第三节 曲面及其方程 一 曲面方程的概念 1 曲面方程是平面解析几何中曲线方程概念的推广: 第三节 曲面及其方程 一 曲面方程的概念 1 曲面方程是平面解析几何中曲线方程概念的推广: 定义:给定空间曲面S及三元方程F(x,y,z)=0 (1) 如果它们 有如下对应关系:①.曲面S上任一点的坐标都满足方程(1). ②.不在曲面S上的点的坐标都不满足方程(1). 那么,方程 (1) 就叫做曲面S的方程.而曲面S叫做方程(1)的图形.

2 建立空间曲面方程的思想方法: 空间曲面看成流动点的轨迹. 而方程看成相应的流动坐标 所满足的等式.以此思想来建立曲面方程的方法如下: ①在所求的曲面上任找一动点M(x,y,z) ②以动点所满足的条件得到等式. ③把坐标代入,转化为方程. 下面,我们举例说明.

例1 建立球心在点M0(x0,y0,z0), 半径为R的球面方程. s F(x,y,z)=0 ①在所求的曲面上任找一动点M(x,y,z) ②以动点所满足的条件得到等式. ③把坐标代入,转化为方程.

1.设M(x,y,z)是球面上的任一点. 2.那么M点到球心M0(x0,y0,z0)的距离为半径R(这就是以动 点所满足的条件得到等式) x y z M0(x0,y0,z0) M(x,y,z)

3.把坐标代入,转化为方程. 因为球面上任一点都适合等式(*),其坐标满足(**).从而 满足方程 (2).反之,不在球面上的点必不满足(*),其坐标不满足 (**),从而不满足方程(2). 故(2)为以M0(x0,y0,z0)为球心,R为 半径的方程.如果球心为(0,0,0), 则以球心为坐标原点(0,0,0), 半径为R的球面方程为x2+y2+z2=R2

3. 空间解析几何研究的两个基本问题: (1). 已知一空间曲面,建立其方程. (2). 已知坐标x,y,z 的一个方程,研究该方程所代表的曲面 形状. 例2. 方程x2+y2+z2-2x+4y+2z=0.表示怎样的曲面的形状? 曲面代表圆心为(1,-2,-1),半径为 的球面. 一般二次方程Ax2+Ay2+Az2+Bx+cy+Dz+E=0表示球面. 特点是①平方项系数相等.②不含交叉项.

例3 球的一条直径的两端为(1,-2,3)和(-3,4,1),求此球面方程. 解:首先,平面几何中关于定比点及线段中点坐标的公式可 推广到空间中,所以球心的坐标为: 由两点的距离公式可得到,球半径为 所以球面方程为: (x+1)2+(y-1)2+(z-2)2=14

二 旋转曲面 定义:一条平面曲线C,绕该曲线C所在的平面内一直线L旋转 一周所成的曲面,叫做旋转曲面,这条直线L叫做旋转曲面的 二 旋转曲面 定义:一条平面曲线C,绕该曲线C所在的平面内一直线L旋转 一周所成的曲面,叫做旋转曲面,这条直线L叫做旋转曲面的 轴.曲线C称为旋转曲面的母线. 垂直于旋转轴的平面,如果与旋转面相交,它们的交线是中心 在轴上的圆周. 在坐标系下建立旋转曲面的方程. 设yoz平面内有一已知曲线C,方程为f(y,z)=0.将其绕z轴 旋转一周,得到一个以z轴为轴的旋转曲面.

C L x y z o 现在我们利用已知曲线方程f(y,z)=0建立 旋转曲面方程. 在曲面上找一点M.它是曲线C上对应 点(同一圆上的点) M1旋转得到的.M1(0, y1,z).因为M1在C上,它满足曲线C的 方程 f(y1,z)=0 (1)

因为M,M1到z轴的距离相等,有 代入方程(1),得到 这就是旋转曲面方程. 特点: yoz平面曲线C:f(y,z)=0,绕z轴旋转.得到的旋转曲面 . 方程z不变.而y用 代入 如果yoz平面曲线C:f(y,z)=0,绕y轴旋转.得到的旋转曲面方 方程z不变.而y用 代入

同理,我们可以得到xoy,xoz平面上的曲线,它们绕轴旋转 得到旋转曲面的方程.例如在xoy平面上的曲线f(x,y)绕x轴 旋转得到的曲面方程是x不变,把y变成 例3:把xoy坐标面上的椭圆 绕x轴旋转一周,求所 成的旋转曲面的方程. 代入,就得 解: 绕x轴旋转一周,x不变,y用 到所求的方程 这曲面叫做旋转椭球面.

三 柱 面 例4 将xoy平面上的双曲线 绕x,y轴旋转一周,求其方程 解:绕x轴一周的曲面方程为 绕y轴一周的 曲面方程为 这两种曲面都叫做旋转双曲面. 三 柱 面 定义:动直线L始终平行于一固定直线B沿另一条曲线C移动 而生成的曲面叫做柱面. 动直线L称为母线.曲线C称为柱面 的准线. 当母线与准线相互垂直时,这个柱面称为直立柱面, 简称柱面. 下面我们研究柱面方程.考虑母线平行于坐标轴的柱面.

L C B 例:方程表示怎样的曲面. 方程 表示在xoy平面上圆心在坐标原点,半径为R的一个圆. 在空间表示一曲面. 该曲面的形状是:它不含有z坐标,因此不论空间点的z坐标, 只要其横坐标和纵坐标满足方程 该点必定在这空间曲面上.反之如果点不满足方程 则它一定不在这空间曲面上.

此曲面可以看成由平行于z轴的直线沿xoy平面上 类似地,在空间直角坐标系中,方程G(x,z)=0和方程 H(y,z)=0分别表示母线平行于y轴和x轴的柱面. 在母线平行于坐标轴的柱面中,如果准线是坐标面上的 二次曲线, 则这种柱面叫做二次柱面.

z x y y x z 双曲柱面 椭圆柱面 z x y 抛物柱面：

四. 二 次 曲 面 空间解析几何中,把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面 .前面我们讲过的球面,二次柱面就属于二次曲面.现在再介绍 四. 二 次 曲 面 空间解析几何中,把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面 .前面我们讲过的球面,二次柱面就属于二次曲面.现在再介绍 几个常见的二次曲面方程,并用平行截面法来讨论这些方程 所表示的图形. 研究本节的目的是: 重积分一般在空间图形上积分,为了 便于图形和方程之间的关系

所表示的曲面叫做椭球面. 1.椭球面 方程 由方程(4)可知 这说明椭球面(4)完全包含在 一个以原点为中心的长方体内.这长方体的六个面的方程 为x=±a,y=±b,z=±c.a,b,c叫做椭球面的半轴. x y z a b c

(1)椭球面与三个坐标面的交线为 x y z a b c 这些交线都是椭圆. (2)椭球面与平行于xoy平面的z=z1的交线(|z|<c) 是平面z=z1内的椭圆.中心在z轴上. 当z1变动时,|z1|由0增大 到c,椭圆截面由大到小,最后缩小为一点.

以平面y=y1,(y1<b)或x=x1,(x1<a)去截椭球面,可得到类似的 结果. 特例:(10) (20)a=b=c,变成球面方程 x2 + y2 + z 2 = a2 所表示的曲面叫做 2.抛物面方程 椭圆抛物面 (1)用坐标面xoy(z=0)与这曲面相截,截面上一点为原点 (0,0,0).用平面z=z1(z1>0)截这曲面所得到截痕为中心在z 轴上的椭圆.

两它的个半轴分别为 和 当z1变动时,这种椭圆的中心都在z轴上. 截面椭圆随z1的增大而增大.平面z=z2(z2<0)不与这曲面相交 .原点叫做这椭圆抛物面的顶点. (2).用坐标面xoz(y=0)截这曲面所得到截痕为抛物线 x2=2pz,y=0 它的轴与z轴相重合.用平面y=y1截这曲面所得到截痕为抛物线

它的轴平行于z轴,顶点为 (3)同理可知,用坐标面yoz及其平行的平面x=x1截这曲面 的截痕也是抛物线. 综上所述,可知椭圆抛物面 (5)的形状如图示 如果p=q,那么方程(5)变成旋转抛物面 由方程

y x o z 所表示的曲面叫做双曲抛物面或鞍面用平行平面截痕法对它进行讨论,可知当p>0,q>0时,它的形状如图示. 3, 双曲面方程 所表示的曲面叫做单叶双曲面.我们也用平行截面法考察它的形状 (1)用坐标面xoy截曲面,所得截痕为中心在原点O的椭圆

它的两个半轴分别为a及b.用平行于平面z=0平面z=z1截 和

(2) )用坐标面xoz截曲面,所得截痕为中心在原点O的双曲线 它的实轴与x轴相重合,虚轴与z轴相重合.用平面 y=y1(y1≠0)截曲面,所得截痕是中心在y轴上的双曲线. 它的两个半轴的平方为 和

如果 那么双曲线的实轴平行于x轴,虚轴平行于z轴. 如果 那么双曲线的实轴平行于z轴,虚轴平行于 x 轴. 如果y1=b那么平面y=b截曲面,所得截痕为一对相交 于点(0,b,0)的直线,它们的方程为. 如果y1=b那么平面y=b截曲面,所得截痕为一对相交于点 (0,b,0)的直线,它们的方程为.

如果y1=-b那么平面y=-b截曲面,所得截痕为一对相交于点 (3)类似地,用坐标面yoz和平行于坐标面yoz的平面截曲面,得到 的截痕也是双曲线,两平面x=±a截曲面,得到的截痕是两对 相交的直线. 综上所述,可知单叶双曲面(6)的形状如图示

x y z o y x z 方程 所表示的曲面叫做双叶双曲面.同学可用平行截面法对 它进行讨论.它的形状如右图所示.

4. 二次锥面方程 所表示的曲面称为二次 锥面.有时称为锥面. 我们可以利用它和坐标面及其平行平面的截痕来考察其 形状(见图) x y z 若a=b,则方程(8)变为 这方程表示一个以z轴为旋转轴的旋转曲面 也叫做圆锥面.

x y z c 1 c’ 例3 有一立体,由z=x2+y2 和 所围成,求它在xoy面上的投影. 分析: 是圆锥面z2=x2+y2 的上半 部分, z=x2+y2 是旋转抛物面,两个曲面的交线为平面z=1 上的圆周x2 +y2=1.故投影柱面是以曲线为准线,母线平行 于z轴的圆柱面: x2 +y2=1.于是交线在xoy面上的投影为x2 +y2=1, z=0.它是xoy平面上的单位圆.所求的立体在 xoy面上投影是这单位圆所围的部分x2+y2≤1(z=0)