第七章 多元微分学 空间曲面与曲线 多元函数的基本概念 偏微商与全微分 多元复合函数及隐函数求导法则 多元函数的极值和最优化问题

教学目的: 本章重点: 本章难点: 偏导数与全微分的概念，多元复合函 数求导法则，多元函数极值求法. 二元复合函数微分法，多元函数的极 值与求法.

7.1 空间解析几何 空间曲面与曲线 目的要求: 掌握空间直角坐标系，两点间 重 点: 空间直角坐标系，旋转曲面,二次曲 7.1 空间解析几何 空间曲面与曲线 目的要求: 掌握空间直角坐标系，两点间 的距离，了解柱面,旋转曲面及几 种特殊的二次曲面，会求投影曲线. 重 点: 空间直角坐标系，旋转曲面,二次曲 面，投影曲线 难 点: 用截痕法研究二次曲面.

一、空间直角坐标系 1、三根在空间任意一点O相交又 互相垂直的数轴Ox, Oy, Oz,就 构成一个空间直角坐标系。 x y z o

2、坐标轴的方向 三个坐标轴的正方向符合右手系. 竖轴 定点 纵轴 横轴 空间直角坐标系

3、坐标平面与卦限 坐标平面： xOy面，yOz面，zOx面， x y z 三个坐标平面将 空间分成八个卦 限（区别象限） o

Ⅲ Ⅱ z y 八个 卦限 Ⅳ Ⅰ x Ⅶ Ⅵ Ⅷ Ⅴ

4、点的坐标 过点M作分别垂直于x轴，y Ⅲ Ⅱ Ⅳ Ⅰ 轴，z轴的三 平面,记三个垂 足对应的实数 分别为x，y，z于是M点 对应于实数组 y x x N Ⅵ Ⅷ Ⅴ M  (x,y,z)

4、结 论： 有序数组 空间的点 (x0，y0，z0)称为点M的坐标， 记为M ( x0，y0，z0)

5、特殊情况： 坐标面 xoy yoz zox 特 征 z=0 x=0 y=0 坐标轴 ox oy oz 特 征 y=z=0 x=z=0 x=y=0

卦 限 点的坐标 (x,y,z) Ⅰ x>0 , y>0 , z>0 x>0 , y>0 , z<0 Ⅴ x>0 , y>0 , z<0 Ⅱ x<0 , y>0 , z>0 Ⅵ x<0 , y>0 , z<0 Ⅲ x<0 , y<0 , z>0 Ⅶ x<0 , y<0 , z<0 Ⅳ x>0 , y<0 , z>0 Ⅷ x>0 , y<0 , z<0 .

二、空间两点间的距离

例 平面方程 Ax + By + Cz + D = 0 由此可知： 平面的一般方程为 例 平面方程 求到两定点M1(1,-1,1)与M2(2,1,-1)等距离的点 M(x,y,z)的轨迹方程。 从立体几何中知，所求轨迹应为 线段M1 M2的中垂面； 由此可知： 平面的一般方程为 Ax + By + Cz + D = 0

例、求半径为R，球心在（ x0，y0，z0）的球面方程。 它是三元二次方程。 特别地，半径为R，球心在原点的球面方程是

四、曲面 1、若动点P的坐标（x，y，z）满足关系 z=f（x，y）或 F（x，y，z）=0 则在一定条件下，动点P构成一个曲面。 上面两式称为曲面的一般方程 （1）曲面上每点的坐标满足方程； （2）坐标满足方程的点在曲面上。 思考:是否任何三元方程都表示一个几何图形？

2、几种特殊曲面 （1）柱面 曲面方程中x、y、z有一个字母不出现时， 该曲面表示柱面。 一般柱面，平行于定直线L的直线，沿 定曲线C移动时所生成的曲面。 定曲线C叫做准线，动直线叫做母线。 方程 表示母线平行于z轴的柱面。

S 一般柱面 F(x,y)=0 z (x,y,z) 母线 y F( x,y )=0 x z = 0 准线 (不含z) M N (不含z) M (x,y,z) 母线 S F( x,y )=0 z = 0 N (x, y, 0) 准线

从柱面方程看柱面的特征： （其他类推） 椭圆柱面 // 轴 实 例 双曲柱面 // 轴 抛物柱面 // 轴

平面 椭圆柱面 z x y o b a

双曲柱面 z x y = 0 o y

z x y o 9. 抛物柱面 柱面都是直纹面，而且都是可展曲面

（2）旋转曲面 P286-288

c 补充与扩展 （3）一些常见的二次曲面 o 椭球面 截痕法 用z = h截曲面 用y = m截曲面 b 用x = n截曲面 所用截平面 截痕 //xoy面 椭圆 //yoz面 椭圆 //zox面 椭圆 a

单叶双曲面 y z o 所用截平面 截痕 //xoy面 椭圆 //yoz面 双曲线 //zox面 双曲线 x a .

z 双叶双曲面 x 所用截平面 截痕 //xoy面 椭圆 //yoz面 双曲线 //zox面 双曲线 y .

椭圆抛物面 截痕法 用z = a截曲面 用y = b截曲面 用x = c截曲面 所用截平面 截痕 //xoy面 椭圆 //yoz面 抛物线 用z = a截曲面 用y = b截曲面 用x = c截曲面 所用截平面 截痕 //xoy面 椭圆 //yoz面 抛物线 //zox面 抛物线

直纹面 一曲面S称为直纹面：如果有一族直线，这一族中每一条直线全在S上，并且S上每一点都在这一族的某一条直线上。 z 双曲抛物面 y x 所用截 截痕 平面 //xoy面 双曲线 //yoz面 抛物线 //zox面 抛物线 马鞍面是直纹面。 直纹面 一曲面S称为直纹面：如果有一族直线，这一族中每一条直线全在S上，并且S上每一点都在这一族的某一条直线上。 这样一族直线称为曲面S的一族直母线。 马鞍面有两个直母线系。

解: 应用截痕法 所用截平面 截痕 //xoy面 抛物线 //yoz面 圆 //zox面 抛物线 结论: 这是一个以x轴为对称轴的锥面

五、空间曲线 1、一般，两个曲面相交就得一曲线。 空间曲线一般方程可表示为： 思考:此式一定表示曲线吗?

2. 投影曲线 空间曲线L在坐标平面的投影 投影柱面 消去z后 H（x，y）=0 投影曲线

例1、空间曲线在坐标面上的投影

y x z o L 1 . . . z =0 . .

例2、求曲线 在xoy面上投影曲线。 解：从曲线方程中消去z， 得投影柱面 则在xoy面上的投影曲线为