第四章 向量代数与空间解析几何 前言 同平面解析几何一样,空间解析几何就是通过建立空间直角坐标系,使空间的点与三元有序实数组之间建立起一一对应的关系,并将空间图形与三元方程联系在一起,从而达到用代数方法研究空间几何的目的.因此,空间解析几何的内容也是很重要的,它是学习多元函数微积分的基础.

项目10向量及其线性运算 任务10-1: 向量及其线性运算 4.1 空间直角坐标系与向量的概念 tgfjghcvr

4.1.1、空间直角坐标系 在空间取一定点O ，过O电点做三条相互垂直且一般具有相同长度单位的数轴。称这三条 数轴分别为x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴）， 这三条数轴统称为坐标轴（coordinate axis），点O称为坐标原点（coordinate origin），通常把x轴和y轴放置在水平面上，z轴则铅直放置，它们的正方向符合右手法则（right-handed rule），即伸出右手，拇指与其余并拢的四指垂直，四指指向x轴的正方向，然后让四指从x轴正方向向y轴正方向紧握，握住z轴时，拇指的指向为z轴的正方向。

图4－1 z o y x 图4－1中键头的指向表示x轴、z轴的正方向，这样的三条坐标轴就构成了一个空间直角坐标系（spatial rectangular coordinates system）。记为Oxyz。

每两条坐标轴确定一个平面，称为坐标平面（coordinate）。由x轴和y轴确定的平面称为xOy平面， 由y轴和z轴确定的平面称为yOz平面,由z轴和x轴确定的平面称为zOx平面。三个坐标平面将空间分成八个部分，为一个卦限（octant）。这八个卦限的编号如图4－3所示。

图4－3 z Ⅲ Ⅱ Ⅳ Ⅰ y Ⅶ Ⅵ Ⅷ x Ⅴ

有了空间直角坐标系，就可以建立空间的点与有序实数组之间的一一对应关系了，即确定空间点的直角坐标。 设M为空间一点，过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴，并各交x轴、y轴、 z轴于点P、Q、R（图4－2） x y z o 图4－2 R P Q . M

设这三点在x轴、y轴、z轴上依次取坐标为x、y、z。于是空间一点M就唯一确定了一个有序数组（x,y,z）。反之，若已知一有序数组（x,y,z），分别在x轴、y轴、z轴上依次取坐标为x、y、z的点P、Q、R，并过P、Q、R分别作与x轴、y轴、z轴垂直的平面，则这三个平面交于唯一的一点M。这样就建立了空间的点M与有序数组（x,y,z）之间的一一对应关系。这组数（x,y,z）称为点M的坐标（coordinate），坐标为x、y、z的点M通常记为M （x,y,z），又称x、y、z分别为的横坐标，纵坐标，竖坐标。

过点M1和M2各作三个分别垂至于三条坐标轴的平面，这六个平面围成一个以 M 1M 2 为对角线的长方体（图4－4）。 4.1.2 空间两点间的距离 已知空间两点M1(x1,y1,z1) 和M2 (x2,y2,z2) ，求M1 和 M2 之间的距离│M1M2 │. 过点M1和M2各作三个分别垂至于三条坐标轴的平面，这六个平面围成一个以 M 1M 2 为对角线的长方体（图4－4）。

x y z O 图4－4 R2 R1 P2 P1 M1 M2 Q1 Q2 P N Q

所以 |M1M2|2＝|M1P|2＋ |PN|2＋|NM2|2 而 |M1P| ＝ |P1P2| ＝ |x2－x1| 由于△M1NM2是直角三角形，∠M1NM2是直角，所以 |M1M2|2＝|M1N|2＋ |NM2|2 又△M1PN也是直角三角形且 |M1N|2＝|M1P|2＋ |PN|2 所以 |M1M2|2＝|M1P|2＋ |PN|2＋|NM2|2 而 |M1P| ＝ |P1P2| ＝ |x2－x1| |PN| ＝ |Q1Q2| ＝ |y2－y1| |NM2| ＝ |R1R2| ＝ |z2－z1|

案例4.1 求点A（1，-1,0）与点B（3,1，-2）之间的距离 解 由两点间距离公式得： 案例4.2 已知两点A（-4,1,7）与B（3,5，-2），在z轴上求 一点P，使|AP|=|BP| 由题设|AP|=|BP|得

4.2 向量代数

4.2 向量代数 一、向量的概念 在实际中经常遇到两种量，一种是用数表示的量，叫做数量或标量，如质量、温度、体积等。另一种是要用数量和方向才能表示的量，即既有大小、又有方向的量，叫做向量(vector)或矢量，如速度、力等。 向量常用有向线段来表示。有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向，以A为起点，B为终点的有向线段所表示的向量记做 AB（图4－5）。也可用黑体字母来表示，如向量a,b,x等。

向量的大小叫做向量的模(module)，向量AB, a的模分别记为 |AB|、 | a | 。 图4－5 向量的大小叫做向量的模(module)，向量AB, a的模分别记为 |AB|、 | a | 。 模为1的向量叫做单位向量（unit vector）。 模为0的向量叫做零向量（zero vector），记做0。零向量的方向可以看作是任意的。 A B 与向量a大小相等方向相反的向量，叫做向量a的负向量（negative vector），记做-a 。 与向量a同方向的单位向量，记做ea.

若两个向量a与b的大小相等、方向相同，则称这两个向量相等，记做a＝b。 由向量相等的定义可知，当一个向量平行移动（即不改变向量的方向）后，向量是不变的，因此向量的起点可以画在空间任何位置，这种与起点的位置无关的向量，叫做自由向量（free vector）。今后我们所讨论的都是自由向量。 在空间直角坐标系下，以原点O为起点，以点M为终点的向量OM称为M对于原点O的向径，有时也记做r。任何一个向量都可以将其起点放在坐标原点处成为向径。

4.2.2向量的加减法 4.2.2.1.向量的加法 我们知道，力和位移都是向量。在物理学中，求作用于同一点的两个不共线的力的合力是用“平行四边形法则”。如图4－6所示，两个力 ， 的合力是以 ， 为邻边的平行四边形的对角线AC 。 D C AB+AD A B

又如位移：一质点从A 点出发到达B 点的位移为 AB，再从 B点到 C点作位移BC ，那么其两次位移 AB，BC 的结果，相当于作位移AC ，即两个位移的合位移可用“三角形法则”求出。如图4-7所示。

由图4-6可见，BC ＝AD ，因此，求合位移用的“三角形法则”与求合力用的“平行四边形法则”虽然形式不同，但实质却是一致的。 定义4.l 设给定两向量a 与b ，若作AB ＝a ， BC＝ b，得有向折线ABC ，则称以折线的起点 A为起点，折线的终点C 为终点的向量AC 称为向量 a与b 的和，记作：a+b ．求向量的和的方法称为向量的加法。 若记向量 AC＝c ，则有等式 c=a+b．

向量加法的三角形法则还可以推广到有限多个向量的情形。例如求n 个向量 的和，可以根据三角形法则推出下面的多边形法则．如图4-8所示，若依次作 得有向折线 ，则称以折线的起点 为起点，折线的终点 为终点的向量 为n个向量 的和，记作： 。

(2)结合律 (a+b)+c=a+(b+c)=a+b+c (3)a+0=a (4)a+(-a)=0 容易验证向量加法满足下列运算规律： (1)交换律 a+b=b+a; (2)结合律 (a+b)+c=a+(b+c)=a+b+c (3)a+0=a (4)a+(-a)=0 4.2.2.2 向量的减法 定义4.2 设给定两向量 a与b ，若存在向量a ，使 b+c=a． 则称向量c 为向量 a与 b的差．记作：a-b ．即若b+c=a ， 则 a-b=c．求向量的差的运算称为向量的减法．

设给定两向量a 与 b，若从点O 作两向量OA=a ，OB=b ，则由定义可知，以向量b 的终点B 为起点，向量 a的终点A 为终点的向量BA 就是向量 a与b 的差(图4-9)。 不难验证，向量的减法也象实数减法一样有等式： 其中 是 的反向量．

4.2.3. 向量和数的乘法（数乘） 定义4.3 设λ是一个数，非零向量a与λ的乘积λa是一个向量： 4.2.3. 向量和数的乘法（数乘） 定义4.3 设λ是一个数，非零向量a与λ的乘积λa是一个向量： 当λ＞0时, λa与a同方向, | λa | = λ | a | ； 当λ＜0时, λa与a方向 相反, | λa | = | λ | | a | ； 当λ＝0时, λa是零向量 。 由数乘定义，与非零向量a同方向的单位向量ea可表示为： ea＝(1/ | a |).a

向量的数乘满足以下运算规律： （1） （2） （3） （4） （5） 向量的加、减法及向量的数乘运算统称为向量的线性运算。

，若 由向量数乘的定义可知：设两个非零向量 、 ，则必有 与 与 平行；反之，若 平行， 则存在非零常数 两个非零向量a与b共线(平行)的充分必要条件是存 在数λ(λ≠0)，使b= λ a.

4.2.4向量的坐标表示 在给定的空间直角坐标系中，取三个分别与x轴、y轴、z轴正方向相同的单位向量I、j、 k,称其为空间直角坐标系下的三个基本单位向量。 对于任意一个a，我们来定义它的坐标。将a平移，使原点O为a的始点，终点记为M。则OM=a(图4－11）， 过M点作垂直于三个坐标轴的平面，分别交x轴、y轴、z轴于点A、B、C。则OA、OB、OC分别称为OM在坐标轴上的分向量。

记x、y、z分别是A、B、C在x轴、y轴、z轴上的坐标，由数乘知，显然有 OA=xi,OB=yj,OC=zk 图4-11 z O M k j y x i 记x、y、z分别是A、B、C在x轴、y轴、z轴上的坐标，由数乘知，显然有 OA=xi,OB=yj,OC=zk 故有 a=OM=xi+yj+zk 这就是向量的坐标表示式。也可简记做 a={x,y,z} 并称x,y,z为向量a的坐标.

由空间点的坐标定义知，起点在原点的向量OM的坐标xyz也恰是终点M的坐标，并且易验证向量的坐标表示是唯一 的。 下面来讨论向量运算的坐标表示。 设 a={x1,y1,z1}=x1i+y1j+z1k b={x2,y2,z2}=x2i+y2j+z2k 则有 a ± b = (x1i+y1j+z1k) ±(x2i+y2j+z2k) = ( x1± x2 ) i +(y1± y2) j + (z1± z2) k = { x1± x2 , y1± y2 , z1± z2 } λ a = λ( x1i+y1j+z1k） = λx1i + λy1j + λz1k = { λx1 , λy1 , λz1k }

显然，基本单位向量i,j,和k的坐标i={1,0,0},j={0,1,0},

案例4.3 设A(x1,y1,z1)、 B(x2,y2,z2)为空间两点（图4－13），求AB的坐标表示。 解 B z A 所以 即始点不在原点的向量坐标等于终点的坐标减去始点的坐标。 o y 图4－13 x

案例 已知两点P1(x1,y1,z1)和P2(x2,y2,z2) ，求线段P1P2的终点P的坐标。 解 如图所示 解 如图所示 设P (x,y,z1)为P1P2的中点，所以有 z P1 P P2 y O x

4.2.5 向量的模与方向余弦的坐标表示式 设一向量 a={x,y,z}=xi+yj+zk 4.2.5 向量的模与方向余弦的坐标表示式 设一向量 a={x,y,z}=xi+yj+zk 作OM=a，则知M点坐标为(x,y,z),且OM的模等于M到O的距离，故 这就是说。任一向量它的模等于坐标的平方和在开平方。 如何用坐标表示向量的方向呢？先引入空间两向量夹角的概念。

设a、b是任两个非零向量，把它们的始点放在一起，则a与b所在直线形成的不超过π的角 任给定向量a={x,y,z}，把向量a与x轴、y轴、z轴正向间的夹角α、β、γ称为向量a的方向角（图4－12）

或表示成

再由 可得

案例4.4 因为 所以

案例4 解

项目11向量的数量积和向量积 任务11-1: 向量的数量积和向量积 4.3向量的数量积与向量积

4.3.1向量的数量积 定义4.5 对于任意两个向量a、b，数 │a │· │b │cos(a,b) 称为向量a和b的数量积(scalar product)(或称点积(point product)、内积(inner product))，记作a·b，即 a·b=│a │· │b │cos(a,b) 数│a │cos(a,b)称为a在b上的投影。记作 Prjba=│a │cos(a,b) 同样 Prjab=│b│cos(a,b) 于是 a·b=│b │ Prjba =│a │ Prjab

由数量 积的定义可知： (1) 当a和b中有一个为零向量时，a·b=0； (2) a·a=│a │2. (3) 任意两个非零向量a,b互相垂直的充分必要条件是a·b=0.特别地有i·j= j·k = k·i=0. (4) 两非零向量a与b的夹角余弦可用标量积表示为 cos(a,b)=(a·b)/(│a │ │b │).

数量积符合下列运算规律： (1) 交换律 a·b=b·a. (2) 分配律 (a+b)·c=a·c+ b·c. (3) 结合律 (λa)·b=a·(λ b)+ λ(a · b)(λ为数）. 利用数量积的运算规律及数量积的性质，对于基本单位向量i,j,k有下列性质： （1） （2）

设 ，则 于是 ， ， ， 。 即 由此可得

若 ， 均为非零向量，则有两向量 夹角的余弦公式

，求 案例4.5已知 解： 因为 所以

案例4.6 解

解

案例4.7 试在xOy平面上，求与a={-4,3,7}垂直的单位向量。 解 设所求单位向量为b={m,n,p},由于它在xOy平面上，且是单位向量，所以满足

解

A S A

4.3.2、向量的向量积 定义4.5 给定向量a与b的向量积(cross product)(或称外积（exterior product)、叉积(cross product))是满足下面条件的一个向量，记为a×b,它的模和方向为： │a×b│= │a│· │b│sin(a,b) a×b分别垂直于a和b，且a,b, a×b符合右手规则（图4-15）。 图4-15 a × b b a

（1）当a与b中有一个为零向量时，有a×b=0 由定义易知，向量积具有如下的性质： （1）当a与b中有一个为零向量时，有a×b=0 （2）向量积a×b的模|a×b|等于以a,b为邻边的平行四边形的面积。 这就是向量积的几何意义 （3）两个非零向量a与b平行的充分必要条件是a ×b＝0 此外，向量的向量积还有如下重要的运算规律： 反交换律 b × a＝－ a × b (2) 与数乘向量的结合律 (λa) × b=a × (λb) = λ a × b (λ是实数) (3)分配律(a+b)×c=a×c＋b×c, a×(b+c)= a×b＋a×c (4) a × a=0

另外，关于基本单位向量间的向量积有 i×i=j×j =k×k i×j=k, j×k=i, k×i=j i×k=－j, k×j=－i, j×i=－k 下面利用上述性质，给出向量积的坐标表示式。

已知a={1,2,3},b={2,1,-1},求a×b及同时垂直于a，b的单位向量c0 案例4.9 已知a={1,2,3},b={2,1,-1},求a×b及同时垂直于a，b的单位向量c0 所以 ， 于是 因为 ， ，

求以A(4,10,7),B(7,9,8),C(5，5，8）为顶点的三角形的面积S. 案例4.10

如果三个向量a,b,c平行于同一个平面，则称三个向 只要判断其中两个向量积与第三个向量是否垂直； 如果垂直，则三个向量共面；否则，三个向量不共面。 即只要判断 是否为零 乘积 称为三个向量 的混合积。 对于三个向量的混合积有如下重要性质： 1

案例4.11． 判断下列各向量组是否共面？若不共面，求以它们为棱的平行六面体的体积。 等于以 为棱的平行六面体的体积。 2 案例4.11． 判断下列各向量组是否共面？若不共面，求以它们为棱的平行六面体的体积。 ， （1） (2) 所以 三向量共面； 解： （1）

， 所以 三向量不共面； ， 且

案例4.12．设有刚体以等角速度 绕l 轴旋转，计算刚体上 一点M的线速度。 解：刚体绕l 轴旋转时，可以用在l 轴上的一个向量 表示 角速度，它的大小等于角速度的大小，它的方向由右手 规则定出： 即以右手握住l 轴，当右手的四个手指的转向与刚体的 旋转方向一致时，大拇指的指向就是 的方向。 设点M到旋转轴l 的距离为a，再在l 轴上任取一点O作向 量 ，并以 表示 与 的夹角，那么 。 设线速度为 ，那么由物理学上线速度与角速度间的关系 可知， 的大小为

的方向垂直于通过M点与l轴的平面，即 垂直于 与 ； 又 的指向是使 、 、 符合右手规则。 因此有 图4—16

项目12平面方程 任务12-1: 平面方程

4.4 平面方程 这一节我们将利用向量来研究空间最简单的图形 ——平面 4.4.1平面 1. 平面的点法式方程 4.4 平面方程 这一节我们将利用向量来研究空间最简单的图形 ——平面 4.4.1平面 1. 平面的点法式方程 给定空间平面Π，把垂直于平面Π的非零向量n称为平面Π的法向量(normal vector).（图4-17） z x y O n 图4-17 M0 M

显然，一个平面的法向量有无穷多个。 已知平面Π过点M0(x0,y0,z0),且其法向量为n={A,B,C},建立平面Π的方程. 这就是平面Π上任一点M(x,y,z)的坐标所满足的方程,而不在平面Π上的点的坐标均不满足上述方程,因此，这方程即为平面Π的方程.由于此方程是由平面Π上的一个已知点及平面的一个法向量来确定的，所以称其为平面Π的点法式方程.

2.平面的一般方程 如果令 ，则点法式方程可改写为 因此平面的方程是关于x，y，z的一次方程。 反之，一个关于x，y，z的一次方程 （A，B，C不全为零） 不妨设 则此一次方程可改写为 这就是过点 ，法向量为 的平面方程。 由此可知。任一平面的方程是三元一次方程；任一三元 一次方程的图形都是一个平面。

其中的x，y，z系数就是该平面的一个法向量 的坐标， 即 。 方程 称为平面的一般式方程。 其中的x，y，z系数就是该平面的一个法向量 的坐标， 即 。 在平面的一般方程中,有一些特殊情形 (1)当D=0时，平面过原点； (4)x=0、y=0、z=0分别是yOz坐标面、 zOx坐标面和xOy坐标面. (2)当A=0时，平面平行x轴； 当B=0时，平面平行于y轴； 当C=0时，平面平行于z轴； (3)当A=B=0时，平面平行于xOy平面， A=C=0时，平面平行于zOx平面； B=C=0时，平面平行于yOz平面。

案例 求过点(1,－1 ,2)且以向量n={1,－3，4}为法向量的平面方程. 解 利用平面的点法式方程,得 (x-1)-3(y+1)+4(z-2)=0 即所要求的平面方程为 x-3y+4z-12=0

案例4.13． 已知平面上三点 ， ， ， 求平面方程。 解： 先求平面的法向量 ，因为 ， ，所以可取 而 又平面 过点，由点法式方程得 案例4.13． 已知平面上三点 ， ， ， 求平面方程。 解： 先求平面的法向量 ，因为 ， ，所以可取 而 ， ， 又平面 过点，由点法式方程得 化简得所求平面方程为

此方程称为平面的截距式方程， 而依次称为平面在轴上的截距。 案例4.14 已知平面与三条坐标轴的交点分别为 ， ， ， 求平面的方程（其中 ）。 解：先求平面的法向量 。 因为 ， ， 所以可取， 因为 ，两边除以 得 ， 此方程称为平面的截距式方程， 而依次称为平面在轴上的截距。 ， 又平面过点 ，由点法式方程得

案例4.15已知平面过点 ， ，且与 轴平行， 求平面方程。 解法1 ：先求平面的法向量 ，依题意 ， ，所以可取 而 又平面过 ，由点法式方程得 即

解法2：因为平面平行于x轴，所以可设平面方程为 分别将点 ， 代入上面方程，得 解得 取 ，得 ， ， 于是平面的方程为

案例4.16求过两点 , 且垂直于平面 的平 面方程。 解：如图4－18所示，设已知平面的法向量为 ，所求平面的法向 量为 ，那么 ， ，于是可取 而 所以 又点 在所求平面上，由点法式方程得 化简得所求平面方程为

案例 求过两点p1(1,0,-1),p2(-2,1,3)且与向量a={2,-1,1}平行的平面方程。 解 设所求平面的法向量为n.因为p1,p2在所求平面上，所以

案例 求过点(3,0,5)且平行于平面2x-8y+z-2=0的平面方程。 解 平面 2x-8y+z-2=0 的法向量为 n={2,-8,1} 所求平面与已知平面平行，故所求平面的法向量可取 n={2,-8,1} 由点法式方程得 2(x-3)-8(y-0)+1(z-5)=0 即 2x-8y+z-11=0 这就是所求平面的方程

求 过点M1(a,0,0),M2(0,b,0),M3(0,0,c)的平面方程，其中a、b、c都不为零（图）. 案例 求 过点M1(a,0,0),M2(0,b,0),M3(0,0,c)的平面方程，其中a、b、c都不为零（图）. 图 O y x z M3 n M2 M1

称方程（5）为平面的截距式方程，而a、b、c依次称为该平面在x轴、y轴、z轴上的截距(intercept).

求过点M(4,-3,-1)和x轴的平面方程. 案例 解 方法一，利用平面的点法式方程，先求平面的法向量. 由于所求平面过x轴，所以原点O(0,0,0)和向量i={1,0,0}在此平面上.现连接OM，则向量OM={4,-3,-1}也在此平面上，所以可取此平面的法向量为

方法二，利用平面的一般方程，设所求平面方程为 Ax+By+Cz+D=0 由于此平面过x轴，所以A=D=0,于是所求平面方程为 By+Cz=0 因为点M(4,-3,-1)在此平面上，所以有 B(-3)+C(-1)=0 即 C=-3B 从而所求平面方程应为 By-3Bz=0 消去B,得 y-3z=0

案例 设P0(x0,y0,z0)是平Ax+By+Cz+D=0 外的一点，求P0到此平面的距离d. P0 d

显然两平面 与 的夹角就是法向量 与 的夹角或其补角， 如图4—19所示。为简便起见，通常规定 。 其法向量分别为 和 显然两平面 与 的夹角就是法向量 与 的夹角或其补角， 如图4—19所示。为简便起见，通常规定 。

案例4.18． 设两平面 、 的方程分别为 ， ， 求 与 的夹角。 解： 所以

项目13空间直线方程 任务13-1: 空间直线方程 4.5 空间直线方程

4.5.1空间直线方程 1.空间直线的点法式方程 我们先给出直线的方向向量的概念. 给定空间直线L，把平行于直线L的非零向量v叫做L的方向向量(direction vector).显然L的方向向量不是唯一的，有无穷多个. 通过空间中一点可作且只能作一条直线，使它平行于已知的非零向量。 已知空间直线L上一点M0(x0,y0,z0)及L的一个方向向量v={l,m,n},由 建立直线L的方程.

L z v M M0 y O x 这就是直线L上任意一点M(x,y,z)的坐标满足的方程，而不在直线L上的点的坐标均不满足(1)，因此(1)式就是直线L的方程，称其为直线L的标准方程，也称为点向式方程或对称式方程.

2.空间直线的参数方程 方程（9）称为直线的参数方程.

3.空间直线的一般方程 z 空间直线L可看作两个平面Π1与Π2的交线，如图 L 设两个相交平面Π1和Π2的方程分别为： A1x+B1y+C1z+D1=0 和 A2x+B2y+C2z+D2=0 O y x 则其交线L上任一点M(x,y,z)的坐标应同时满足这两个平面方程，即满足方程组

反之，不在直线L上的点的坐标一定不能同时满足这两个平面方程，即不能满足方程组（3） 反之，不在直线L上的点的坐标一定不能同时满足这两个平面方程，即不能满足方程组（3）.因此空间直线L可以用方程组（3）来表示，称方程组（3）为空间直线L的一般方程. 由于过直线L的平面可以有无穷多个，由其中任意两个平面的方程联立的方程组均可表示直线L

案例4.19．求过点 和 的直线。 解：显然直线的方向向量 可取为 ，于是 取定点为 ，所以直线的点向式方程为

案例4.20 已知直线通过点 ，且垂直于平面 ， 求直线方程。 解： 由于直线垂直于平面，所以直线的方向向量 可取为平面 的法向量 ， 又直线通过点 ，所以直线的点向式方程为

案例4.21 求直线 ： 与平面 ： 的交点。 将直线方程化为参数方程 ， 解： 令 代入平面方程 得 解得 t=1 ， 案例4.21 求直线 ： 与平面 ： 的交点。 解： 令 ， 将直线方程化为参数方程 代入平面方程 得 。 解得 t=1 ， 所以直线与平面的交点为 。

案例4.22 化直线的一般方程 为标准式方程。 解： 因为直线在两个平面上， 所以直线的方向向量 和 同时垂直于两个平面的法向量 所以可取 再在方程中令 得 解得 ， 即 是直线上的一点，由直线的标准方程得

案例 求过点M0(-1,0,2),且垂直于平面x-y+3x+1=0的直线方程. 解 所求直线垂直于已知平面，所以平面的法向量n={1,-1,3}可以作为直线的方向向量s，即s=n={1,-1,3},由直线的点向式方程得

案例 解

4.5.2．两直线的夹角 设两直线的方程为

直线与平面的相互关系及直线间的相互关系由直线的方向向量与平面的法向量之间的关系及两直线的方向向量之间的关系来决定. 空间直线与平面的夹角是指直线的方向向量与平面的法向量的夹角(通常指锐角)的余角. 两直线的夹角是指两直线的方向向量的夹角(通常指锐角).

由直线与平面的夹角和两直线的夹角的定义及两向量垂直、平行的条件可得下面结论：

案例 求过点(1,-2,4)且与平面2x-3y+z-4=0垂直的直线方程. 因为所求直线垂直于已知平面，所以平面的法向量n={2,-3,1}就可取作直线的方向向量.故所求直线方程为 解

项目14空间曲面与空间直线 任务14-1: 空间曲面与空间直线 4.6 空间曲面与空间直线

4.6.1．空间曲面 由前面的讨论可知，在空间直角坐标系下，三元一次方程是表示空间中的平面。二次或二次以上的三元方程所表示的图形一般来说就不再是平面，而是空间曲面。特别地，三元二次方程所代表的曲面称为二次曲面。 下面，我们主要介绍一些常用的二次曲面。

4.6.1.1 球面 这就是曲面上的点的坐标所满足的方程，而不在球面上的点的坐标都不满足这个方程.因此方程（1）就是以M0(x0,y0,z0)为球心，R为半径的球面标准方程(spherical equation). 如果球心在原点，则x0=y0=z0=0,曲面方程为 x2+y2+z2=R2

若将(1)式展开，则得 关于x、y、z的二次方程，它的缺点是缺xy、yz、zx项，且平方项的系数相等.反之，具有上述特点的二次方程 Ax2+Ay2+Az2+Dx+Ey+Fz+ G=0…………(2) 若经过配方可以化成方程(1)的形式，那么它的图形就是一个球面. 案例如 x2+y2+z2 - 2 x+4y=0 经过配方后，可化为(x-1)2+(y+2)2+z2=5, 与(1)式比较知它表示球心在点M0(1,-2,0),半径为√5的球面.

案例4.25 方程 是否表示为实球面？若是，请求出球心及半径。 解： 将方程配方得 即 所以原方程代表一个球心在（1,-2,3) ，半径为6的实球面。

如图4-21所示，设C是一条空间曲线，动直线L沿定曲线C平行 移动所形成的曲面称为柱面。定曲线C称为准线，动直线L称为 柱面的母线。 4.6.1.2 柱面方程 如图4-21所示，设C是一条空间曲线，动直线L沿定曲线C平行 移动所形成的曲面称为柱面。定曲线C称为准线，动直线L称为 柱面的母线。 L C 图4-21 在此，仅对准线在坐标面上，母线平行于该坐标面的柱面 进行讨论。下面以案例子说明。

案例4.26 方程 表示什么曲面？ 在平面直角坐标系Oxy中，方程 表示圆心在原点， 半径为的圆。 在空间直角坐标系Oxyz中，此方程不含z，即不论空间点的坐标 怎样，只要其x坐标与y坐标能满足此方程,那么这些点 就在此方程 所表示的曲面S上。 反之，凡是点x的坐标与y坐标不满足此方程，不论其z坐标怎样， 这些点都不在曲面S上。 换句话说，凡是通过xoy面上的圆 上的点 ，且平 行z轴的直线都在曲面S上， 所以曲面S可看作是平行ｚ轴的直线L沿xＯy面上的圆 平行 移动所形成。它是一个柱面，称之为圆柱面。

由此可见，在空间直角坐标系中，不含ｚ的方程 是表 示一个母线平行于ｚ轴，准线是xoy面上的圆 的圆柱面。 由此可见，在空间直角坐标系中，不含ｚ的方程　　　　是表 示一个母线平行于ｚ轴，准线是xoy面上的圆 的圆柱面。 一般地，不含变量z的方程表示准线在xOy面上，母线平行于z轴的 柱面；类似，不含x的方程表示准线在yOz平面上，母线平行于轴 的柱面；不含y的方程表示准线在zOx平面上，母线平行于y轴的柱面。 例如方程 ， ， 在空间直角坐标中分别表示母线平行于z轴椭圆柱面，双曲柱面， 抛物柱面（如图4—22）。

4.6.1.3.旋转曲面 给定一条平面曲线C，它绕该平面上的一条定直线L旋转一周所形成的曲面，称为旋转曲面(surface of revolution).其中平面曲线C称为该旋转曲面的母线(generating line)，定直线L称为该旋转曲面的轴(axis). z 设在yOz坐标面上有一已知曲线C，其方程为 F(y,z)=0 (4) 把曲线C绕z轴旋转一周，就得到一个以z轴为轴的旋转曲面（图4-23）.下面来建立这个旋转曲面的方程. 图4-23 M1(0,y1,z1) M(x,y,z) O y x

在旋转曲面上任取一点M(x,y,z)，过点M作垂直于z轴的平面，则此平面与旋转曲面的交线为一个圆，与曲线C的交点为M1，其坐标为(0,y1,z1).显然y1、z1应满足方程(4),即 F(y1,z1)=0………………(5) 又因为点M1和M在垂直于z轴的平面上的同一个圆上，M1又在yOz坐标面上，所以有

这就是所求的旋转曲面上任一点M(x,y,z)的坐标所满足的方程，而不在这个旋转曲面上的点的坐标均不满足此方程，因此(6)式即为所求旋转曲面的方程. 同理可得，母线为xOy平面上的曲线，其方程为F(x,y)=0，轴为y轴的旋转曲面的方程为 母线为xOz平面上的曲线，其方程为F(x,z)=0，轴为x轴的旋转曲面的方程为

案例 解

4.6.1.4 常见二次曲面 平面曲线绕其所在平面内的一条定直线旋转一周所形成的 曲面称为旋转曲面，定直线称为旋转曲面的轴，曲线称为旋转曲 面的母线。 ①椭球面 由方程 确定的曲面称为椭球面。

以-x、-y代替x、y后方程不变，因而椭球面关于z轴对称; 在方程中，以-x代替x后方程不变，也即是说如果点(x,y,z)在曲面上，那么它关于yz面的对称点(-x,y,z)也在曲面上，因而椭球面关于面yz对称; 同理，它关于zx面及xy面也对称； 以-x、-y代替x、y后方程不变，因而椭球面关于z轴对称; 同理，它关于x轴及y轴也对称； ， 以-x、-y、-z代替x、y、z后方程不变，因而椭球面关于原点对称。 即椭球面关于三个坐标面、三条坐标轴、原点都对称，且 ， ， 得

由此可见，椭球面位于以平面 所围成的长 方体内。 用平行于xoy平面的平面 去截椭球面，截得曲线为 当 时， ,截痕为 平面上的一个椭圆，当|h|从0 变到c时，椭圆从大到小，最后缩成一点 或 。 同理，分别用平行于另外两个坐标面的平面去截椭球面所得的 截痕也有相类似的结果。 根据以上的讨论，可作出椭球面的大致图形（图4-24）

特别地，当a,b,c中有两个相等时，它是一个旋转椭球面。 图4—24 特别地，当a,b,c中有两个相等时，它是一个旋转椭球面。 如当 时，方程 是一个旋转椭球面； 当 时，方程 就是一个球面。

②单叶双曲面 由方程 确定的曲面称为单叶双曲面。 单叶双曲面与椭球面一样，也关于三个坐标面，三条坐标轴， 原点都对称。 用平面z=h截得的曲线为 它是平面z=h上的一个椭圆。

根据以上讨论，可作出单叶双曲面的图形（图4—25）。 用 平面去截单叶双曲面截得的曲线为 当 时，它是平面上的双曲线； 当 时，它是两条相交的直线。 图4—25 用平面 去截曲面的情形与此类似。 根据以上讨论，可作出单叶双曲面的图形（图4—25）。

的图形（如图4—26）讨论过程与前面类似，这里从略。 ③双叶双曲面 由方程 图4—26 所确定的曲面称为双叶双曲面。 双叶双曲面 的图形（如图4—26）讨论过程与前面类似，这里从略。

④椭圆抛物面 由方程 所确定的曲面称为椭圆抛物面。 椭圆抛物面 的图形如图4—27所示。

4.6.2、空间曲线 1.空间曲线的一般方程 前面已经讨论过，空间直线可以看作是两个平面的交线，同样空间曲线可以看作两个曲面的交线. 设曲线C是两个曲面S1和S2的交线，曲面S1与S2的方程分别为F1(x,y,z)=0和F2(x,y,z)=0 ，那么曲线C上的点的坐标必同时满足这两个方程，而不在曲线C上的点，其坐标不能同时满足这两个方程，所以曲线C可以用联立方程组 F1(x,y,z)=0 F2(x,y,z)=0 (1) 来表示，这个方程方程组叫做曲线的一般方程.

案例 方程组 表示球面 与平面 的交线，是一个圆。 案例 方程组 表示圆柱面 与球面 的交线。 将它化为如下的同解方程组 此方程组表示圆柱面 与两个平面 和 的交线，是两个圆。 由此可见，空间曲线的方程可以有不同形式表示。

案例 解 方程x2+y2+z2=1表示以原点为球心，半径为1 的球面，z=0 是xOy平面，其交线是xOy面上的以原点为圆心，半径为1的圆 x O y z

案例

z O x y

现在考虑由方程组(3) 消去变量x后所得的方程 H(x,y)=0……………………（4） 2.空间曲线在坐标面上的投影 现在考虑由方程组(3) 消去变量x后所得的方程 H(x,y)=0……………………（4） 由于方程(4) 是由方程组（3）消去z后得到的，因此当x,y,z满足方程组（3）时，前两个坐标x,y一定满足方程（4），这就说明C上的所有点都在由方程（4）所表示的柱面上.

方程（4）表示一个母线平行于z 轴的柱面，由上讨论知，这个柱面也包含曲线C 方程（4）表示一个母线平行于z 轴的柱面，由上讨论知，这个柱面也包含曲线C.以C为准线、母线平行于z 轴（即垂直xOy面）的柱面叫做曲线C关于xOy面的投影柱面.投影柱面与xOy面的交线叫做空间曲线C在xOy面上的投影曲线，简称为投影projection).因此，由方程（4）所表示的柱面就是投影柱面，而方程组 所表示的曲线就是空间曲线C在xOy面的投影.

同理，由方程组（3）消去变量x 或y ，得方程R(x,z)=0或T(x,z)=0再分别和x=0或y=0联立，就可得到曲线C 在yOz平面或zOx平面上的投影曲线方程： 案例

解

解： 由 的方程消去x变量得 关于 面的投影柱面方程为 案例4.27 求曲线 在 面及 面上的投影曲线方程。 解： 由 的方程消去x变量得 关于 面的投影柱面方程为 由 的方程消去x变量得 关于 面的投影柱面方程为 。 所以在 面及 面上的投影曲线方程分别为 和