第九章 空间解析几何 一、主要内容 二、典型例题

一、主要内容 （一）向量代数 （二）空间解析几何

（一）向量代数 向量概念 向量的 线性运算 向量的 表示法 向量的积 数量积 混合积 向量积

1、向量的概念 定义:既有大小又有方向的量称为向量. 重要概念: 向量的模、 单位向量、 零向量、 自由向量、 相等向量、 负向量、 平行向量.

2、向量的线性运算 (1) 加法： (2) 减法： (3) 向量与数的乘法：

3、向量的表示法 向量的分解式： 在三个坐标轴上的分向量： 向量的坐标表示式： 向量的坐标：

向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式：

向量模长的坐标表示式 向量方向余弦的坐标表示式

4、数量积 (点积、内积) 数量积的坐标表达式 两向量夹角余弦的坐标表示式

5、向量积 (叉积、外积) 向量积的坐标表达式

// 6、混合积

（二）空间解析几何 空间直角坐标系 曲线 曲面 直 线 平 面 一般方程 旋转曲面 参数方程 柱 面 一般方程 二次曲面 参数方程 柱 面 直 线 平 面 一般方程 二次曲面 参数方程 对称式方程 点法式方程 一般方程

1、空间直角坐标系 竖轴 空间的点 定点 纵轴 有序数组 横轴

空间直角坐标系 共有一个原点,三个坐标轴,三个坐标面,八个卦限.

两点间距离公式: 它们距离为

2、曲面 曲面方程的定义：

[1] 旋转曲面 研究空间曲面的两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程. （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状. 定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称之. 这条定直线叫旋转曲面的轴.

方程特点:

（1）球面 （2）圆锥面 （3）旋转双曲面

[2] 柱面 定义： 平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的曲面称之. 这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.

从柱面方程看柱面的特征： (1) 平面

(2) 圆柱面 (3) 抛物柱面 (4) 椭圆柱面

[3] 二次曲面 定义:三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面. （1）椭球面 （2）椭圆抛物面

（3）马鞍面 （4）单叶双曲面 （5）圆锥面

3、空间曲线 [1] 空间曲线的一般方程 [2] 空间曲线的参数方程

如图空间曲线 一般方程为 参数方程为

[3] 空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线的一般方程： 消去变量z后得： 曲线在 面上的投影曲线为 面上的投影曲线 面上的投影曲线

如图:投影曲线的研究过程. 空间曲线 投影柱面 投影曲线

[4] 空间立体或曲面在坐标面上的投影 空间立体 曲面

4、平面 [1] 平面的点法式方程 [2] 平面的一般方程 [3] 平面的截距式方程

[4] 平面的夹角 [5] 两平面位置特征： //

5、空间直线 [1] 空间直线的一般方程

[2] 空间直线的对称式方程 [3] 空间直线的参数方程

[4] 两直线的夹角 直线 直线 ^ 两直线的夹角公式

[5] 两直线的位置关系： // [6] 直线与平面的夹角

直线与平面的夹角公式 [7] 直线与平面的位置关系 //

6. 相关的几个问题 [1] 过直线 的平面束方程。

[2] 到平面  ：A x+B y+C z+D = 0 的距离为  d

到直线 [3]点 d 的距离 为

二、典型例题

，

解:

解: 或

例10． 试证：任一个三角形的三条中线向量可以构成一个三角形。 例10． 试证：任一个三角形的三条中线向量可以构成一个三角形。 证 A D F B C E

解： 三角形ABC的面积为

例14． 解: 由题设条件得 解得

解: 设平面  ： 由过原点知 所求平面方程为

解：过直线 l 的平面束方程为 (x + y – z ) + (x – y + z – 1) = 0 点p0(1, 1, –1 )在平面上，代入方程，得 3 – 2 = 0, 所求平面为： 即：5x – y + z – 3 = 0

且垂直于已知平面 求该平面法线的 的方向余弦. 解： 已知平面的法向量 求出已知直线的方向向量 取所求平面的法向量 所求为

又因为点（1，-2，4）在所求平面上，故所求平面的方程为

解： 取法向量 所求平面方程为 化简得

例26. 研究以下各组里两平面的位置关系： 解： 两平面相交，且夹角 解： 两平面平行。 两平面不重合．

解： 两平面平行。 两平面重合.

解： 过已知直线的平面束方程为

由题设知 由此解得 因此所求的平面束方程是

例29. 求与两平面 x – 4 z =3 和 2 x – y –5 z = 1 的交线 平行, 且 过点 (–3 , 2 , 5) 的直线方程. 解： 所求直线的方向向量可取为 利用点向式可得方程

与平面 例30. 求直线 的交点 . 解： 化直线方程为参数方程 代入平面方程得 从而确定交点为（1，2，2）.

解： 先作过点M且与已知直线 L 垂直的平面 再求已知直线与该平面的交点N, 代入平面方程，得 交点 取方向向量 所求直线方程为 L N M  再求已知直线与该平面的交点N, 交点 代入平面方程，得 取方向向量 所求直线方程为

另解： L ' 再求过M与L的： M L 

解: 直线L1, L2的方向向量 有: 所以

例33. 判定下列各组直线与平面的关系. 解: L的方向向量  的法向量 又M0(3,  4, 0)在直线 L上, 但不满足平面方程, 所以L与 平行, 但不重合.

解: L的方向向量  的法向量  L 与  垂直.

解: L的方向向量  的法向量 又L上的点 M0(2, 2, 3)满足平面方程, 所以 , L 与  重合.

解： 将两已知直线方程化为参数方程为

即有

例35. 解：

所求投影直线方程为

例36. 求点p0(1, 2, 1)到直线 的距离d . 分析：过 p0 作 l 的垂线， 垂足为 p1, 则 d=| p0 p1| p0 s l p1  关键：求出 p1 的坐标 方法：过点p0作平面与l垂直，设l与平面的交点为p1，则线段 p0 p1 与 l 垂直。 p1即为垂足。

解: 直线 l 的方向向量 过 p0(1, 2, 1), 以(2,1,1)为法向量作平面 s l p1  p0(1, 2, 1) : 2(x–1) + (y–2) + (z–1) = 0 即: 2x + y + z – 5 = 0 求 l 与  的交点 将直线 l 方程写出参数方程形式： , 代入平面的方程： 2(2 + 2t) + (3 + t) + (4 + t) – 5 = 0 即 6t + 6 =0, t = –1, 交点 p1(0, 2, 3)

解： 为所求夹角．

绕 z 轴旋转一周, 求此旋转 转曲面的方程. 解： 在 L 上任取一点 则有 旋转轨迹上任一点, L.P223例10 得旋转曲面方程

例40.求内切于平面 x + y + z = 1 与三个坐标面所构成四面体的球面方程. 解: 设球心为 则它位于第一卦限,且 从而 因此所求球面方程为