7.1 假设检验 1. 假设检验的基本原理 2. 假设检验的相关概念 3. 假设检验的一般步骤 4. 典型例题 5. 小结
1.假设检验的基本原理 假设检验问题是统计推断的另一类重要问题. 在总体的分布函数完全未知或只知其形式、但不知其参数的情况下, 为了推断总体的某些性质, 提出某些关于总体的假设. 关于总体分布函数的形式或关于总体参数值得陈述叫作统计假设. 例如, 提出总体服从泊松分布的假设;
假设检验就是根据样本对所提出的假设作出判断: 是接受, 还是拒绝. 如何利用样本值对一个具体的假设进行检验? 通常借助于直观分析和理论分析相结合的做法,其基本原理就是人们在实际问题中经常采用的所谓实际推断原理:“一个小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的”. 处理假设检验要做两件事： 1）确定一个检验统计量，它的值决定于样本值； 2）确定一个拒绝域（临界域），它是检验统计量的值的集合. 下面结合实例来说明假设检验的基本思想.
实例 某车间用一台包装机包装葡萄糖, 包得的袋装糖重是一个随机变量, 它服从正态分布. 当机器正常时, 其均值为0. 5千克, 标准差为0 实例 某车间用一台包装机包装葡萄糖, 包得的袋装糖重是一个随机变量, 它服从正态分布.当机器正常时, 其均值为0.5千克, 标准差为0.015千克.某日开工后为检验包装机是否正常, 随机地抽取它所包装的糖9袋, 称得净重为(千克): 0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512, 问机器是否正常? 分析: 由长期实践可知, 标准差较稳定,
问题: 根据样本值判断 提出两个对立假设 再利用已知样本作出判断是接受假设 H0 ( 拒绝假设 H1 ) , 还是拒绝假设 H0 (接受假设 H1 ).如果作出的判断是接受 H0, 即认为机器工作是正常的, 否则, 认为是不正常的. 由于要检验的假设涉及总体均值, 故可借助于样本均值来判断. 于是可以选定一个适当的正数k,
由标准正态分布分位点的定义得 假设检验过程如下: 于是拒绝假设H0, 认为包装机工作不正常.
以上所采取的检验法是符合实际推断原理的.
2.假设检验的相关概念 (1). 显著性水平
(2) 检验统计量 (3) 原假设与备择假设 (4) 拒绝域与临界点 假设检验问题通常叙述为: (4) 拒绝域与临界点 当检验统计量取某个区域C中的值时, 我们拒绝原假设H0, 则称区域C为拒绝域, 拒绝域的边界点称为临界点. 如在前面实例中,
(5). 两类错误及记号 假设检验的依据是: 小概率事件在一次试验中很难发生, 但很难发生不等于不发生, 因而假设检验所作出的结论有可能是错误的. 这种错误有两类: 1) 当原假设H0为真, 观察值却落入拒绝域, 而作出了拒绝H0的判断, 称做第一类错误, 又叫弃真错误, 这类错误是“以真为假”. 犯第一类错误的概率是显著性水平 2) 当原假设 H0 不真, 而观察值却落入接受域, 而作出了接受 H0 的判断, 称做第二类错误, 又叫取伪错误, 这类错误是“以假为真”.
(6). 显著性检验 犯第二类错误的概率记为 当样本容量 n 一定时, 若减少犯第一类错误的概率, 则犯第二类错误的概率往往增大. 若要使犯两类错误的概率都减小, 除非增加样本容量. (6). 显著性检验 只对犯第一类错误的概率加以控制, 而不考虑犯第二类错误的概率的检验, 称为显著性检验.
(7) 双边备择假设与双边假设检验 (8) 右边检验与左边检验 右边检验与左边检验统称为单边检验.
(9) 单边检验的拒绝域 证明 1)右边检验
上式不等号成立的原因:
3. 假设检验的一般步骤 3). 确定检验统计量以及拒绝域形式;
4. 典型例题 例1
解 根据题意需要检验假设 这是右边检验问题, 即认为这批推进器的燃烧率较以往有显著提高.
例2 解
5. 小结 假设检验的基本原理、相关概念和一般步骤. 假设检验的两类错误 真实情况 (未知) 所 作 决 策 接受 H0 拒绝 H0 所 作 决 策 接受 H0 拒绝 H0 H0 为真 正确 犯第I类错误 H0 不真 犯第II类错误
思考 解