*第 7 章 量子力学中的矩阵形式 与表象变换
7.1 量子态的不同表象,么正变换 一、直角坐标系中的类比 取平面直角坐标系x1x2的基矢为e1和e2,长度为1,彼此正交 标积 7.1 量子态的不同表象,么正变换 一、直角坐标系中的类比 取平面直角坐标系x1x2的基矢为e1和e2,长度为1,彼此正交 标积 我们将其称之为基矢的正交归一关系. 平面上的任一矢量 可以用它们来展开 称为矢量A在坐标系x1x2中的表示. A1、A2代表A在坐标系中的投影.
二、坐标系顺时针转动 现在将坐标系x1x2顺时针方向转动,得到 x1′x2′,其基矢为e1′和e2′,满足 在此坐标系中,矢量A表示成 其中投影分量是
同一个矢量A在两个坐标系中的表示有什么关系? 根据(2)和(2')式 上式分别用e1′和 e2′点乘,得 表成矩阵的形式为
或记为 把A在两坐标中的表示联系起来的变换矩阵 矩阵R的矩阵元是两个坐标系的基矢之间的标积,它表示基矢之间的关系.故当R 给定,则任何一个矢量在两坐标系间的关系也随之确定.
三、变换矩阵的性质 变换矩阵R 具有下述性质: 是R的转置矩阵 真正交矩阵 (实矩阵)
量子态和力学量(算符)的不同表示形式,称为表象。 四、不同表象中基矢的关系 量子态和力学量(算符)的不同表示形式,称为表象。 形式上与此类似,在量子力学中,按态叠加原理,任何一个量子态,可以看成抽象的Hilbert空间中的一个“矢量”.体系的任何一组对易力学量完全集F的共同本征态,可以用来构成此空间的一组正交归一完备的基矢(称为F表象) 对于任意态矢量y ,可以用它们展开 其中
这一组数 就是态(矢)在F表象中的表示, 它们分别是态矢y与各基矢的标积. 与平常解析几何不同的是: ①这里的“矢量”(量子态)一般是复量; ②空间维数可以是无穷的,甚至不可数的. 现在考虑同一个态y在另一组力学量完全集 F′中的表示. F′表象的基矢,即F′的本征态 y'a ,它们满足正交归一性
对于任意态矢量y ,可以用它们展开 这一组系数 就是态(矢)y在F'表象中的表示, 与 有何关系 ? 显然 (14)左乘 (取标积),得
其中 F′表象基矢与F表象基矢的标积 (15)式也可以写成矩阵的形式: 简记为
式(17)就是同一个量子态在F′表象中的表示与它在 F表象中表示的关系,它们通过S 矩阵相联系,且 变换矩阵S 为么正(unitary)矩阵矩阵,此变换也称为么正变换.