第四章 指數函數與對數函數 課程目標 指數函數 對數函數 對數函數的導數 指數函數的導數 經濟學上的兩個應用： 指數成長與衰退 相對變化率與需求彈性 指數成長與衰退

指數函數 本章，將介紹兩類重要函數，即指數函數 (exponential function)與對數函數 (logarithmic function)，進而探討這些函數的特性，導數以及在經濟學和其他領域上的應用。 定義4-1: 設 a > 0 且 a  1 ，則 f(x) = ax 稱為以 a 為底 (base)的指數函數，其中 x 稱為指數 (exponent)。 4-1 指數函數

描繪指數函數圖形 描繪 f(x) = 2x 之圖形。 描繪 之圖形。 4-1 指數函數

指數函數之性質及圖形 定理4-1: 設 f(x) = ax 為指數函數，則 (a) f(x) 之定義域為 (- ,  )。 (b) f(x) 之值域為(0,  )。 (c) f(x) 之 y 截距為 f(0) = a0 = 1 ，但無 x 截距。 (d) f(x) 為連續函數。 (e) 若 a > 1，則 f(x) 為遞增函數， ， 且其 圖形如左圖所示。 (f) 若 0 <a < 1，則f(x)為遞減函數， ， 且其圖形如右圖所示。 4-1 指數函數

複利問題 最典型的指數函數的例子，即所謂的複利 (compounded interest)問題。假設我們將本金 (principal) P0 元存到某家銀行，銀行的存款利率 (interest)為 r (例如 r 為8%)且每年複利一次，試問 n 年後本利和為多少？ 解: 設 P(n) 表示 n 年後的本利和，則顯然地一年後的本利和為 二年後之本利和為 依此類推，我們得到 n 年後之本利和為 4-1 指數函數

複利問題 銀行的利率通常以年利率為準，但是有些銀行可能依顧客的需求而每半年複利一次，即每年複利二次；每季複利一次，即每年複利四次；每月複利一次，即每年複利十二次。 假設將本金 P0 存放於銀行，年利率為 r 且每年複利 k 次，即每 365/k 天複利一次。在這種情況下，每次複利之利率為 r/k 而一年後之本利和為 n 年後之本利和為 4-1 指數函數

求本利和 將1000元存放於銀行，年利率為6%且每年複利一次，試問5年後之本利和為多少？ 將1000元存放於銀行且銀行之年利率為8%。 (a) 每年複利一次，試問2年後之本利和為多少？ (b) 每半年複利一次，試問2年後之本利和為多少？ (c) 每季複利一次，試問2年後之本利和為多少？ (d) 每個月複利一次，試問2年之本利和為多少？ 4-1 指數函數

現 值 在上述的論述中，我們得到 其中 P(n) 為 n 年後的本利和，屬於未來的價值。 現 值 在上述的論述中，我們得到 其中 P(n) 為 n 年後的本利和，屬於未來的價值。 現在我們逆向思考，假設 n 年後，我們可拿回本利和 P(n) ，那麼 P0 即所謂的現值(present value)。因此，現值 求現值:某家銀行年利率為6%且每半年複利一次，求4年後10000元之現值為何？ 4-1 指數函數

求折價 一部價值36000元之個人電腦，每年的折價率為20%，試問這部電腦3年後價值多少？ 解: 如同在複利的情況，我們可將折價率視為 -0.2 ，因此，3年後電腦之折價為 36000(1-0.2)3=36000(0.8)3=18432 元。 4-1 指數函數

複利的次數趨近於無窮大時 若銀行每年複利的次數頻率趨近於無窮大時，則 n 年後之本利和應該為 令 是否存在？ 4-1 指數函數

自然指數 定義4-2: 稱為自然指數(natural exponent)。 定義4-3: 連續複利(continuously compounded interest) 將本金 P0 元存於年利率 r 的銀行裡，在連續複利之下，t 年後之本利和為 P(t) = P0ert。 定義4-4: 連續複利之現值 銀行之年利率為 r，連續複利，t 年後 P 元其現值為 P0 = Pe-rt。 4-1 指數函數

連續複利 求連續複利之本利和 求連續複利之現值 將1000元存放於年利率 6% 之銀行裡，連續複利，10 年後之本利和為多少？ 銀行之年利率為 6%，在連續複利之下，10 年後之 5000元其現值為多少？ 4-1 指數函數

自然指數函數 定義4-5: y = ex 稱為自然指數函數(natural exponential function)。 4-1 指數函數

自然指數函數之圖形 若 k > 0，則 y = ekx 之圖形如左圖所示，y = e-kx 之圖形如右圖所示。 4-1 指數函數

對數函數 定義4-5: 設 a > 0 且 a  1。若 a y = x ，則 y 稱為以 a 為底 (base) x 之對數 (logarithm)，通常表示成 y = loga x 且 y 稱為以 a 為底之對數函數 (logarithmic function)。 求對數 求 log2 8。 求 。 4-2 對數函數

對數函數之性質及圖形 定理4-2: 設 f(x) = loga x 為對數函數，則 (a) f(x) 之定義域為 (0,  )。 (b) f(x) 之值域為(-,  )。 (c) f(x)之 x 截距為1，即 loga 1 = 0，但無 y 截距。 (d) f(x) 為連續函數。 (e) 對任意 x >1 ， ；對任意數 y， 。 (f) 若a > 1，則 f(x) 為遞增函數， ， 且其圖形如左圖。 (g) 若0 < a <1，則 f(x) 為遞減函數， ， 且其圖形如右圖。 4-2 對數函數

對數的基本運算法則 對數的基本運算法則: 函數的化簡 化簡 f(x) = log2 x7 - log2 x5 。 4-2 對數函數

常用對數函數、自然對數函數 定義4-6: y = log10 x 稱為常用對數函數 (common logarithmic function)，通常表示成 y = log x，即 y = log x 若且唯若 10y = x。 定義4-7: y = loge x 稱為自然對數函數，通常表示成 y = ln x，即 y = ln x 若且唯若 ey = x 。 求對數 求 log 1000。 求 log 0.001。 求 ln e8。 求 ln e-0.2。 4-2 對數函數

解方程式 求 105x = 2 之解。 求 3e2x = 18 之解。 求102x - 2(10x) - 3 = 0之解。 4-2 對數函數

變底公式 變底公式 (change base formula)： 求對數 求 log2 10。 4-2 對數函數

求雙倍期 (doubling time) 將本金 P0 存放於年利率為 6% 之銀行，每年複利一次，試問幾年後其本利和為本金之兩倍？ 4-2 對數函數

對數函數的應用 求學習時間 某人練習中文打字，練習到第 t 週時，此人每分鐘可打 f(t) = 20(1 - e-0.5t) 個中文字，試問此人練習幾天以後，每分鐘可以打 5 個中文字？ 訊息之傳播 某一重大訊息經媒體報導，在 t 小時以後，得到這個訊息之比率為 f(t) = 1 - e-0.4t，試問多久以後80%的人都接收到這個訊息？ 4-2 對數函數

對數函數的導數 定理4-3: 設 f(x) = ln x，則 f(x) 為可微函數且 ，即 。 定理4-4: 若 u(x) 為正值可微函數，則 f(x)= ln u(x) 為可微且 ，即 。 定理4-5: loga x 為可微函數且 。若 u(x) 為可微的正值函數，則 loga u(x) 為可微且 。 4-3 對數函數的導數

對數函數的導數 求 ln (x2 + x + 1) 之導數。 求 y = ln x 在 x = 1 之切線方程式。 求 f(x) = ln (x2 + 1)10 之導數。 4-3 對數函數的導數

對數函數的導數 (a) 求 f(x) = log3 x 之導數。 (b) 求 g(x)= log3 (x4 + 1) 之導數。 求 f(x) = (x2 + 1) ln (x2 + 8) 。 求 之導數 設 x > 0，f(x) = xx，求 f '(x) 。 4-3 對數函數的導數

指數函數的導數 定理4-6: 設 f(x) = ex，則 f(x) 為可微函數且 f '(x) = ex ，即 。 定理4-7: 若 u(x) 為可微函數，則 eu(x) 亦為可微函數且 定理4-8: 設 a > 0，a  1。則 ax 為可微函數且 若 u(x) 為可微，則 au(x) 亦為可微且 4-4 指數函數的導數

指數函數的導數 求 之導數。 求 y = ex 在 x = 0 之切線方程式。 判別 y = ex 圖形之凹性。 求 之導數。 求 y = ex 在 x = 0 之切線方程式。 判別 y = ex 圖形之凹性。 求 e0.01 之線性近似。 4-4 指數函數的導數

指數函數的導數 (a) 求 f(x) = 2x 之導數。 (b) 求 之導數。 求(a) (b) 求 之相對極值。 4-4 指數函數的導數

經濟學上的應用 定義4-7: 相對變化率(relative rate of change) 設 f (t) 為可微函數且 f (t)  0 ，則 f (t) 之相對變化率為 。 求相對變化率 郵局之存款由公元 2000 年起預估總額為 (其中 t 以年為單位)，試問 16 年後郵局存款總額之相對變化率為何？ 某公司在 t 年時其負債總額為 (萬元)，試問該公司在第 8 年時其負債之相對變化率為何？ 4-5 經濟學上的兩個應用

需求彈性 假設 x = D(p) 為一需求函數，需求量之相對變化率為 且售價之相對變化率為 。因此， 若 E(p) > 1，則需求具彈性 (elastic)。 若 E(p) < 1，則需求不具彈性 (inelastic)。 若 E(p) = 1，則需求為單位彈性 (unit elasticity)。 4-5 經濟學上的兩個應用

需求彈性 設 x = D(p) = 20 - p2 為需求函數，求 p = 2 和 p = 4 之需求彈性，並作適當之解釋。 所以，E(2) = 8/16= 1/2 = 0.5，即當 p = 2 時，需求不具彈性；E(4)= 32/(20-16) = 8，即當 p = 4 時，需求具彈性。 在 p = 2 時，1% 單位售價之變化只引起 0.5% 需求量之變化。 E(4) = 8 表示在 p = 4 時，1% 單位售價之變化引起8% 需求量之變化。 4-5 經濟學上的兩個應用

需求彈性 某家早餐店老闆估計每天三明治的需求函數為 D(p) = 60 - p，求三明治之售價 p = 10 元時之需求彈性。 解: 所以，E(10) = 10/50 = 0.2 ，故在 p = 10 時，需求不具彈性，即當售價為10元時，1% 之售價變化只引起 0.2% 之需求量變化。 4-5 經濟學上的兩個應用

需求彈性的功能 需求彈性的功能是用來決定當單位售價為 p 時，為了增加總收入，我們應該提高或降低單位售價的策略。 設 x = D(p) 為一需求函數，則總收入為 R = px = pD(p)。 當 E(p) < 1 時，即需求不具彈性，R'(p) > 0 ，所以提高售價可以增加總收入。 當 E(p) > 1 時，即需求具彈性，R'(p) < 0 ，所以降低售價可以增加總收入。 當 E(p) = 1 時，即需求為單位彈性，R'(p) = 0 ，此時總收入為最大。 4-5 經濟學上的兩個應用

指數成長與衰退 在自然科學及社會科學裡，某些函數 N(t) 的變化常常遵循以下法則： N(t) 在時間 t 的變化率與在 t 時的量 N(t) 成比率，即 N'(t) = kN(t)，k 為比率常數。 連續複利的問題，族群的成長，細菌的培養和放射性物質的衰變等都屬於這種現象。 以複利的問題來印證，設將 P0 元存放於年利率為 r 之銀行裡，在連續複利之下，t 年後之本利和為 P(t) = P0ert。因此，P'(t) = P0rert = rP(t)。 4-6 指數成長與衰退

指數成長與衰退 假設某個函數 N(t) 滿足 N'(t) = kN(t)，那麼，N(t) = ？ 從複利的例子中，可猜測 N(t) = N0ekt，N0 = N(0) 為一常數。事實上這是正確的，至於如何求得，我們將其留到第十章討論微分方程式時再加以探討。 在 N(t) = N0ekt 中，k 稱為成長常數 (growth constant)。 若 k > 0，則 N(t) 稱為指數成長 (exponential growth)。 若k < 0 時，N(t) 稱為指數衰退 (exponential decay)。 4-6 指數成長與衰退

族群之成長 某一果園果蠅的成長率和當時的果蠅數成比率，若在開始時有100 隻果蠅，第 5 天時果蠅數為 200 隻，試問 20 天後果蠅之總數為何？ 解: 設 N(t) 表時間 t 時之果蠅數，由題意知 N'(t) = kN(t) 且 N(0) = 100，因此，N(t) = 100ekt。 再根據題意，N(5) = 200 ，所以 200 = 100e5k。即 e5k = 2，5k = ln 2，k = ln 2 /5。所以， 。在20天後之果蠅數為 4-6 指數成長與衰退

放射性物質之衰退 設某一放射性物質之退化率和當時的量成比率。若原來有100毫克之放射性物質經過10天後衰退至80毫克，試問其半衰期為多久？即何時衰退至50毫克。 第 四 章 結 束 4-6 指數成長與衰退