第七章 向量与空间解析几何 第一节 空间直角坐标系与向量的概念 第二节 向量的点积与叉积 第三节 平面与直线 结束

第一节 空间直角坐标系与向量的概念 一、空间直角坐标系 1、 过空间定点 O 作三条互相垂直的数轴， 它们都以 O 为原点， 并且取相同的单位长度， 这三条数轴分别称为 x 轴，y 轴，z 轴. 各轴正向之间的顺序通常按下述法则确定（如图）: 右手定则

O 称为坐标原点，每两个坐标轴所确定的平面 称为坐标平面，简称为坐标面。 这样就组成了空间直角坐标系. O 称为坐标原点，每两个坐标轴所确定的平面 称为坐标平面，简称为坐标面。 这些坐标面把空间分成八个部分，每一个称为一个卦限. z Ⅲ Ⅱ x、y、z 轴的正半轴的卦限称为第 I 卦限， Ⅰ Ⅳ O y Ⅵ Ⅶ x Ⅴ Ⅷ

按逆时针的方向 从第 I 卦限开始， 从 Oz 轴的正向向下看， ，先后出现的卦限依次称为第 Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ 卦限; 第Ⅰ、Ⅱ 、 Ⅲ、 Ⅳ 卦限下面的空间部分依次称为第 Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ 卦限.

2、 空间中点的坐标 空间的点就与一组有序数组 x，y，z 之间建立了一一对应关系. 　　 它们分别称为 横坐标，纵坐标和竖 坐标. 　　 有序数组 x，y，z 就称为点 M 的坐标，记为 M(x，y，z)， x y z O M P R Q

3、空间两点间的距离公式 求它们之间的距离 d = |M1M2|. 设空间两点 M1 ( x1, y1, z1)、M2 ( x2 , y2 , z2 ), 过点 M1 M2 各作三张平面分别垂直于三个坐标轴，形成如图的长方体. 易知 z z2 z1 M2 M1 (△M1QM2 是直角三角形) P Q y1 y2 y x1 O (△M1PQ 是直角三角形) x2 x

二、向量的基本概念及线性运算 1、向量的基本概念 如力、位移、速度、加速度等. 既有大小又有方向的量， 这类量称为向量， 或称为矢量. 　　　　　　　　　　　　　如力、位移、速度、加速度等. 　　既有大小又有方向的量， 这类量称为向量， 或称为矢量. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　模等于 1 的向量称为单位向量. 向量 a 的大小称为该向量的模， 记作 | a |; 与 a 同向的单位向量记为 a ， 　记为 0 ，其方向不定. 模等于 0 的向量称为零向量， 如果方向相同、模相等， 两个向量 a 与 b 不论起点是否一致， 即经平行移动后，两向量完全重合. 则它们是相等的， 记为 a = b . 允许自由移动的向量称为自由向量.

2、向量的线性运算 以 a 、b 为边的平行四边形的对角线所表示的向量如左图， 设有两个非零向量 a 、b ， 这就是向量加法的平行四边形法则. 记为 a + b， 则由 a 的起点到 b 的终点的向量. 若以向量 a 的终点作为向量 b 的起点， 也是 a 与 b 的和向量. 这个法则可以推广到任意有限个向量相加的情形. 这是向量加法的三角形法则. a b c a+b b+c (a+b)+c=a+(b+c) a b a+b b a

从图中可以看出:向量的加法满足交换律和结合律. 即 a + b = b + a (a + b ) + c = a + (b + c). 若向量 b 加向量 c 等于向量 a ， 根据向量加法的三角形法则， 则称向量 c 为 a 与 b 之差， 记为 c = a - b . b c = a  b a

 是一个非零实数， 设 a 是一个非零向量， 则 a 与  的乘积仍是一个向量， 记作 a ， 且 ( 1 ) | a | = |  | | a |; 与 a 同向，当  > 0， 与 a 反向，当  < 0， ( 2 ) a 的方向 如果  = 0 或 a = 0， 规定 a = 0. 数乘向量满足结合律与分配律，即 (a ) = (  ) a ，  ( a + b ) = a + b ， (  +  ) a = a +  b ， 其中 ， 是数量.

3、向量运算法则 （1）a + b = b + a； （2）(a + b ) + c = a + (b + c)； （5）  ( a + b ) = a + b 其中a 、b 表示向量，， 表示常数.

三、向量的坐标表示 1、向径及其坐标表示 与x 轴、y 轴、z 轴的正向同向的单位向量分别记为 i、 j、k， 在空间直角坐标系中， 称为基本单位向量. 终点为 P(x, y, z). 设向量 a 的起点在坐标原点 O， 过 a 的终点 P(x, y, z)作三个平面分别垂直于三条坐标轴， 则点 A 在 x 轴上的坐标为 x ， 设垂足依次为 A， B ，C， 根据向量与数的乘法运算得向量 , i x OA =

称 a = xi + yj + zk 为向量 a 的坐标表达式， 记作 于是， 由向量的三角形法则， 有 称 a = xi + yj + zk 为向量 a 的坐标表达式， 记作 其中 x，y，z 称为向量 a 的坐标. z C P a k B j i y O A x Q

2、向量的坐标表示 已知 是以 M1( x1, y1, z1 )为起点， 求此向量 的坐标表达式. 解 z M1 a M2 y O x

设 则 ( 为数量). 或

第二节 向量的点积与叉积 一、 向量的投影 1、 称为向量a 在向量 b 上的 投影 ，记为ab , 即 ( b ) ( a ) 类似地  a b ab ( a ) ( b ) 类似地 所以，两向量的数量积也可以用投影表示为

2、 方向角与方向余弦 O 那么它的终点坐标 A 的坐标就是(ax , ay , az). a 的起点放在坐标原点， 由两点间距离公式可知 R A  b O Q a y P x

　　非零向量 a 与三坐标轴正向的夹角  、 、 (其中0 ≤ ≤  , 0 ≤  ≤  , 0 ≤  ≤ )，称为向量  的方向角; 这三个角的余弦 cos 、cos 、cos  称为向量a 的方向余弦. 因为△OPA、△ORA 都是直角三角形，所以

二、 向量的点积 1、 点积的定义

2、 点积的性质 （1）、 （2）、当 时， 3、 点积的向量运算法则

4、点积的坐标表示

第三节 平面与直线 一、平面的方程

二、直线的方程 1、直线的点向式方程 已知直线上一点 和它的方向向量 设直线上的动点为 则 故有 此式称为直线的点向式方程 说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零. 例如, 当 直线方程为

2、直线的 一般式方程 直线可视为两平面交线， 因此其一般式方程 (不唯一)

3、直线的 参数式方程 设 得参数式方程 :

三、线面间的位置关系 两直线的夹角 两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角) 设直线 的方向向量分别为 则两直线夹角  满足

特别有:

例 求以下两直线的夹角 解: 直线 的方向向量为 直线 的方向向量为 二直线夹角 的余弦为 从而 (参考P332 例2 )

︿ 四、 直线与平面的夹角 当直线与平面不垂直时, 直线和它在平面上的投影直 线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角; 当直线与平面垂直时,规定其夹角  设直线 L 的方向向量为 平面  的法向量为 则直线与平面夹角  满足 ︿

特别有: 例 求过点(1,－2 , 4) 且与平面 垂 直的直线方程. 解: 取已知平面的法向量 为所求直线的方向向量. 则直线的对称式方程为