概率统计序言.

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概率论与数理统计 §1.3 古典概型与几何概型. 本节主要内容  排列与组合公式  古典概型  几何概型 §1.3 事件的概率及性质.
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小结与复习( 4 ). 1 、内容小结 互斥事件互斥事件 不对立不对立 特点特点 ⑴ A 、 B 不能同时发生, A 发生必 然 B 不发生。 ⑵事件 A+B 是随机事件 概率概率 ,又若 A 1 , A 2 , … , A n 彼此互斥,则 对立对立 特点特点 ⑴ A 、 B 不能同时发生,但必有一.
概率论与数理统计 张剑 Q 概率论与数理统计 张剑 Q 2 : 概率论是一门研究客观世界随机现象数量 规律的数学分支学科. 数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、 整理和分析带有随机性的数据,以对所考 察的问题作出推断或预测,直至为采取一 定的决策和行动提供依据和建议的数学分 支学科.
概率统计( ZYH ) 1.3 古典概型与几何概型 一、古典概型 二、几何概型. 概率统计( ZYH ) 回忆 1.1 节的试验, E 1,E 3,E 4 有共同特性: 一、古典概型 ①(有限性)试验的样本空间 Ω 中仅含有限个样本点: ②(等可能性)每个基本事件 {ω i } 发生的可能性相同 :
山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人:程述汉 苏本堂 §1.3 古典概型 1. 古典概型  古典概型中事件概率的计算公式  古典概型的概率计算步骤  古典概型的概率计算举例.
1 概率论与数理统计第 3 讲 本讲义可在网址 或 ftp://math.shekou.com 下载.
§1.2 事件的概率 设在 n 次试验中,事件 A 发生了 m 次,则称 为事件 A 发生的频率. 频率 频率的性质 事件 A 、 B 互斥,则 可推广到有限个两两互斥事件的和事 件. 非负性 规范性 可加性 稳定性 某一定数    
一、 一阶线性微分方程及其解法 二、 一阶线性微分方程的简单应用 三、 小结及作业 §6.2 一阶线性微分方程.
2.8 函数的微分 1 微分的定义 2 微分的几何意义 3 微分公式与微分运算法则 4 微分在近似计算中的应用.
全微分 教学目的:全微分的有关概念和意义 教学重点:全微分的计算和应用 教学难点:全微分应用于近似计算.
§1.2 §1.2随机事件的概率 0≤P(A)≤1 用一个数来度量可能性的大小。这个 数应该是事件本身所固有的,可以在相同 的条件下通过大量的重复试验予以识别和 检验;可能性大的事件用较大的数来度量, 可能性小的事件用较小的数来度量。这个 用来度量可能性大小的数称为事件的概率, 用 P(A) 表示。
高二数学 选修 条件概率(一).
初中数学 九年级(上册) 4.2 等可能条件下的概率(一)(2).
概率论 与 数理统计 主讲人:孙 莉(信息学院)
复习: :对任意的x∈A,都有x∈B。 集合A与集合B间的关系 A(B) A B :存在x0∈A,但x0∈B。 A B A B.
第三章 概率 单元复习 第一课时.
古典概型习题课.
1.4 古典概型(等可能概型) 1.古典概型 2.典型例题 3. 小结.
第二节 古典概型 (等可能概型).
3.1.3 概率的基本性质 事件 的关系 和运算 概率的 几个基 本性质 南海中学分校高一备课组.
3.1.3 概率的基本性质.
6.6 单侧置信限 1、问题的引入 2、基本概念 3、典型例题 4、小结.
《高等数学》(理学) 常数项级数的概念 袁安锋
樣本空間與事件 餘事件:不在A中的樣本所構成的事件,即A′.
1.1.3四种命题的相互关系 高二数学 选修2-1 第一章 常用逻辑用语.
常用逻辑用语复习课 李娟.
概率论与数理统计 学年第二学期 任课教师:王传伟 单位:信息学院 办公室:文理大楼725室
概率论序言.
概 率 统 计 主讲教师 叶宏 山东大学数学院.
概率论与数理统计 (Probability and Statistics).
第5章 定积分及其应用 基本要求 5.1 定积分的概念与性质 5.2 微积分基本公式 5.3 定积分的换元积分法与分部积分法
第三节 格林公式及其应用(2) 一、曲线积分与路径无关的定义 二、曲线积分与路径无关的条件 三、二元函数的全微分的求积 四、小结.
2-7、函数的微分 教学要求 教学要点.
1.2 事件的频率与概率 一、事件的频率 二、概率的公理化体系 1.2 事件的频率与概率.
3.解:连续掷同一枚硬币4次的基本事件总数为 ,
第三章 多维随机变量及其分布 §2 边缘分布 边缘分布函数 边缘分布律 边缘概率密度.
2019年1月3日2时26分 概率论 Probability 江西财经大学 2017年 2019年1月3日2时26分.
§2 求导法则 2.1 求导数的四则运算法则 下面分三部分加以证明, 并同时给出相应的推论和例题 .
第三章 随机事件的概率.
概率论 Probability.
概 率 统 计 主讲教师 叶宏 山东大学数学院.
28.1 锐角三角函数(2) ——余弦、正切.
习题 一、概率论 1.已知随机事件A,B,C满足 在下列三种情况下,计算 (1)A,B,C相互独立 (2)A,B独立,A,C互不相容
数列.
抽样和抽样分布 基本计算 Sampling & Sampling distribution
实数与向量的积.
概 率 统 计 主讲教师 叶宏 山东大学数学院.
线 性 代 数 厦门大学线性代数教学组 2019年4月24日6时8分 / 45.
5.2 常用统计分布 一、常见分布 二、概率分布的分位数 三、小结.
几何概型.
复习.
正切函数的图象和性质 周期函数定义: 一般地,对于函数 (x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有
§6.7 子空间的直和 一、直和的定义 二、直和的判定 三、多个子空间的直和.
3.1.2 空间向量的数量积运算 1.了解空间向量夹角的概念及表示方法. 2.掌握空间向量数量积的计算方法及应用.
1.2 子集、补集、全集习题课.
1.设A和B是集合,证明:A=B当且仅当A∩B=A∪B
教师: 习长新 com 概率论与数理统计 教师: 习长新 com.
概 率 统 计 主讲教师 叶宏 山东大学数学院.
第一节 不定积分的概念与性质 一、原函数与不定积分的概念 二、不定积分的几何意义 三、基本积分表 四、不定积分的性质 五、小结 思考题.
2.2矩阵的代数运算.
上杭二中 曾庆华 上杭二中 曾庆华 上杭二中 曾庆华.
第15讲 特征值与特征向量的性质 主要内容:特征值与特征向量的性质.
第二节 函数的极限 一、函数极限的定义 二、函数极限的性质 三、小结 思考题.
高中数学必修 平面向量的基本定理.
《离散结构》 二元运算性质的判断 西安工程大学计算机科学学院 王爱丽.
用列举法求概率 (第二课时).
1.3 概率的定义及其运算 ? ? 从直观上来看,事件A的概率是指事件A发生的可能性 P(A)应具有何种性质?
第四节 向量的乘积 一、两向量的数量积 二、两向量的向量积.
第三节 数量积 向量积 混合积 一、向量的数量积 二、向量的向量积 三、向量的混合积 四、小结 思考题.
第3讲 概率论初步 3.1 概率 条件概率和加法公式 3.3 计数原则.
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概率统计序言

一. 概率统计的研究对象 A. 太阳从东方升起; B.上抛物体一定下落; 确定性现象 C. 明天的最高温度; D. 新生婴儿的体重. 随机现象

在我们所生活的世界上, 充满了随机性 从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的机会游戏,到复杂的社会现象;从婴儿的出生,到世间万物的繁衍生息;从流星坠落,到大自然的千变万化……,我们无时无刻不面临着随机性. 概率统计的研究对象

二.概率统计的研究内容 随机现象是不是没有规律可言? 否! 在一定条件下对随机现象进行大量观测会发现某种规律性. 随机现象的统计规律性

从表面上看,随机现象的每一次观察结果都是随机的,但多次观察某个随机现象,便可以发现,在大量的偶然之中存在着必然的规律 从表面上看,随机现象的每一次观察结果都是随机的,但多次观察某个随机现象,便可以发现,在大量的偶然之中存在着必然的规律. 这种随机现象所呈现出的固有规律性,称为随机现象的统计规律性. 概率统计的研究内容

三.概率统计的应用 天气预报 经济管理 保险金融 生物医药 …………

下面我们就来开始一门“将不定性数量化”的课程的学习,这就是 概率论与数理统计 概率论与数理统计 概率论与数理统计

第一章 随机事件及其概率

§1.1 随机事件及其运算 1.随机试验与样本空间 若它有如下特点,则称为随机试验,用E表示 可在相同的条件下重复进行 §1.1 随机事件及其运算 1.随机试验与样本空间 对某事物特征进行观察, 统称试验. 若它有如下特点,则称为随机试验,用E表示 可在相同的条件下重复进行 试验结果不止一个,但能明确所有的结果 试验前不能预知出现哪种结果

样本空间—— 随机试验E 所有可能的结果 组成的集合称为样本空间 记为 样本空间的元素, 即E 的直接结果, 称为 样本点(或基本事件) 常记为 , = {} 随机事件 —— 的子集, 记为 A ,B ,… 它是满足某些条件的样本点所组成的集合.

例1 给出一组随机试验及相应的样本空间 有限样本空间 无限样本空间 投一枚硬币3次,观察正面出现的次数 观察总机每天9:00~10:00接到的电话次数 观察某地区每天的最高温度与最低温度 无限样本空间 其中T1,T2分别是该地区的最低与最高温度

基本事件 —— 仅由一个样本点组成的子集 它是随机试验的直接结果,每次试验必定发 生且只可能发生一个基本事件. 复合事件 ——由若干个基本事件组成的随 机事件. 必然事件——全体样本点组成的事件,记为, 每次试验必定发生的事件. 不可能事件——不包含任何样本点的事件, 记为 ,每次试验必定不发生的事件.

2.事件的关系和运算 随机事件的关系和运算 类同集合的关系和运算 文氏图 ( Venn diagram )  A

1. 事件的包含 —— A 包含于B  事件 A 发生必 导致事件 B 发生 B A 2. 事件的相等 且

3. 事件的并(和) 或  —— A 与B 的和事件 发生 事件 A与事件B 至 少有一个发生 的和事件 —— 的和事件 ——

4. 事件的交(积) 或 —— A 与B 的积事件 发生 事件 A与事件B 同时 发生 的积事件 —— 的积事件 ——

5. 事件的差 —— A 与B 的差事件 发生  事件 A 发生,但 事件 B 不发生

6. 事件的互斥(互不相容) A B —— A 与B 互斥 A、 B不可能同时发生 两两互斥 两两互斥

7. 事件的对立 每次试验 A、 B中有且只有一个发生 称B 为A的对立事件(或逆事件), 记为 注意:“A 与B 互相对立”与

运算律 事件 运算 对应 集合 运算 吸收律 重余律 幂等律 差化积

交换律 结合律 分配律 反演律 运算顺序: 逆交并差,括号优先

例1 在图书馆中随意抽取一本书, 事件 表示数学书, 表示中文书, 表示平装书. 则 中文版的书都是非数学书 —— 抽取的是精装中文版数学书 例1 在图书馆中随意抽取一本书, 事件 表示数学书, 表示中文书, 表示平装书. 则 —— 抽取的是精装中文版数学书 —— 精装书都是中文书 —— 非数学书都是中文版的,且 中文版的书都是非数学书

例2 利用事件关系和运算表达多 个事件的关系 A ,B ,C 都不发生—— A ,B ,C 不都发生——

习题一

§1.2 随机事件的概率 ① 古典定义 ② 统计定义 ③ 公理化定义 历史上概率的三次定义 概率的最初定义 基于频率的定义 于1933年由前 §1.2 随机事件的概率 历史上概率的三次定义 ① 古典定义 概率的最初定义 ② 统计定义 基于频率的定义 ③ 公理化定义 于1933年由前 苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出

1. 频率与概率 设在 n 次试验中,事件 A 发生了m 次, 则称 为事件 A 发生的 频率

频率的性质 非负性 规范性 事件 A, B互斥,则 可加性 可推广到有限个两两互斥事件的和事件 稳定性 某一定数

频率稳定性的实例 投一枚硬币观察正面向上的次数 n = 4040, nH =2048, f n( H ) = 0.5069 皮尔逊投币 蒲丰投币 n = 4040, nH =2048, f n( H ) = 0.5069 皮尔逊投币 n = 12000, nH =6019, f n( H ) = 0.5016 n = 24000, nH =12012, f n( H ) = 0.5005

概率的统计定义 在相同条件下重复进行的 n 次试验 中, 事件 A 发生的频率稳定地在某一常数 p 附近摆动, 且随 n 越大摆动幅度越小, 则称 p 为事件 A 的概率, 记作 P(A). 对本定义的评价 优点:直观 易懂 缺点:粗糙 模糊 不便 使用

2. 古典概型 设 随机试验E 具有下列特点: 每个基本事件等可能性发生 则称 E 为 古典(等可能)概型 古典概型中概率的计算: 记 则 2. 古典概型 设 随机试验E 具有下列特点: 基本事件的个数有限 每个基本事件等可能性发生 则称 E 为 古典(等可能)概型 古典概型中概率的计算: 记 则 概率的古典定义

例 一颗骰子掷两次,求出现点数之和是8的概率 掷一颗骰子,有6个等可能的结果,掷两次 有6·6=36个等可能结果,设A 为点数之和是8, 有(2,6),(3,5),(4,4),(5,3), (6,2)共5种情形。 答案:P(A)=5/36

例 把C、C、E、E、I、N、S七个字母分别写在七张同样的卡片上,并且将卡片放入同一盒中,现从盒中任意一张一张地将卡片取出,并将其按取到的顺序排成一列,有多大可能排列结果恰好拼成一个英文单词: 解:七个字母的排列总数为7! 拼成英文单词SCIENCE 的情况数为 故该结果出现的概率为:

例 设有N件产品,其中有M件次品,现从这N件中任取n件,求其中恰有k件次品的概率. 解:令A={恰有k件次品} 超几何公式

例 (分房模型) 设有 k 个不同的球, 每个 球等可能地落入 N 个盒子中( ), 设 每个盒子容球数无限, 求下列事件的概率: (1)某指定的 k 个盒子中各有一球; (2)某指定的一个盒子恰有 m 个球( ) (3)恰有 k 个盒子中各有一球. 解

例 “分房模型”的应用 某班级有 n (n ≤365)个人,求n 个人的生日均不相同(设为事件A ) 的概率. 解 本问题中的人可被视为“球”, 365天为365只“盒子” n 个人的生日均不相同,相当于 每个盒子至多有一个球或恰有n 个盒子中各有一球.

3.几何概型 (古典概型的推广) 早在概率论发展初期,人们就认识到, 只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不够的. 3.几何概型 (古典概型的推广) 早在概率论发展初期,人们就认识到, 只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不够的. 把等可能推广到无限个样本点场合,人们引入了几何概型. 由此形成了确定概率的另一方法——几何概率.

几何方法的思路是: 1、设样本空间S是平面上某个区域,它的面积记为μ(S); S

S 2、向区域S上随机投掷一点, “随机投掷一点” 的含义是:

3、设事件A是S的某个区域,它的面积为 μ(A),则向区域S上随机投掷一点,该点落在区域A的概率为

4、假如样本空间S可用一线段,或空间中某个区域表示,并且向S上随机投掷一点的含义如前述,则事件A的概率仍可用 确定,只不过把 理解为长度或体积即可.

几何概率 设样本空间为有限区域 , 若样本点 落入  内任何区域 G 中的概率与区域G 的测度成正比, 则样本点落入G内的概率 为

例 某人的表停了,他打开收音机听电台报时, 已知电台是整点报时的,问他等待报时的时 间短于十分钟的概率 10分钟 9点 10点

例 两船欲停靠同一个码头,设两船到达码 解 设船1 到达码头的时刻为 x ,0  x < 24 例 两船欲停靠同一个码头,设两船到达码 头的时间各不相干,而且到达码头的时间在 一昼夜内是等可能的. 如果两船到达码头后 需在码头停留的时间分别是1 小时与2 小 时, 试求在一昼夜内,任一船到达时,需 要等待 空出码头的概率. 解 设船1 到达码头的时刻为 x ,0  x < 24 船2 到达码头的时刻为 y ,0  y < 24 设事件 A 表示任一船到达码头时需要等待 空出码头

y = x x y 24 y = x + 1 y = x - 2

4. 概率的公理化定义 概率的公理化理论由前苏联数学家柯尔莫 哥洛夫1933年建立. 即通过规定概率应具备的基本性质来定义概率.

设  是随机试验E 的样本空间,若对于E 的每一事件 A ,都有一个实数P ( A )与之对应, 则称之为事件 A 的概率,只要满足下面的三条 公理: 非负性: 规范性: 可列可加性: 其中 为两两互斥事件,

由概率的三条公理,我们可以推导出概率的若干性质及公式. 下节课我们会详细介绍概率的一些简单性质.

思考练习

与第二问互为逆事件

23.口袋中a只黑球,b只白球. 随机地一只一只摸, 摸后不放回. 求第k次摸得黑球的概率. 解法1:把球编号,按摸的次序把球排成一列, 样本点总数就是a +b个球的全排列数 (a +b)! . 所考察的事件相当于在第k 位放黑球,共有a种放法, 每种放法又对应其它a+b-1个球的(a+b-1)! 种放法, 故该事件包含的样本点数为a(a+b-1)!。 解法2:只考虑前k个位置: