第八章 空间解析几何与向量代数 第一部分 向量代数 第二部分 空间解析几何 在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面 数量关系 — 2017/3/2 第八章 空间解析几何与向量代数 第一部分 向量代数 第二部分 空间解析几何 在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面 数量关系 — 坐标, 方程（组） 基本方法 — 坐标法; 向量法 1

第一节 向量及其线性运算 2

一、向量的概念 或 a , 向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量). 表示法: 有向线段 M1 M2 , 向量的模 : 向量的大小, 向径 (矢径): 起点为原点的向量. 自由向量: 与起点无关的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, 零向量: 模为 0 的向量, 3

与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量, 若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等, 记作 a＝b ; 若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, 记作 a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ; 与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量, 记作－a ; 因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 . 若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 . 4

二、向量的线性运算 1. 向量的加法 平行四边形法则: 三角形法则: 运算规律 : 交换律 结合律 三角形法则可推广到多个向量相加 . 5

6

2. 向量的减法 三角不等式 7

3. 向量与数的乘法  是一个数 ,  与 a 的乘积是一个新向量, 记作 规定 : 可见 总之: 运算律 : 结合律 分配律 因此 8

定理1. 设 a 为非零向量 , 则 ( 为唯一实数) a∥b 9

例1. 设 M 为 ABCD 对角线的交点, 10

三、空间直角坐标系 1. 空间直角坐标系的基本概念 过空间一定点 o , 由三条互相垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系. 坐标原点 z 轴(竖轴) Ⅱ 坐标原点 Ⅲ 坐标轴 Ⅳ Ⅰ 坐标面 zox面 卦限(八个) y轴(纵轴) Ⅶ Ⅵ Ⅴ Ⅷ x轴(横轴) 11

在直角坐标系下 点 M 有序数组 向径 (称为点 M 的坐标) 特殊点的坐标 : 原点 O(0,0,0) ; 坐标轴上的点 P, Q , R ; 坐标面上的点 A , B , C 12

坐标轴 : 坐标面 : 13

2. 向量的坐标表示 在空间直角坐标系下, 任意向量 r 可用向径 OM 表示. 设点 M 的坐标为 则 此式称为向量 r 的坐标分解式 , 沿三个坐标轴方向的分向量. 14

四、利用坐标作向量的线性运算 设 则 平行向量对应坐标成比例: 15

例2. 求解以向量为未知元的线性方程组 ① ② 16

例3. 已知两点 及实数 在AB直线上求一点 M , 使 17

中点公式: 18

五、向量的模、方向角、投影 1. 向量的模与两点间的距离公式 则有 19

例4. 求证以 为顶点 的三角形是等腰三角形 . 20

(1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程? 例5. 在 z 轴上求与两点 及 等距 离的点 . 思考: (1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程? (2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ? 21

提示: (1) 设动点为 利用 得 且 (2) 设动点为 利用 得 例6. 已知两点 和 求 22

2. 方向角与方向余弦 设有两非零向量 任取空间一点 O , 称  =∠AOB (0≤ ≤  ) 为向量 的夹角. 记作 类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 . 与三坐标轴的夹角 ,  ,  为其方向角. 方向角的余弦称为其方向余弦. 23

方向余弦的性质: 24

例7. 已知两点 和 计算向量 的模 、方向余弦和方向角 . 25

例8. 设点 A 位于第一卦限, 向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹 角依次为 求点 A 的坐标 . 26

3．向量在轴上的投影 空间一点在轴上的投影 27

空间一向量在轴上的投影 28

29

30

作 业 第12页 1,4,5,10,12,15,17,19 31

第二节 数量积、向量积 32

一、两向量的数量积 引例. 设一物体在常力 F 作用下, 沿与力夹角为 的直线移动, 位移为 s , 则力F 所做的功为 1. 定义 设向量 的夹角为 , 称 记作 数量积 (点积) . 33

记作 故 2. 性质 为两个非零向量, 则有  34

3. 运算律 (1) 交换律 (2) 结合律 (3) 分配律 事实上, 当 时, 显然成立 ; 35

例1. 证明三角形余弦定理 36

4. 数量积的坐标表示 设 两向量的夹角公式 37

例2. 已知三点 求  AMB . 38

二、两向量的向量积 1. 定义 定义 方向 :   且符合右手规则 向量 模 : 称 向量积 , 记作 (叉积) 思考: 右图三角形面积 思考: 右图三角形面积 S＝ 39

2. 性质 为非零向量, 则 ∥ 40

3. 运算律 (2) 分配律 (证明略) (3) 结合律 41

4. 向量积的坐标表示式 设 则 42

向量积的行列式计算法 ( 行列式计算见 P339～P342 ) 43

例5. 已知三点 求三 角形 ABC 的面积 . 44

作 业 第22页 1,2,3,6,8 45

2017/3/2 第三节 曲面及其方程 一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面 P403 四、二次曲面 46

一、曲面方程的概念 引例: 求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的 轨迹方程. 解:设轨迹上的动点为 即 化简得 2017/3/2 一、曲面方程的概念 引例: 求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的 轨迹方程. 解:设轨迹上的动点为 即 化简得 P403 说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面. 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程. 47

如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系: 定义1. 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系: (1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程; (2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程, 则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形. 两个基本问题 : (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时, 求曲面方程. (2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状 ( 必要时需作图 ). 48

例1. 求动点到定点 距离为 R 的轨迹 方程. 49

例3. 研究方程 表示怎样 的曲面. 说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 ) 都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是 一个球面 , 或点 , 或虚轨迹. 50

二、旋转曲面 定义2. 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转 一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转 轴 . 例如 : 51

建立yOz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程: 52

思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？ 53

例4. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为 的圆锥面方程. 54

例4. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为 的圆锥面方程. 解: 在yOz面上直线L 的方程为 绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为 两边平方 55

2017/3/2 例5. 求坐标面 xOz 上的双曲线 分别绕 x 轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 56

三、柱面 例6. 分析方程 表示怎样的曲面 . 解:在 xOy 面上， 表示圆C, 在圆C上任取一点 过此点作 平行 z 轴的直线 l , 的坐标也满足方程 沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆 柱面. 其上所有点的坐标都满足此方程, 故在空间 表示圆柱面 57

定义. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成 的轨迹叫做柱面. C 叫做准线, l 叫做母线.  表示抛物柱面, 母线平行于 z 轴; 准线为xoy 面上的抛物线.  表示母线平行于 z 轴的椭圆柱面.  表示母线平行于 z 轴的平面. (且 z 轴在平面上) 58

一般地,在三维空间 柱面, 母线 平行于 z 轴; 准线 xOy 面上的曲线 l1. 柱面, 母线 平行于 x 轴; 准线 yOz 面上的曲线 l2. 柱面, 母线 平行于 y 轴; 准线 xOz 面上的曲线 l3. 59

四、二次曲面 三元二次方程 (二次项系数不全为 0 ) 的图形通常为二次曲面. 其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程, 下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法 60

1. 椭球面 (1)范围： (2)与坐标面的交线：椭圆 61

为正数) (3) 截痕: 与 的交线为椭圆： 同样 及 的截痕 也为椭圆. (4) 当 a＝b 时为旋转椭球面; 当a＝b＝c 时为球面. 62

2. 抛物面 (1) 椭圆抛物面 ( p , q 同号) 特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面. (2) 双曲抛物面（鞍形曲面） 2017/3/2 2. 抛物面 (1) 椭圆抛物面 ( p , q 同号) 特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面. (2) 双曲抛物面（鞍形曲面） ( p , q 同号) 63

3. 双曲面 (1)单叶双曲面 椭圆. 平面 上的截痕情况: 时, 截痕为 双曲线: (实轴平行于x 轴； 虚轴平行于z 轴） 64 2017/3/2 3. 双曲面 (1)单叶双曲面 椭圆. 平面 上的截痕情况: 时, 截痕为 双曲线: (实轴平行于x 轴； 虚轴平行于z 轴） 64

2017/3/2 时, 截痕为 相交直线: 时, 截痕为 双曲线: (实轴平行于z 轴; 虚轴平行于x 轴） 65

(2) 双叶双曲面 双曲线 双曲线 椭圆 注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别: 单叶双曲面 双叶双曲面 66

在平面 x＝0 或 y＝0 上的截痕为过原点的两直线 . 4. 椭圆锥面 椭圆 ① 在平面 x＝0 或 y＝0 上的截痕为过原点的两直线 . 可以证明, 椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上. (椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换 得到, 见书 P316 ) 67

内容小结 1. 空间曲面 三元方程 球面 旋转曲面 如, 曲线 绕 z 轴的旋转曲面: 柱面 如,曲面 表示母线平行 z 轴的柱面. 又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 . 68

2. 二次曲面 三元二次方程 椭球面 抛物面: 椭圆抛物面 双曲抛物面 双曲面: 单叶双曲面 双叶双曲面 椭圆锥面: 69 2017/3/2 运行时, 点击“椭球面”,“抛物面”, “双曲面”, “椭圆锥面” 可显示有关内容. 椭圆锥面: 69

练习 1．指出下列方程的图形: 方 程 平面解析几何中 空间解析几何中 平行于 yoz 面的平面 平行于 y 轴的直线 圆心在(0,0) 方 程 平面解析几何中 空间解析几何中 平行于 yoz 面的平面 平行于 y 轴的直线 圆心在(0,0) 以 z 轴为中心轴的 圆柱面 半径为 3 的圆 斜率为1的直线 平行于 z 轴的平面 70

2017/3/2 计算 并求 2. 设 夹角 的正弦与余弦 . 答案: 3. 用向量方法证明正弦定理: 2000年考题 71

证: 由三角形面积公式 因 所以 72

作 业 第31页 2,3,5,7 73

2017/3/2 第四节 空间曲线及其方程 P411 74

一、空间曲线的一般方程 其一般方程为方程组 空间曲线可视为两曲面的交线, 例1,方程组 C 表示圆柱面与平面的交线 C. 75 2017/3/2 一、空间曲线的一般方程 其一般方程为方程组 空间曲线可视为两曲面的交线, 例1,方程组 C P411 表示圆柱面与平面的交线 C. 75

例2,方程组 表示上半球面与圆柱面的交线C. 76

二、空间曲线的参数方程 将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参数t 的函数: 称它为空间曲线的参数方程. 77 2017/3/2 P411 77

2017/3/2 例,圆柱螺旋线 的参数方程 P411 78

2017/3/2 例如. 将下列曲线化为参数方程表示: P411 79

2017/3/2 例如. 将下列曲线化为参数方程表示: P411 80

一般 求空间曲线 : 绕 z 轴旋转 时的旋转曲面方程 . 点 M1绕 z 轴旋转, 转过角度 后到点 则 2017/3/2 一般 求空间曲线 : 绕 z 轴旋转 时的旋转曲面方程 . 点 M1绕 z 轴旋转, 转过角度 后到点 则 P411 这就是旋转曲面满足的参数方程 . 81

2017/3/2 例如, 直线 绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程为 消去 t 和  , 得旋转曲面方程为 P411 82

2017/3/2 说明: 一般曲面的参数方程含两个参数 , 形如 P411 83

2017/3/2 三、空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线 C 的一般方程为 讨论C 在xOy 面上的投影曲线 C´ P414 84

设空间曲线 C 的一般方程为 C 在xOy 面上的投影曲线 C´为 C 在yOz 面上的投影曲线方程 C 在zOx 面上的投影曲线方程 85 2017/3/2 设空间曲线 C 的一般方程为 C 在xOy 面上的投影曲线 C´为 C 在yOz 面上的投影曲线方程 P414 C 在zOx 面上的投影曲线方程 85

例4,求曲线 在xOy 面上的投影曲线方程 86

例5, 上半球面 和锥面 二者交线在 所围的立体在 xOy 面上的投影区域为: xOy 面上的投影曲线所围之域 . 87

内容小结 空间曲线 三元方程组 或参数方程 (如, 圆柱螺线) 求投影曲线 88

作 业 第37页 1,3,4,5 89

第八章 第五节 平面及其方程 一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角 90

一、平面的点法式方程 则有 故 设一平面通过已知点 且垂直于非零向 量 求该平面的方程. ① 称①式为平面的点法式方程, 法向量. 91 2017/3/2 一、平面的点法式方程 设一平面通过已知点 且垂直于非零向 量 求该平面的方程. 则有 故 P417 ① 称①式为平面的点法式方程, 法向量. 91

例2.求过三点 的平面  的方程. 92

2017/3/2 的平面方程为 过三点 见L.P207 93

特别,当平面与三坐标轴的交点分别为 时, 平面方程为 此式称为平面的截距式方程. 分析:利用三点式 按第一行展开得 即 94

二、平面的一般方程 设有三元一次方程 ② 任取一组满足上述方程的数 则 以上两式相减 , 得平面的点法式方程 显然方程②与此点法式方程等价, 2017/3/2 二、平面的一般方程 设有三元一次方程 ② 任取一组满足上述方程的数 则 以上两式相减 , 得平面的点法式方程 P418 显然方程②与此点法式方程等价, 因此方程②的图形是 法向量为 的平面, 此方程称为平面的一般 方程. 95

2017/3/2 特殊情形 P419 96

特殊情形 • 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点的平面; 2017/3/2 特殊情形 • 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点的平面; • 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量 平面平行于 x 轴; • A x+C z+D = 0 表示 平行于 y 轴的平面; • A x+B y+D = 0 表示 平行于 z 轴的平面; P419 • C z + D = 0 表示 平行于 xOy 面 的平面; • A x + D =0 表示 平行于 yOz 面 的平面； • B y + D =0 表示 平行于 zOx 面 的平面. 97

例3. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程. 98

例4. 求通过 3点( a, 0, 0) 、( 0, b, 0) 、( 0, 0, c)的平面方程. 99

三、两平面的夹角 两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角. 设平面∏1的法向量为 平面∏2的法向量为 则两平面夹角 的余弦为 即 100

特别有下列结论： 101

例6. 一平面通过两点 和 且 垂直于平面∏: x + y + z = 0, 求其方程 . 102

是平面 例7. 设 外一点,求 到平面的距离d . (点到平面的距离公式) 103

求内切于平面 x + y + z = 1 与三个坐标面所构成 四面体的球面方程. 例8. 求内切于平面 x + y + z = 1 与三个坐标面所构成 四面体的球面方程. 104

求内切于平面 x + y + z = 1 与三个坐标面所构成 四面体的球面方程. 例8. 求内切于平面 x + y + z = 1 与三个坐标面所构成 四面体的球面方程. 解: 设球心为 则它位于第一卦限,且 从而 因此所求球面方程为 105

内容小结 1.平面基本方程: 一般式 点法式 截距式 三点式 106

2.平面与平面之间的关系 平面 平面 垂直: 平行: 夹角公式: 107

作 业 第42页 1,3,5,6,8,9 108

第八章 第六节 空间直线及其方程 109

一、空间直线一般方程 直线可视为两平面交线， 因此其一般式方程 (不唯一) 110

此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程) 二、 对称式方程 已知直线上一点 和它的方向向量 设直线上的动点为 则 故有 此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程) 111

参数式方程 设 得参数式方程 : 112

例1.用对称式及参数式表示直线 113

三. 两直线的夹角 两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角) 设直线 的方向向量分别为 则两直线夹角  满足 114

特别有: 115

例2. 求以下两直线的夹角 116

四. 直线与平面的夹角 ︿ 当直线与平面不垂直时, 直线和它在平面上的投影直 线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角; 当直线与平面垂直时,规定其夹角  设直线 L 的方向向量为 平面  的法向量为 则直线与平面夹角  满足 ︿ 117

特别有: 118

例3. 求过点(1,－2 , 4) 且与平面 垂 直的直线方程. 119

120

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124

2017/3/2 P411 125

内容小结 1. 空间直线方程 一般式 对称式 参数式 126

2. 线与线的关系 直线 直线 夹角公式: 127

3. 面与线间的关系 平面  : 直线 L : L⊥ L //  夹角公式： 128

思考题1 129

思考题解答 且有 故当 时结论成立． 130

思考题2 131

思考题解答 132

2017/3/2 P411 133

2017/3/2 P411 134

2017/3/2 P411 135

2017/3/2 P411 136

作 业 第49页 1,2,3,4,7,9,12 137