第八章 空间解析几何与向量代数 第一部分 向量代数 第二部分 空间解析几何 在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面 数量关系 — 第二部分 空间解析几何 在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面 数量关系 — 坐标, 方程（组） 基本方法 — 坐标法; 向量法

第一节 向量及其线性运算 一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影 第八章 第一节 向量及其线性运算 一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影

一、向量的概念 或 a , 或 a . 向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量). 表示法: 有向线段 M1 M2 , 向量的模 : 向量的大小, 自由向量: 与起点无关的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, 记作 e 或e . 零向量: 模为 0 的向量,

若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等, 记作 a＝b ; 若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, 记作 a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ; 与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量, 记作－a ; 因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 . 若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .

二、向量的线性运算 1. 向量的加法 平行四边形法则: 三角形法则: 运算规律 : 交换律 结合律 2. 向量的减法 三角不等式

3. 向量与数的乘法  是一个数 ,  与 a 的乘积是一个新向量, 记作 运算律 : 结合律 分配律 因此 定理1. 设 a 为非零向量 , 则 ( 为唯一实数) a∥b

三、空间直角坐标系 1. 空间直角坐标系的基本概念 过空间一定点 O , 由三条互相垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系. 坐标原点 z 轴(竖轴) Ⅱ 坐标原点 Ⅲ 坐标轴 Ⅳ Ⅰ 坐标面 zOx面 卦限(八个) y轴(纵轴) Ⅶ Ⅵ Ⅴ Ⅷ x轴(横轴)

2. 向量的坐标表示 在空间直角坐标系下, 任意向量 r 可用向径 OM 表示. 设点 M 的坐标为 则 此式称为向量 r 的坐标分解式 , 记 此式称为向量 r 的坐标分解式 , 沿三个坐标轴方向的分向量,

四、利用坐标作向量的线性运算 设 则 平行向量对应坐标成比例:

五、向量的模、方向角、投影 1. 向量的模与两点间的距离公式 两点间的距离公式:

2. 方向角与方向余弦 设有两非零向量 任取空间一点 O , 称  =∠AOB (0≤ ≤  ) 为向量 的夹角. 类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 . 与三坐标轴的夹角 ,  ,  为其方向角. 方向角的余弦称为其方向余弦.

方向余弦的性质:

3. 向量在轴上的投影 设 a 与 u 轴正向的夹角为 , 则 a 在轴 u 上的投影为 , 即 例如, 在坐标轴上的投影分别为 投影的性质 1) 2) (为实数) 第二节

第八章 第二节 数量积 向量积 一、两向量的数量积 二、两向量的向量积

一、两向量的数量积 1. 定义 设向量 的夹角为 , 称 记作 数量积 (点积) . 记作 故 2. 性质 为两个非零向量, 则有 

3. 运算律 (1) 交换律 (2) 结合律 (3) 分配律 4. 数量积的坐标表示 设 则 两向量的夹角公式

二、两向量的向量积 1. 定义 定义 方向 :   且符合右手规则 向量 模 : 称 向量积 , 记作 (叉积) 三角形面积 S＝

2. 性质 为非零向量, 则 ∥ 3. 运算律 (2) 分配律 (3) 结合律

4. 向量积的坐标表示式 设 则

第三节 第八章 曲面及其方程 一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面 P403 四、二次曲面

定义1. 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系: (1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程 (2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程 则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形. 两个基本问题 : (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时, 求曲面方程. (2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状 ( 必要时需作图 ).

二、旋转曲面 定义2. 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转 一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转 轴 . 例如 :

建立yOz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程: 曲线 C 绕 y 轴旋转

三、柱面 一般地,在三维空间 柱面, 母线 平行于 z 轴; 准线 xOy 面上的曲线 l1. 柱面, 母线 平行于 x 轴; 准线 yOz 面上的曲线 l2. 柱面, 母线 平行于 y 轴; 准线 xOz 面上的曲线 l3.

四、二次曲面 三元二次方程 (二次项系数不全为 0 ) 的图形统称为二次曲面. 其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面 1. 椭球面

2. 抛物面 (1) 椭圆抛物面 ( p , q 同号) 特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面. (2) 双曲抛物面（鞍形曲面） ( p , q 同号)

3. 双曲面 (1)单叶双曲面 (2) 双叶双曲面 注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别: 单叶双曲面 双叶双曲面

4. 椭圆锥面

第八章 第四节 空间曲线及其方程 一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影 P411

一、空间曲线的一般方程 空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组 例如,方程组 C P411 表示圆柱面与平面的交线 C.

二、空间曲线的参数方程 将曲线C上的动点坐标 x, y, z表示成参数 t 的函数: 称它为空间曲线的 参数方程. 例如,圆柱螺旋线 称它为空间曲线的 参数方程. 例如,圆柱螺旋线 的参数方程为 P411 上升高度 , 称为螺距 .

三、空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线C的一般方程为 消去 z 得投影柱面 则C在xOy 面上的投影曲线 C´为 消去 x 得C 在yOz 面上的投影曲线方程 P414 消去y 得C在zOx 面上的投影曲线方程

例如, 在xOy 面上的投影曲线方程为

第五节 第八章 平面及其方程 一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角

一、平面的点法式方程 设一平面通过已知点 且垂直于非零向 量 求该平面的方程. 平面的点法式方程, 法向量. 特别,当平面与三坐标轴的交点分别为 平面方程为 此式称为平面的截距式方程.

二、平面的一般方程 特殊情形 • 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点的平面; • 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量 平面平行于 x 轴; • A x+C z+D = 0 表示 平行于 y 轴的平面; • A x+B y+D = 0 表示 平行于 z 轴的平面; • C z + D = 0 表示 平行于 xOy 面 的平面; • A x + D =0 表示 平行于 yOz 面 的平面； • B y + D = 0 表示 平行于 zOx 面 的平面.

三、两平面的夹角 两平面法向量的夹角(常指锐角)称为两平面的夹角. 设平面∏1的法向量为 平面∏2的法向量为 则两平面夹角 的余弦为 即

特别有下列结论：

是平面 设 外一点,求 到平面的距离d . 解:设平面法向量为 在平面上取一点 ,则P0 到平面的距离为 (点到平面的距离公式)

第六节 第八章 空间直线及其方程 一、空间直线方程 二、线面间的位置关系

一、空间直线方程 1. 一般式方程 直线可视为两平面交线， 因此其一般式方程

2. 对称式方程 已知直线上一点 和它的方向向量 设直线上的动点为 则 故有 此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程) 设 得参数式方程 :

二、线面间的位置关系 1. 两直线的夹角 两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角) 设直线 L1, L2 的方向向量分别为 则两直线夹角  满足

︿ 2. 直线与平面的夹角 当直线与平面不垂直时, 直线和它在平面上的投影直 线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角; 当直线与平面垂直时,规定其夹角为  设直线 L 的方向向量为 平面  的法向量为 则直线与平面夹角  满足 ︿

备用题 1. 设 求向量 在 x 轴上的投影及在 y 轴上的分 向量. 解: 因 故在 x 轴上的投影为 在 y 轴上的分向量为

求以向量 为边的平 2. 设 行四边形的对角线的长度 . 解： 对角线的长为 该平行四边形的对角线的长度各为

备用题 1. 已知向量 的夹角 且 解：

2. 在顶点为 三角形中, 求 AC 边上的高 BD . 解： 三角形 ABC 的面积为 而 故有

备用题 求曲线 绕 z 轴旋转的曲面 与平面 的交线在 xOy 平面的投影曲线方程. 解： 旋转曲面方程为 ,它与所给平面的 交线为

备用题 求过点 且垂直于二平面 和 的平面方程. 解: 已知二平面的法向量为 取所求平面的法向量 则所求平面方程为 化简得

备用题 一直线过点 且垂直于直线 又和直线 相交,求此直线方程 . 解： 方法1 利用叉积. 的方向向量为 过 A 点及 面的法向量为 方法1 利用叉积. 的方向向量为 过 A 点及 面的法向量为 则所求直线的方向向量 所以

待求直线的方向向量 故所求直线方程为 方法2 利用所求直线与L2 的交点 . 设所求直线与 L2 的交点为 则有 即

而 代入上式 , 得 由点向式得所求直线方程