解析几何 引言 第一章 向量代数 第二章 直线与平面 第三章 常见曲面 第四章 二次曲面与二次曲线 第五章 正交变换与仿射变换 第一章 向量代数 第二章 直线与平面 第三章 常见曲面 第四章 二次曲面与二次曲线 第五章 正交变换与仿射变换 第六章 平面射影几何简介 附录 矩阵和线性方程组简介

前 言 返回 解析几何是数学类各专业的重要基础课程，不仅数 学、物理学等的许多后继课程要以此为基础，更为重要 前 言 解析几何是数学类各专业的重要基础课程，不仅数 学、物理学等的许多后继课程要以此为基础，更为重要 的是，它的思想方法和几何直观性可为许多抽象的、高 维的数学物理问题提供模型和背景。 在面向二十一世纪教学内容和课程体系改革中，关于 解析几何课程的改革已产生许多好的设想和教材。在我 校，解析几何也被作为省级重点课程建设项目进行教改 尝试。本教材的编写旨在对这几年的改革实践作一总 结。 返回

在该课程的教学过程中，常常能够感受到，现代的 学生虽然有良好的素质，但受应试教育的影响，对数学 的学习显得较为机械，对教师的依赖性较强，除了模仿 例题做习题外，在怎样读书，特别是主动提出问题，思 考问题，理解和掌握数学的思想方法，动手实践方面较 为欠缺，为此，我们在教学过程中作了一些有益的尝 试，并试图通过教材的改革来弥补这一点。 首先， 我们期盼通过教材改革来引导学生学会看 书,我们在全书的每一个章节中穿插了许多的思考题，这 些思考题直接与内容相关，但又是学生易忽视的问题， 有些是开放性的，想以此来培养学生良好的读书习惯， 学会主动思考，动手实践；

第二，按照人们的思维习惯，我们对教学内容进行 调整，按照从点到线，到面，再讨论其关系的思路，从 简单到复杂，循序渐近，使学生的思维有一个自然的升 华过程，以培养学生探索未知的数学素养； 第三，我们试图突出各章节的主要数学思想，立足为 学生建立一个整体框架，并努力阐述几何与代数的关 系，用代数的手段解决几何的问题，而省略去许多繁琐 的运算，其中部分留给学生动手解决； 第四，我们更多地注重与后继课程密切相关的二次曲 面阐述，而对二次曲线的讨论则因为思想方法相同而简 略。

实事求是地讲，新生刚进校后，并不能适应我们按 此思路的讲法，但我们还是坚持这样，只希望通过我们 的努力，让学生在后继的课程学习中学得主动，愉快。 解析几何课程是省重点课程建设项目，得到学校及数 学学院的大力支持，赵国松教授仔细审阅了本教材，并 提出了许多宝贵意见。由于编者水平有限，仍会有许多 不足之处，另外，本书的编写思想也只是一家之观念， 难免有疏漏之处，还请读者多提宝贵意见。 编 者 2000年3月

内容提要 : 本教材作为面向二十一世纪教学改革项目内容之 一，是在四川大学数学学院各专业多次讲授解析几何课 程的基础上形成的。主要内容包括向量代数，空间直线 和平面，常见曲面，二次曲面和二次曲线，正交变换和 仿射变换，射影平面简介。本教材力求为学生提供一个 整体的数学框架，注重数学思想方法的传输，努力调动 学生主动思考、解决问题的积极性，在内容编排上由浅 入深，从点到线、到面，循序渐近。 本教材可供综合性大学和师范院校数学类解析几何 课程使用，也可作为其他讲授或学习解析几何课程读者 的教材或教学参考书。

解析几何是利用代数方法来研究几何图形性质一 门学科。包括平面解析几何和空间解析几何两部分。通 过在几何空间中建立坐标系，就可将空间中的点用坐标 表出，从而图形的几何性质可以表为图形上点的坐标之 间的关系，特别是代数关系。17世纪初，法国数学家笛 卡儿(Descartes,R)和费尔马（Fermat, P.de）利用这种 关系研究几何图形，创立了解析几何。从此变量被引进 了数学，成为数学发展中的转折点，为微积分的出现创 造了条件。

我们从物理学中知道，力、速度及加速度 等这些量既有大小，又有方向，它们可以用三 维欧氏空间中的有向线段来表示，并且可以平 行移动，力（速度）的合成可以通过有向线段 的平移和平行四边形法则来进行。我们将它们 的共性抽取出来而得到向量的概念及向量的加 法运算法则。进一步研究向量的其它运算：数 与向量的乘法，从力的做功抽象出向量的内 积，由力矩引出向量的外积，从平行六面体的 体积引进向量的混合积，从而形成向量代数， 使向量成为广泛应用的基本工具之一。

第一章 向量代数 第一节 向量及其线性运算 第二节 标架与坐标 第三节 向量的内积 第四节 向量的外积 第五节 向量的混合积 返回

既有大小又有方向的量称为向量（或矢量）。我们用符号 表示。 §1 向量及其线性运算 1.向量的概念 既有大小又有方向的量称为向量（或矢量）。我们用符号 表示。

一个向量 可以用有向线段 表示，作图 时都用有向线段。 设有向线段 表示向量 ，则有向线段 的长度 称为向量 的长度或模。记为 。 有向线段从起点到终点的指向称为向量的方 向。 （如图1.1） 我们将代数运算引到向量中去，来研究图形 性质。这种方法具有直观性，更容易理解图形 性质的几何意义，并且它在物理学等中有重要 的应用。此外向量的概念及其运算也为线性代 数中深入理解向量空间提供了直观的几何背景。

得到,则称这两个向量相等（图1.2）。当用 有向线段 表示向量 时，方便起见，记 为 。 B 图1.1 图1.2 A 图1.1 图1.2 如果一个向量能够由另一个向量经平行移动 得到,则称这两个向量相等（图1.2）。当用 有向线段 表示向量 时，方便起见，记 为 。

这样定义的向量就表示只要两个有向线段 有相等的长度和相同的方向就可表示同一个向 量，与有向线段的起点无关。或者说，向量是 自由的或可以平行移动（保持长度和方向不 变）的有向线段。

长度为零的向量称为零向量，记为0。 长度为1的向量称为单位向量。 两向量称为同向的（反向的），是指从同一起点引等 于它们的有向线段时在同一条直线上，且它们的终点分 布在这起点的同一侧（两侧）。与 同向的单位向量 记为 。 与 长度相等但反向的向量称为 的反向量，记为 。 思考题：平面中具有同一始点的所有单位向量的终点 的几何轨迹是什么图形？

2.向量的加法 回忆物理学中力、速度、位移的合成法。 定义1.1 对于向量 ,作有向线段 把 表示的向量 称为 与 的和,记为 定义1.1 对于向量 ,作有向线段 把 表示的向量 称为 与 的和,记为 （图1.3），即 由此公式表示的向量加法规则称为“三角形法则”。 图1.3 B C A

注：从同一始点作 ，再以OA和OB为 边作平行四边形OACB，则对角线 也表示向量 与 的和 （图1

作为加法的逆运算，减法定义如下： 定义1. 2 向量的减法 。 减法的几何意义如图1. 5, 即 。 图1 作为加法的逆运算，减法定义如下： 定义1.2 向量的减法 。 减法的几何意义如图1.5, 即 。 图1.5 由向量加法的三角形法则容易得到如下的三角不等式 其中， 、 为任意向量。它的几何意义是，三角形两 边之和大于第三边。这个不等式可以推广到任意有限 多个向量和的情形： B A O

3. 数量与向量的乘法 定义1.3 实数 与向量 的乘积 是一个向量，它 的长度为 ，它的方向当 时与 相同， 定义1.3 实数 与向量 的乘积 是一个向量，它 的长度为 ，它的方向当 时与 相同， 当 时与 相反。当 时，则 。 设 ，因为 与 同向，且 所以 ，这称为把 单位化。

对于任意的向量 、 和任意实数 ，数量与向 量的乘法满足以下规律 （1）可以用定义1 对于任意的向量 、 和任意实数 ，数量与向 量的乘法满足以下规律 （1）可以用定义1.3直接验证。 （2）的证明：若 或 中有一个为零时，则 （2）显然成立。下面设 。

情形1 若 ，则 与 同向，且 与 同向，因此有 又有 因此 故

情形2 若 ，不妨设 。 1° 若 ,则 而 （2）成立。 2° 若 ,则由情形1知 即得 ， 从而有 3° 若 ,则由情形1知 类似于2°可得（2）式。

（3）的证明 若 或者 中有一个为0，则（3） 显然成立。下面设 。 情形1 若 平行，则由定义1 （3）的证明 若 或者 中有一个为0，则（3） 显然成立。下面设 。 情形1 若 平行，则由定义1.3后面的思考题结论 知存在实数 使 ，于是

情形2 若 不平行，那么当 时，如图1.6作 ，于是 则 ∽ ，从而D必在直线OB上，于是 ，又 。 故有 当 时，可作类似的讨论。 C A 图1.6

4.共线、共面的向量组 向量的加法和数量与向量乘法统称为向量的线性运 算。 设 是一组向量， 是一组实数，则 是一个向量，称它为向量组 设 是一组向量， 是一组实数，则 是一个向量，称它为向量组 的一个线性组合。 定义1.4 平行于同一直线（平面）的向量组称为共 线的（共面的）向量组。 零向量与任意向量共线；共线的向量组一定共面； 若 或 ，则 共线。

定义1.5 若对于向量组 ，存在不全为 0的实数 ，使 则称向量组 线性相关，否则称向量组线 性无关。 思考题：对照此定义，采用陈述的方式，写出向量 组线性无关的定义。

命题1. 1 两个向量 共线的充要条件是 线性相关。 证明 必要性 命题1.1 两个向量 共线的充要条件是 线性相关。 证明 必要性.若 中有一个为零向量，不妨设 ， 则对实数 有 因而 线性相关。 若 都不为0，且同向，则 从而有 令 则有 故 线性相关。若 反向，可作类似的讨论。

充分性。设存在不全为0的实数 使 不妨设 则有 ，故 共线。 思考题：请考虑两向量线性无关的充要条件及其几何 特征。 推论1 充分性。设存在不全为0的实数 使 不妨设 则有 ，故 共线。 思考题：请考虑两向量线性无关的充要条件及其几何 特征。 推论1.1 若 共线且 ，则存在唯一的实数 使得 。 命题1.2 三向量 共面（不共面）的充要条件是 线性相关（线性无关）。 此命题的证明留作习题。 思考题：在平面和空间中各画出一线性相关和线性无 关的向量组。

定理1. 1 设 不共线，则 与 共面的充要条件 是存在唯一的一对实数 使得 证明 必要性。由 与 共面及命题1 定理1.1 设 不共线，则 与 共面的充要条件 是存在唯一的一对实数 使得 证明 必要性。由 与 共面及命题1.2知，存在不 全为0的实数 使 我们断定 。否则有不全为0的实数 使得 这与 不共线矛盾。

因而我们得到 令 那么 假如另有 使 则 因为 不共线，所以必有 于是 。唯一性得证。 充分性是显然的。

定理1. 2 设 不共面，则对空间中任一向量 均存在唯一的数组（ ），使得 证明 如图1 定理1.2 设 不共面，则对空间中任一向量 均存在唯一的数组（ ），使得 证明 如图1.7,取一点O,作 过D作一直线与OC平行，且与OA和OB决定的平面交于 M。过M作一直线与OB平行，且与OA交于N。 因为 所以分别存在实数 使得 从而 C D O B N M A 图1.7

唯一性. 若 则得 因为 不共面,所以 例1. 1 设A,B是不同的两点,则点P在直线AB上的充要 条件是存在唯一的一对实数 ,使得 （ 唯一性. 若 则得 因为 不共面,所以 例1.1 设A,B是不同的两点,则点P在直线AB上的充要 条件是存在唯一的一对实数 ,使得 （*） 其中,O是任意取定的一点.而P在线段AB上的充要条件是 且(*)成立.

证明 必要性. 设P在直线AB上,则 共线, 且 由推论1. 1，存在唯一的k使 任取一点O(如图1 证明 必要性.设P在直线AB上,则 共线, 且 由推论1.1，存在唯一的k使 任取一点O(如图1.8),由上式得 即有 令 因而 且 由k的唯一性知 是唯一的. O A B P 图1.8

充分性. 若对某一点O,(. )式成立,则 因而 共线,所以P在直线AB上. 对于后半部分,由于P在线段AB上,所以 同向, 故( 充分性.若对某一点O,(*)式成立,则 因而 共线,所以P在直线AB上. 对于后半部分,由于P在线段AB上,所以 同向, 故(*)成立且有 即 ,从而(*)中的 由 因而 即P在线段AB上.

例1. 2 如图1. 9,已知 及一点O, 试证O是 的重心的充要条件是 证明 必要性 例1.2 如图1.9,已知 及一点O, 试证O是 的重心的充要条件是 证明 必要性.设O是 的重心,P,Q,R分别是三边 BC,CA,AB的中点，则 同理得到 于是 A B C O P Q R 图1.9

充分性。设 ，而 的重心 为 。则由必要性知 。 但是 故 。

同学的简单解法 必要性，由于R是AB的中点，则 而且 故有 充分性，设R是AB的中点，则 由条件 得 于是，点O在中线CR上，并且 而且 故有 充分性，设R是AB的中点，则 由条件 得 于是，点O在中线CR上，并且 因此，点O为三角形的重心。

§2 标架与坐标 向量法的优点在于比较直观，但是向量的运算不如数 的运算简洁，为了取长补短，我们给向量引进坐标，在 欧氏空间中引进标架，利用标架和向量的坐标给点引进 坐标，把向量法与坐标法结合起来使用。 1.标架、向量和点的坐标 2.用坐标作向量的线性运算

1.标架、向量和点的坐标 欧氏空间中任意三个有次序的不共面的向量组 称为欧氏空间中的一个基。根据定理1.2,对于欧氏空间中 任一向量 ，存在唯一的数组（ ）,使 我们把有序三元实数组( )称为 在基 下的坐标，记为 。 在欧氏空间中任意取定一点O，则任意一点M与向量 一一对应，我们把向量 称为点M的位置向量 （或径矢）。 为方便起见，以后用“空间”表示“三维欧氏空间”。

定义2.1 空间中一个点O和一组基 合在一起称 为空间的一个仿射标架或仿射坐标系，简称标架，记 为 ，其中，点O称为标架原点， 称为坐标向量。对于空间中任一点M，把它的位置向量 在基 下的坐标称为点M在仿射标架 中的坐标。若 ，则点M的坐 标记为 。 由定义2.1知，点M在 中的坐标为 当且仅当 以后我们把向量 在基 中的坐标也称为 在 仿射标架 中的坐标。

空间中取定一个标架后，由定理1.2知，空间中全体 向量的集合与全体有序三元实数组的集合之间就建立了 一一对应；通过位置向量，空间中全体点的集合与全体 有序三元实数组的集合之间也建立了一一对应的关系。

设 为空间的一个标架，过原点O，且分 别以 为方向的有向直线分别称为x轴、y轴、z轴， 统称为坐标轴。由每两条坐标轴决定的平面称为坐标平 面，它们分别是xOy,yOz,zOx平面。坐标平面把空间分 成八个部分，称为八个卦限（图1.10）， 在每个卦限内，点的坐标的符号 不变。 x y z I II III IV V VI VII VIII 图1.10 O

将右手四指（拇指除外）从x轴方向弯向y轴方向 （转角小于π），如果拇指所指的方向与z轴方向在xOy 平面的同侧，则称此坐标系为右手系，否则称为左手系 （图1.11）。 右手系 左手系 图1.11

各卦限内点的坐标符号如下表。 卦 限坐标 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ x + - y z

定义2.2 如果 是两两垂直的单位向量， 则 称为直角标架或直角坐标系。 直角标架是特殊的仿射标架。点（或向量）在直 角标架中的坐标称为它的直角坐标，在仿射标架中的坐 标称为它的仿射坐标。 2.用坐标作向量的线性运算 取定标架 ，设 ，则容易证明下列命题 命题2.1 (1) . (2) (3)对于任意实数 ，有 .

定理2. 1 向量的坐标等于其终点坐标减去其始点坐 标。 证明 对于向量 ，设 ， 则 因为 ， 所以 设向量 ，那么我们有 定理2 定理2.1 向量的坐标等于其终点坐标减去其始点坐 标。 证明 对于向量 ，设 ， 则 因为 ， 所以 设向量 ，那么我们有 定理2.2 共线当且仅当 的对应分量成比 例。

思考题：设 ,推导三点共线 的充要条件。 对于线段 如果P点满足 则称点P分线段 成定比 , 当 >0 时 同向，点P在线段 内，称P为内分点；当 <0时， 反向，点P在线段 外，称P为外分点； 当 =0时， 重合。假若 =－1，则， ,这与 矛盾， 所以 ≠－1。

请读者自证下列命题： 命题2.1 设 则分线段 成定比 的分点P的坐标是 推论2.1 线段 的中点坐标为

例 用坐标法证明四面体对棱中点的连线交于一点。 证明 设四面体ABCD（图1 例 用坐标法证明四面体对棱中点的连线交于一点。 证明 设四面体ABCD（图1.12）的AB,AC,AD,BC, CD,DB的中点分别为 。 取仿射标架 则各点的坐标分别为： A B C D E F G P · 图1.12

假设 与 交于点P(x,y,z)，设 则P的坐标为 解得k=l=1从而交点P存在，且P的坐标为 。 设 与 交于 ,同理可得 所以P与 重合，即 交于一点。 另法：先后求出 的中点坐标，知道它 们的坐标都相同，因而三线交于一点。

§3 向量的内积 物理学中，一个质点在力 的作用下，经过位移 , 则 所作的功为 其中， 是 与 的夹角。 类似于功W这样的数量，我们 引进向量的内积。 图1.13

1.向量内积的定义和性质 定义3.1 两向量 的内积，记为 ，规定为 一个实数： 其中， 是 的夹角，且 。 若 中有一个是零向量，则 。 由定义3.1可得 当 时，

命题3.1 互相垂直当且仅当 。 (3.1)和(3.2)表明了向量的内积，向量的长度和向量 的夹角之间的关系。 对任意的向量 及任意实数 ，向量的内积 满足以下规律： ，等号当且仅当 时成立。

证明：(1),(2),(4)由定义容易证明，请读者自证之。 对于（3），若 中有零向量，则等式成立。以下设 皆为非零向量。如图1 证明：(1),(2),(4)由定义容易证明，请读者自证之。 对于（3），若 中有零向量，则等式成立。以下设 皆为非零向量。如图1.14,设 过A,B,D分别向OC所在直线作垂线，垂足分别为 则 由平面几何知识易证 因而 . A B C D O 图1.14

例3. 1 证明三角形的三条高交于一点。 证明 设 边AB,CA上的高交于O点，以O为起点， 以A,B,C为终点的向量分别记为 （图1 例3.1 证明三角形的三条高交于一点。 证明 设 边AB,CA上的高交于O点，以O为起点， 以A,B,C为终点的向量分别记为 （图1.15）。 以上两式相加，可得 。 所以 中BC边上的高通过O点。这就证 明了三高相交于一点。 A B C O 图1.15

例3.2 用向量法证明余弦定理 证明 如图1.16所示， 故 A B C 图1.16

2.用坐标计算向量的内积 取仿射标架 , 则 可见只要知道坐标向量 之间的内积（9个数，实 质上只有6个数）就可以求出任意两个向量的内积。这九 个数称为仿射标架 的度量参数。 如果 是直角标架， 则有 于是由(3.3)得到 (3.4)

定理3. 2 在直角坐标系中，两向量的内积等于它们 的对应坐标的乘积之和。 在直角坐标系中，由定理3 定理3.2 在直角坐标系中，两向量的内积等于它们 的对应坐标的乘积之和。 在直角坐标系中，由定理3.2得到，向量 的长度为 由此得空间两点 间的 距离公式为：

3.方向角和方向余弦 在直角坐标系 中，向量 与坐标向量 的交角（大于等于0，小于等于 ）称为 的方 向角，分别用 来表示，它们的余弦 称为 的方向余弦。

因为 所以 同理 由此可得 因而 与方向余弦成比例的任一个数组（ ），都称为 向量 的一组方向数。即如 则 为 的一组方向数。一个向量的方向余弦是唯 一的，但方向数有无数多组。

§4 向量的外积 在力学中，我们遇见过这样的问题：一个力 作用 在棒的一端P，使棒绕其支点O转动，这就产生了力矩 ，其大小为 其方向为：让右手四指从 弯向 （转角小于π）， 则拇指指向为 的方向（图1.17）。类似于从 和 求力矩 这样的向量运算， 我们引进向量的外积运算。 O P 图1.17

1.向量外积的定义及性质 定义4.1 两个向量 的外积仍是一个向量，记作 , 它的长度规定为 它的方向规定为：与 均垂直，并且使 成 右手系（图1.18）的指向。 如果 中有一个为零向量， 则规定 。 两向量外积模的几何意义： 为邻边的平行四边形 的面积。 图1.18

定理4.1 对于任意向量 和任意实数 ， 有

证明 （1）由定义4.1立即得到。 （2）当 或 时，显然成立。因此， 设 不共线， ≠0。 当 时， 同向，所以， 从而 同向，故有

定义4.2 设 所在直线为 。由 分别 向 引垂线（图1.19）,其垂足分别为 ，则向量 称为 在 上的射影。如果 那么实 数x称为 在方向 上的分量，记为 。 A B 图1.19

从图1.19和图1.20容易得出 另外对任意实数 还有 (4.4)由(4.2)容易推得。

由向量的内积的定义和(4.2)得，当 时， 有 以向量 的起点在平面上的投影作为起点，以 的终 点在平面上的投影为终点的向量 称为向量 在此平面 上的投影。显然，相等的向量 有相等的投影；向量和的投影 等于向量投影的和（图1.21）。 图1.21

设有两个向量 和 ，用 表示向量 在与向量 垂直的平面上的投影（图1.22），这时有 其证明是容易的，留作习题。

（3）的证明 先证左分配律。如果 则结论是明 显的。其次只须证明当 为单位向量时（3）成立即可， 因为在一般情形下，将由性质（2）得出。因而设 为 单位向量。我们用 和 表示向量 和 在与向量 垂 直的平面上的投影（图1.23）。这时向量 和 可以相应地由向量 绕 右转 而得到。因此 而由于 因此 右分配律由性质（1） 和左分配律立即得到。 图1.23

例1 设刚体以匀角速度 绕 轴旋转,求刚体 上任一点 的线速度 . 解 刚体绕 轴旋转时,可以用 轴上的一个向量 例1 设刚体以匀角速度 绕 轴旋转,求刚体 上任一点 的线速度 . 解 刚体绕 轴旋转时,可以用 轴上的一个向量 表示角速度,它的大小等于角速度的大小,它的方向由 右手法则决定:右手握住 轴,当右手的四个手指的指 向与刚体的旋转方向一致时,大拇指的指向就是 的 方向.(如图)

设点 到旋转轴 的距离为 ,在 轴上任取一 点 ,作向量 , 表示 与 夹角,则 . 由物理学知道线速度 的大小为 , 的方向垂直于通过点 与 轴的平面, 且 的指向使 符合右手规则,因此有 .

2.用坐标计算向量的外积 空间中取一个仿射标架 ,设， 则 由此可见，只要知道坐标向量之间的外积， 就可求出 。

如果 是右手直角标架，那么有 于是 作为一种记忆方式，(4.7)可以写成 此行列式按第一行展开。

例2 已知BC是梯形ABCD的一腰（图1.24），E是BC 的中点。证明 的面积是梯形面积的一半。 证明 设 ，则 所以 即

§5 向量的混合积 1.向量的混合积及其性质 2.用坐标计算向量的混合积

1. 向量的混合积及其性质 我们先来讨论平行六面体 （图1 1.向量的混合积及其性质 我们先来讨论平行六面体 （图1.25） 的体积问题。设 ，则底面积为 上的射影， 因此 从而平行六面体的体积为 称为向量的混合积， 记为（ ）。 C H A D B 图1.25

定理5.1 三个不共面向量 的混合积的绝对值 等于以 为棱的平行六面体的体积。 混合积有以下两条常用的性质： 性质（1）、（2）的证明较简单，留作习题。 性质（2）表明三个有序向量的混合积中的外积与内 积运算可以交换，因此混合积记作（ ）。 混合积( )中交换任意两个向量的位置,混合积 都要改变符号,即

2．用坐标计算向量的混合积 取仿射标架 ， 则 于是，只要知道坐标向量的混合积（ ）， 就可按（5.1）计算混合积（ ）。

定理5.2 在右手直角坐标系中，设 则 定理5.2表明了三阶行列式的几何意义：三阶行列式 的绝对值等于其三个行（或列）向量在右手直角坐标系 中构成的平行六面体的体积。

二重外积公式： 证明：如果 中有零向量，或 共线， 或 ，则两边都是零向量。 设 都是非零向量， 不共线。 首先，当 时证明结论，即 此时，有 共面，因此存在 使

两边分别与 作内积，得 即 由(1),(2)解得 故 其次，设 因为 不共面， 对任意的 ，存在 使

因此 此公式也可以用坐标的方法证明，即计算两边向量的坐标相同。