第七章 向量代数与空间解析几何 第一节 空间直角坐标系与向量的概念 第二节 向量的坐标表示 第三节 向量的数量积和向量积 第四节 平面方程 第五节 空间直线方程 第六节 曲面与空间曲线
第一节 空间直角坐标系 与向量的概念 一、空间直角坐标系 二、空间两点的距离 三、向 量 的 概 念
一、空间直角坐标系 1 定 义 过空间一点O引三条相互 垂直的数轴Ox，Oy，Oz， 一般 地，它们有相同的长度单位， 1 定 义 z （竖轴） 过空间一点O引三条相互 垂直的数轴Ox，Oy，Oz， 一般 地，它们有相同的长度单位， O y （纵轴） 这样就建立了空间直角坐标系， x （横轴） 如右图。 其中，O称坐标原点， 正方向满足右手法则。 OX、Oy、Oz为坐标轴。
2 坐标面和空间的划分 Ⅱ Ⅲ O x y z Ⅳ Ⅰ Ⅵ Ⅶ Ⅴ Ⅷ
3 空间点的坐标 空间任意一点A 有序数组（x，y，z） x O y z A
二、空间两点的距离 设M1（x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2)是空间两点，如图， 如何求|M1M2|？ z2 M2 z1 M1 N O y z z2 M2 z1 M1 N P y1 y2 x1 x2
所以有 特殊地，空间任一点A（x，y，z）到坐标原点O的距离为
在z轴上求与点A(-4，1，7)和点B（3，5，-2）等距离的点M，并求AB的中点坐标。 例1 解： 因为点M在z轴上， 则设其坐标为M（0，0，z）。 依题意得|MA|=|MB|， 故有 所以 ，故所求的点的坐标为M（0，0， ） 故有 设A，B中点坐标为
三、向量的概念 1 定义 既有大小又有方向的量称为向量， 用有向线段表示， 或用 如图。 或用黑体字a，b等表示。 向量的大小称为向量的模， 1 定义 既有大小又有方向的量称为向量， 用有向线段表示， 或用 如图。 或用黑体字a，b等表示。 B 向量的大小称为向量的模， 用 A a 等表示。 用 等表示。 长度为1的向量称为单位向量， 始点和终点重合的向量称为零向量， 用O表示， 其方向任意。
2 向量的关系和运算 （1）向量的相等 方向相同，模相等的两个向量a、b称为相等，记作 a=b。 向量仅与模、方向有关，而与始点的位置无关。 2 向量的关系和运算 （1）向量的相等 方向相同，模相等的两个向量a、b称为相等，记作 a=b。 向量仅与模、方向有关，而与始点的位置无关。 （2）向量的加法——平行四边形法则 a+b b a
或三角形法则： b a+b b a 运 算 律 交换律 a+b=b+a 结合律 （a+b）+c=a+（b+c）
与向量a模相等而方向相反的向量称为a的负向量， ★负向量： 记作-a。 （3）向量的减法 与向量a模相等而方向相反的向量称为a的负向量， ★负向量： 记作-a。 向量a减去向量b，可以看成向量a加上向量b的负向量-b，即a-b=a+（-b）。 如图所示 a-b b a
（4）数与向量的乘积 数量λ与向量a的乘积记为λ a，它是一个向 量。 定义： 模| λa|=| λ||a|； 方向： 如果λ<0，则与向量a的方向相反； 如果λ>0，则与向量a的方向相同； 运算律： λ （μa）=（ λ μ）a （λ ， μ为实数） （ λ +μ）a= λa+ μa （λ ，μ为实数） λ （a+b）= λa+ λb （λ 为实数）
如图的三角形△ABC， 例2 D、E是BC边上三等分点， 设 试用 a，b表示向量 。 解： 由三角形法则知： 再由数与向量的乘积，得 从△ABD及△AEC中可得
所以