第四章 假设检验 第4.1节 假设检验的基本概念 第4.2节 正态总体均值与方差 的假设检验 第4.3节 非参数假设检验方法 第四章 假设检验 第4.1节 假设检验的基本概念 第4.2节 正态总体均值与方差 的假设检验 第4.3节 非参数假设检验方法 第4.4节 似然比检验

第4.1节 假设检验的基本概念 一、零假设与备选假设 二、检验规则 三、两类错误的概率和检验水平 四、势函数与无偏检验

0、假设检验的基本概念 1.什么是假设检验 在数理统计中，人们常常对总体分布中某些参数或 分布函数的形式提出某种假设，然后利用样本的有 关信息对所作假设的正确性进行推断，这类统计问 题称为假设检验 2. 假设检验的分类：假设检验可分为两大类： (1)参数的假设检验(Parametric test),当总体分布形 式已知，只对某些参数提出假设，进而做出的检验 称为参数假设检验.

(2)非参数假设检验 (Nonparametric test)。对分布假设做出的检验为非参数假设检验。 例如, 提出总体服从泊松分布的假设.

假设检验的基本原理 2. 基本思想方法 小概率事件(概率接近0的事件)，在一次试验中，实际上可认为不会发生. 小概率推断原理： 先提出假设H0 , 再根据一次抽样所得到的样本值进行计算. 若导致小概率事件发生，则否认假设H0 ; 否则，接受假设H0 . 采用概率性质的反证法： 下面结合实例来说明假设检验的基本思想.

例1 某厂有一批产品，共有200件，需检验合格才能出厂. 按国家标准，次品率不得超过3%. 今在其中随机地抽取10件，发现其中有2件次品，问：这批产品能否出厂? 分析： 从直观上分析，这批产品不能出厂. 因为抽样得到的次品率： 然而，由于样本的随机性，我们不能轻易下结论。但如何才能根据抽样结果判断总体(所有产品) 的次品率是否≤3%?

解 用假设检验法，步骤如下： 1º 提出假设 H0: 其中 p为总体的次品率. 2º 设 ={ 抽取的10件产品中的次品数 }

3º 在假设 H0成立的条件下，计算

4º 作判断 由于在假设 H0成立的条件下， 而实际情况是： 小概率事件竟然 在一次试验中发生了， 这违背了小概率原理，

是不合理的，故应该否定原假设H0 ，认为产品 的次品率 p >3% . 所以，这批产品不能出厂.

例 2 某车间用一台包装机包装葡萄糖, 包得的袋装糖重是一个随机变量, 它服从正态分布. 当机器正常时, 其均值为0. 5公斤, 标准差为0 例 2 某车间用一台包装机包装葡萄糖, 包得的袋装糖重是一个随机变量, 它服从正态分布.当机器正常时, 其均值为0.5公斤, 标准差为0.015公斤.某日开工后为检验包装机是否正常, 随机地抽取它所包装的糖9袋, 称得净重为(公斤): 0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512, 问机器是否正常? 分析:

由长期实践可知, 标准差较稳定, 问题: 根据样本值判断 提出两个对立假设 再利用已知样本作出判断是接受假设H0(拒绝假设H1), 还是拒绝假设H0(接受假设H1). 如果作出的判断是接受H0, 即认为机器工作是正常的, 否则, 认为是不正常的.

由于要检验的假设设计总体均值, 故可借助于样本均值来判断. 于是可以选定一个适当的正数k,

由标准正态分布分位点的定义得

假设检验过程如下: 于是拒绝假设H0, 认为包装机工作不正常.

以上所采取的检验法是符合实际推断原理的.

一、零假设与备选假设 1. 显著性水平

2. 检验统计量 3. 零假设与备选假设 假设检验问题通常叙述为:

注 ：对于一个具体问题，如何提出原假设及备选假设， 一般以保护原假设为基础, 提出原假设.

二、检验规则 1. 检验规则 在对问题作出假设以后,需要利用样本的观测值,根据一定的规则作出一种决策,是接受原假设还是拒绝原假设? 这种规则就称为检验规则, 例如 例2 中的检验规则为

2. 拒绝域与临界点 当检验统计量取某个区域C中的值时, 我们拒绝原假设H0, 则称区域C为拒绝域, 拒绝域的边界点称为临界点. 拒绝域一般用W来表示,即 如在前面实例中,

三、两类错误的概率和检验水平 1. 检验函数 由上述检验规则以及拒绝域, 我们可以定义如下检验函数,其实就是一个示性函数

2. 两类错误及记号 假设检验的依据是: 小概率事件在一次试验中很难发生, 但很难发生不等于不发生, 因而假设检验所作出的结论有可能是错误的. 这种错误有两类: (1) 当原假设H0为真, 观察值却落入拒绝域, 而作出了拒绝H0的判断, 称做第一类错误, 又叫弃真错误, 这类错误是“以真为假”. 犯第一类错误的概率是

(2) 当原假设H0不真, 而观察值却落入接受域, 而作出了接受H0的判断, 称做第二类错误, 又叫取伪错误, 这类错误是“以假为真”. 犯第二类错误的概率记为 当样本容量 n 一定时, 若减少犯第一类错误的概率, 则犯第二类错误的概率往往增大. 要使犯两类错误的概率都减小, 除非增加样本容量.

例3(p117例4.3) 某厂有一批产品，共有1000件，需检验合格才能出厂. 按国家标准，次品率不得超过1%. 今在其中随机地抽取100件，发现其中有4件次品，若选择 采用检验

解

计算二个检验犯两类错误的最大值列于下表 0.997 0.023 2 0.732 0.268 1 第二类错误最大值 第一类错误最大值 检验

当样本容量 n 一定时, 若减少犯第一类错误的概率, 则犯第二类错误的概率往往增大 当样本容量 n 一定时, 若减少犯第一类错误的概率, 则犯第二类错误的概率往往增大.在保护零假设的条件下,Neyman-Pearson提出如下规则: 对于给定的一个小正数,使的下式成立. 注 若一个检验满足此条件,称此检验为显著性水平为 的检验.

3. 显著性检验 只对犯第一类错误的概率加以控制, 而不考虑犯第二类错误的概率的检验, 称为显著性检验. 4. 双侧备选假设与双侧假设检验

5. 右边检验与左边检验 右边检验与左边检验统称为单侧检验.

定义4.1 的显著性水平为的两个检验, 若 此定义表明在限制第一类错误的基础上,第二类错误越小越优.此定义可以推广至多个检验比较.

四、势函数与无偏检验 1. 势函数的定义 定义4.2 注

2. 无偏检验 定义 上述条件的假设是由于势函数为连续函数时, 其连续性上的合理假设.

3. 一致最优势检验 定义4.3 例4(p119例4.4)

解 由例2可知,该检验的拒绝域为 则其势函数为

4. 尾概率 定义

五、小结 假设检验的一般步骤: 3. 确定检验统计量以及拒绝域形式;

再 见