2 随机事件的概率 历史上概率的三次定义 ① 古典定义 概率的最初定义 ② 统计定义 基于频率的定义 ③ 公理化定义 于1933年由前 苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出

1. 频率与概率 设在 n 次试验中，事件 A 发生了m 次， 则称 为事件 A 发生的 频率

频率的性质 非负性 规范性 事件 A, B互斥，则 可加性 可推广到有限个两两互斥事件的和事件 稳定性 某一定数

频率稳定性的实例 投一枚硬币观察正面向上的次数 n = 4040, nH =2048, f n( H ) = 0.5069 皮尔逊投币 蒲丰投币 n = 4040, nH =2048, f n( H ) = 0.5069 皮尔逊投币 n = 12000, nH =6019, f n( H ) = 0.5016 n = 24000, nH =12012, f n( H ) = 0.5005

概率的统计定义 在相同条件下重复进行的 n 次试验 中, 事件 A 发生的频率稳定地在某一常数 p 附近摆动, 且随 n 越大摆动幅度越小, 则称 p 为事件 A 的概率, 记作 P(A). 对本定义的评价 优点：直观 易懂 缺点：粗糙 模糊 不便 使用

2. 古典概型 设 随机试验E 具有下列特点： 每个基本事件等可能性发生 则称 E 为 古典(等可能)概型 古典概型中概率的计算： 记 则 2. 古典概型 设 随机试验E 具有下列特点： 基本事件的个数有限 每个基本事件等可能性发生 则称 E 为 古典(等可能)概型 古典概型中概率的计算： 记 则 概率的古典定义

例 一颗骰子掷两次，求出现点数之和是8的概率 掷一颗骰子，有6个等可能的结果，掷两次 有6·6=36个等可能结果，设A 为点数之和是8， 有（2，6），（3，5），（4，4），（5，3）， （6，2）共5种情形。 答案：P(A)=5/36

例 把C、C、E、E、I、N、S七个字母分别写在七张同样的卡片上，并且将卡片放入同一盒中，现从盒中任意一张一张地将卡片取出，并将其按取到的顺序排成一列，有多大可能排列结果恰好拼成一个英文单词： 解：七个字母的排列总数为7！ 拼成英文单词SCIENCE 的情况数为 故该结果出现的概率为：

例 设有N件产品,其中有M件次品,现从这N件中任取n件,求其中恰有k件次品的概率. 解：令A={恰有k件次品} 超几何公式

例 （分房模型） 设有 k 个不同的球, 每个 球等可能地落入 N 个盒子中（ ）, 设 每个盒子容球数无限, 求下列事件的概率: （1）某指定的 k 个盒子中各有一球； （2）某指定的一个盒子恰有 m 个球( ) （3）恰有 k 个盒子中各有一球. 解

例 “分房模型”的应用 某班级有 n (n ≤365)个人，求n 个人的生日均不相同（设为事件A ) 的概率. 解 本问题中的人可被视为“球”， 365天为365只“盒子” n 个人的生日均不相同,相当于 每个盒子至多有一个球或恰有n 个盒子中各有一球.

3.几何概型 (古典概型的推广) 早在概率论发展初期，人们就认识到， 只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不够的. 3.几何概型 (古典概型的推广) 早在概率论发展初期，人们就认识到， 只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不够的. 把等可能推广到无限个样本点场合,人们引入了几何概型. 由此形成了确定概率的另一方法——几何概率.

几何方法的思路是： 1、设样本空间S是平面上某个区域，它的面积记为μ(S); S

S 2、向区域S上随机投掷一点， “随机投掷一点” 的含义是:

3、设事件A是S的某个区域，它的面积为 μ(A)，则向区域S上随机投掷一点，该点落在区域A的概率为

4、假如样本空间S可用一线段，或空间中某个区域表示，并且向S上随机投掷一点的含义如前述，则事件A的概率仍可用 确定，只不过把 理解为长度或体积即可.

几何概率 设样本空间为有限区域 , 若样本点 落入  内任何区域 G 中的概率与区域G 的测度成正比, 则样本点落入G内的概率 为

例 某人的表停了，他打开收音机听电台报时， 已知电台是整点报时的，问他等待报时的时 间短于十分钟的概率 10分钟 9点 10点

例 两船欲停靠同一个码头，设两船到达码 解 设船1 到达码头的时刻为 x ，0  x < 24 例 两船欲停靠同一个码头，设两船到达码 头的时间各不相干，而且到达码头的时间在 一昼夜内是等可能的. 如果两船到达码头后 需在码头停留的时间分别是1 小时与2 小 时， 试求在一昼夜内，任一船到达时，需 要等待 空出码头的概率. 解 设船1 到达码头的时刻为 x ，0  x < 24 船2 到达码头的时刻为 y ，0  y < 24 设事件 A 表示任一船到达码头时需要等待 空出码头

y = x x y 24 y = x + 1 y = x - 2

4. 概率的公理化定义 概率的公理化理论由前苏联数学家柯尔莫 哥洛夫1933年建立. 即通过规定概率应具备的基本性质来定义概率.

设  是随机试验E 的样本空间，若对于E 的每一事件 A ，都有一个实数P ( A )与之对应, 则称之为事件 A 的概率，只要满足下面的三条 公理： 非负性： 规范性： 可列可加性： 其中 为两两互斥事件，

由概率的三条公理，我们可以推导出概率的若干性质及公式. 下节课我们会详细介绍概率的一些简单性质.

思考练习

与第二问互为逆事件

23.口袋中a只黑球，b只白球． 随机地一只一只摸， 摸后不放回． 求第k次摸得黑球的概率． 解法1：把球编号，按摸的次序把球排成一列， 样本点总数就是a +b个球的全排列数 (a +b)! ． 所考察的事件相当于在第k 位放黑球，共有a种放法， 每种放法又对应其它a+b－1个球的(a+b－1)! 种放法, 故该事件包含的样本点数为a(a+b－1)!。 解法2：只考虑前k个位置：