第六节 曲面及其方程 一 曲面方程的概念 二 旋转曲面 三 柱面 四 二次曲面
一、曲面方程的概念 曲面的实例： 水桶的表面、台灯的罩子面等． 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹． 曲面方程的定义：
以下给出几例常见的曲面. 解 根据题意有 所求方程为 特殊地：球心在原点时方程为
解 所以原方程表示球心为 半径为 的球面.
解 根据题意有 化简得所求方程
例4 方程 的图形是怎样的？ 解 根据题意有 图形上不封顶，下封底．
以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程． （讨论旋转曲面） （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状． （讨论柱面、二次曲面）
二、旋转曲面 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 定义 这条定直线叫旋转 曲面的轴． 播放
旋转过程中的特征： 如图 将 代入
将 代入 得方程
解 圆锥面方程
例6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程． 旋转双曲面
旋转椭球面 旋转抛物面
三、柱面 定义 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线. 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线. 观察柱面的形成过程: 播放
柱面举例 平面 抛物柱面
从柱面方程看柱面的特征： （其他类推） 实 例 椭圆柱面 // 轴 双曲柱面 // 轴 抛物柱面 // 轴
四、二次曲面 (Quadratic Surfaces) 1 定义：三元二次方程表示的曲面,称为二次曲面。 如球面 圆锥面、旋转曲面等
用平行于坐标面的平面去截曲面由所得截痕来 勾画曲面的大体形状。 2、二次曲面的研究方法： (不能用描点法，而用截面法) 用平行于坐标面的平面去截曲面由所得截痕来 勾画曲面的大体形状。 1）对称性：关于坐标面，坐标轴 2）存在范围 3）曲面与坐标轴、坐标面的关系 x y z 4）曲面弯曲状况。 3、几种重要的二次曲面： 1）椭球面： (Ellipsoids)
特殊情形：1）当a=b=c时，此时为球面 2）当a=b时，此时为旋转曲面 3) 当a=c时，此时为旋转曲面 4) 当c=b时，此时为旋转曲面
(Elliptic Paraboloids) (Hyperbolic Paraboloids) x y z (0,0,0) (Elliptic Paraboloids) p=q时，成为旋转抛物面 II)双曲抛物面（马鞍面） (Hyperbolic Paraboloids) (P>0,q>0)
x z y o II)双曲抛物面（马鞍面）
x y z
3) 双曲面(Hyperboloids) I)单叶双曲面(Hyperboloids of one sheet) o x y z
II)双叶双曲面(Hyperboloids of two sheet)： x y z 或者
例6、指出下列方程所表示的曲面：