第七章 空间解析几何与向量代数 第一部分 向量代数 第二部分 空间解析几何 在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面 数量关系 — 第二部分 空间解析几何 在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面 数量关系 — 坐标, 方程（组） 基本方法 — 坐标法; 向量法

第七章 第一节 向量及其线性运算 一、空间直角坐标系 二、向量与向量的线性运算 三、向量的坐标表示式 机动 目录 上页 下页 返回 结束

一、空间直角坐标系 1. 空间直角坐标系的基本概念 过空间一定点 o , 由三条互相垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系. 坐标原点 z 轴(竖轴) Ⅱ 坐标原点 Ⅲ 坐标轴 Ⅳ Ⅰ 坐标面 zox面 卦限(八个) y轴(纵轴) Ⅶ Ⅵ Ⅴ Ⅷ x轴(横轴) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

在直角坐标系下 点 M 有序数组 向径 (称为点 M 的坐标) 特殊点的坐标 : 原点 O(0,0,0) ; 坐标轴上的点 P, Q , R ; 坐标面上的点 A , B , C 机动 目录 上页 下页 返回 结束

坐标轴 : 坐标面 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、向量与向量的线性运算 或 a , 向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量). 表示法: 有向线段 M1 M2 , 向量的模 : 向量的大小, 向径 (矢径): 起点为原点的向量. 自由向量: 与起点无关的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, 零向量: 模为 0 的向量, 机动 目录 上页 下页 返回 结束

与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量, 若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等, 记作 a＝b ; 若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, 记作 a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ; 与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量, 记作－a ; 因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 . 若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、向量的线性运算 1. 向量的加法 平行四边形法则: 三角形法则: 运算规律 : 交换律 结合律 三角形法则可推广到多个向量相加 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

机动 目录 上页 下页 返回 结束

2. 向量的减法 三角不等式 机动 目录 上页 下页 返回 结束

3. 向量与数的乘法  是一个数 ,  与 a 的乘积是一个新向量, 记作 规定 : 可见 总之: 运算律 : 结合律 分配律 因此 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理1. 设 a 为非零向量 , 则 ( 为唯一实数) a∥b 证: “ ”. 设 a∥b , 取 ＝± , a , b 同向时 证: “ ”. 设 a∥b , 取 ＝± , a , b 同向时 取正号, 反向时取负号, 则 b 与  a 同向, 且 再证数  的唯一性 . 设又有 b＝ a , 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束

则 “ ” 已知 b＝ a , b＝0 a , b 同向 a∥b a , b 反向 例1. 设 M 为 ABCD 对角线的交点, 解: “ ” 已知 b＝ a , b＝0 a , b 同向 a∥b a , b 反向 例1. 设 M 为 ABCD 对角线的交点, 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

三、向量的坐标表示式 在空间直角坐标系下, 任意向量 r 可用向径 OM 表示. 设点 M 的坐标为 则 此式称为向量 r 的坐标分解式 , 沿三个坐标轴方向的分向量. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

设 则 平行向量对应坐标成比例: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2. 求解以向量为未知元的线性方程组 ① ② 解: 2×① －3×② , 得 代入②得 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3. 已知两点 及实数 在AB直线上求一点 M , 使 解: 设 M 的坐标为 如图所示 得 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束

说明: 由 得定比分点公式: 点 M 为 AB 的中点 , 于是得 中点公式: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2.向量的模、方向角、投影 向量的模与两点间的距离公式 则有 由勾股定理得 对两点 与 因 得两点间的距离公式: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例4. 求证以 为顶点 的三角形是等腰三角形 . 证: 即 为等腰三角形 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

(1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程? 例5. 在 z 轴上求与两点 及 等距 离的点 . 解: 设该点为 故所求点为 解得 思考: (1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程? (2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ? 机动 目录 上页 下页 返回 结束

提示: (1) 设动点为 利用 得 且 (2) 设动点为 利用 得 例6. 已知两点 和 求 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

方向角与方向余弦 设有两非零向量 任取空间一点 O , 称  =∠AOB (0≤ ≤  ) 为向量 的夹角. 记作 类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 . 与三坐标轴的夹角 ,  ,  为其方向角. 方向角的余弦称为其方向余弦. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

方向余弦的性质: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例7. 已知两点 和 计算向量 的模 、方向余弦和方向角 . 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例8. 设点 A 位于第一卦限, 向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹 角依次为 求点 A 的坐标 . 则 解: 已知 故 于是 故点 A 的坐标为 第二节 目录 上页 下页 返回 结束

备用题 1. 设 求向量 在 x 轴上的投影及在 y 轴上的分向量. 解: 因 故在 x 轴上的投影为 在 y 轴上的分向量为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

设 求以向量 为边的平 2. 行四边形的对角线的长度 . 解： 对角线的长为 该平行四边形的对角线的长度各为 机动 目录 上页 下页 返回 结束