第十五章 虚位移原理 主讲：姚庆钊 §15-1 约束·虚位移·虚功 § 15-2 虚位移原理 §15-3 广义坐标和广义自由度

教学基本要求 对约束方程、广义坐标、自由度、理想约束和虚位移有清晰的概念，并会计算虚位移；能正确地运用虚位移原理求解物体系的平衡问题；对广义力和广义坐标形式的虚位移原理有初步的认识和理解。 第十五章 虚位移原理

引 言 一、静力学分为刚体静力学和分析静力学。 引 言 一、静力学分为刚体静力学和分析静力学。 1、刚体静力学（几何静力学）：用几何的方法研究刚体的平衡；只考虑约束的力的作用方面，直接研究主动力和约束反力的关系。 2、分析静力学：考虑约束的限制运动方面，考虑约束的限制运动方面，通过主动力在约束所容许的微小位移上的元功，揭示质点系的平衡条件。 第十五章 虚位移原理

在刚体静力学中，处理刚体或刚体系统的平衡问题的步骤为 引 言 在刚体静力学中，处理刚体或刚体系统的平衡问题的步骤为 ⑴ 选取研究对象，取分离体； ⑵ 进行受力分析，画受力图； （解除约束，代之以约束反力） ⑶ 建立平衡方程； ⑷ 求解平衡方程。 在上述求解过程中，往往需要把某些约束反力从方程中消去，以达到求解的目的。 这种先建立主动力与约束反力的关系，随后又消去某些约束反力的方法，常给解题过程带来麻烦，尤其是复杂系统。 第十五章 虚位移原理

 以整个系统为研究对象，根据约束的性质，分析整个系统可能产生的运动，通过主动力在约束所容许的微小位移上的元功，揭示质点系的平衡条件。 引 言 二、用虚位移原理处理刚体或刚体系统的 平衡问题的基本思想  以整个系统为研究对象，根据约束的性质，分析整个系统可能产生的运动，通过主动力在约束所容许的微小位移上的元功，揭示质点系的平衡条件。 在上述求解过程中，无须解除约束，只有在需要求解约束反力（包括内力）时，才有针对性地解除约束。 第十五章 虚位移原理

§15-1 约束·虚位移·虚功 1.约束及其分类 第十五章 虚位移原理 限制质点或质点系运动的条件称为约束。 §15-1 约束·虚位移·虚功 1.约束及其分类 限制质点或质点系运动的条件称为约束。 限制条件的数学方程称为约束方程。 （1）几何约束和运动约束 限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为 几何约束。 如： 第十五章 虚位移原理

§15-1 约束·虚位移·虚功 第十五章 虚位移原理

§15-1 约束·虚位移·虚功 限制质点系运动情况的 运动学条件称运动约束。 第十五章 虚位移原理

§15-1 约束·虚位移·虚功 第十五章 虚位移原理 （2）定常约束和非定常约束 约束条件随时间变化的称非定常约束。 §15-1 约束·虚位移·虚功 （2）定常约束和非定常约束 约束条件随时间变化的称非定常约束。 不随时间变化的约束称定常约束。 第十五章 虚位移原理

§15-1 约束·虚位移·虚功 约束方程中包含坐标对时间的导数,且不可能积分为有限形式的约束称非完整约束。 §15-1 约束·虚位移·虚功 （3） 其它分类 　　约束方程中包含坐标对时间的导数,且不可能积分为有限形式的约束称非完整约束。 约束方程中不包含坐标对时间的导数，或者约束方程 中的积分项可以积分为有限形式的约束为完整约束。 　 约束方程是等式的，称双侧约束（或称固执约束）。 约束方程为不等式的，称单侧约束（或称非固执单侧约束） 。 本章只讨论定常的双侧、完整、几何约束。 n为质点数，S 为约束方程数. 第十五章 虚位移原理

§15-1 约束·虚位移·虚功 2. 虚位移 某瞬时，质点系在约束允许的条件下，可能实现的任何无限小的位移称为虚位移 。只与约束条件有关。 §15-1 约束·虚位移·虚功 2. 虚位移 　某瞬时，质点系在约束允许的条件下，可能实现的任何无限小的位移称为虚位移 。只与约束条件有关。 虚位移 等 实位移是质点系真实实现的位移，它与约束条件、时间、主动力以及运动的初始条件有关 。 实位移 等 第十五章 虚位移原理

§15-1 约束·虚位移·虚功 3.虚功 4.理想约束 如果在质点系的任何虚位移中,所有约束力所作虚功的和等于零，称这种约束为理想约束。 §15-1 约束·虚位移·虚功 3.虚功 力在虚位移中作的功称虚功。 4.理想约束 　　如果在质点系的任何虚位移中,所有约束力所作虚功的和等于零，称这种约束为理想约束。 光滑固定面约束、光滑铰链、无重刚杆，不可伸长 的柔索、固定端、轮子只滚不滑等约束为理想约束。 第十五章 虚位移原理

§ 15-2 虚位移原理 对于具有理想约束的质点系,其平衡的充分必要条件是:作用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所作的虚功的和等于零。 § 15-2 虚位移原理 设质点系处于平衡,有 即 或记为 此方程称虚功方程,其表达的原理称虚位移原理或虚功原理， 　　对于具有理想约束的质点系,其平衡的充分必要条件是:作用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所作的虚功的和等于零。 解析式为 第十五章 虚位移原理

§ 15-2 虚位移原理 第十五章 虚位移原理 例15-1 已知：如图所示,在螺旋压榨机的手柄AB上作用一在水平 § 15-2 虚位移原理 例15-1 已知：如图所示,在螺旋压榨机的手柄AB上作用一在水平 面内的力偶(　 ),其力矩　 ,螺杆 的导程为　. 求：机构平衡时加在被压物体上的力。 第十五章 虚位移原理

§ 15-2 虚位移原理 解: 以手柄、螺杆和压板组成的系统为研究对象 受力如图。 给虚位移 第十五章 虚位移原理

§ 15-2 虚位移原理 第十五章 虚位移原理 例15-2 已知：图中所示结构,各杆自重不计,在Ｇ点作用一铅直向上的 力Ｆ, . § 15-2 虚位移原理 例15-2 已知：图中所示结构,各杆自重不计,在Ｇ点作用一铅直向上的 力Ｆ, 　.　　 求：支座Ｂ的水平约束力。 第十五章 虚位移原理

§ 15-2 虚位移原理 　　解:解除B端水平约束,以力 代替,如图 (b)。 代入虚功方程 第十五章 虚位移原理

§ 15-2 虚位移原理 如图在CG 间加一弹簧,刚度k,且已有伸长量　 ,仍求 。 在弹簧处也代之以力,如图. 解得 第十五章 虚位移原理

§ 15-2 虚位移原理 第十五章 虚位移原理 例15-3 已知：如图所示椭圆规机构中,连杆AB长为l,滑块Ａ,Ｂ与杆 § 15-2 虚位移原理 例15-3 已知：如图所示椭圆规机构中,连杆AB长为l,滑块Ａ,Ｂ与杆 重均不计,忽略各处摩擦,机构在图示位置平衡. 求：主动力 之间的关系。 第十五章 虚位移原理

§ 15-2 虚位移原理 第十五章 虚位移原理 解: (1) 给虚位移 由 ( 在 A ,B 连线上投影相等) 代入虚功方程,有 即 § 15-2 虚位移原理 解: (1) 给虚位移 由 ( 在 A ,B 连线上投影相等) 代入虚功方程,有 即 ——直接法（几何法） 第十五章 虚位移原理

§ 15-2 虚位移原理 (2) 用解析法. 建立坐标系如图. 有 得 第十五章 虚位移原理

§ 15-2 虚位移原理 (3) 虚速度法 定义: 为虚速度 代入到 由速度投影定理,有 代入上式 得 第十五章 虚位移原理

§ 15-2 虚位移原理 第十五章 虚位移原理 例15-4 已知：如图所示机构,不计各构件自重与各处摩擦。 § 15-2 虚位移原理 例15-4 已知：如图所示机构,不计各构件自重与各处摩擦。 求：机构在图示位置平衡时,主动力偶矩Ｍ与主动力Ｆ之间的关系。 第十五章 虚位移原理

§ 15-2 虚位移原理 解: 给虚位移 由图中关系有 代入虚功方程得 第十五章 虚位移原理

§ 15-2 虚位移原理 用虚速度法: 代入到 用建立坐标,取变分的方法,有 解得 第十五章 虚位移原理

§ 15-2 虚位移原理 例15-5 已知：如图所示无重组合梁. 求:支座Ａ的约束力 . 第十五章 虚位移原理

§ 15-2 虚位移原理 解：解除A处约束，代之 ，给虚位移，如图（b） 代入虚功方程,得 第十五章 虚位移原理

§ 15-2 虚位移原理 例15-6 已知：平面结构，杆重和摩擦不计。 求：支座B和A处的约束力。 第十五章 虚位移原理

§ 15-2 虚位移原理 解：1. 支座B处约束力. 虚功方程 P 虚位移之间的关系 第十五章 虚位移原理

§ 15-2 虚位移原理 2.支座A处水平约束力 虚功方程 虚位移之间的关系 第十五章 虚位移原理

§ 15-2 虚位移原理 支座A处铅直约束力 虚功方程 虚位移之间的关系 第十五章 虚位移原理

§ 15-2 虚位移原理 第十五章 虚位移原理 例15-7 已知：半径为R的三个齿轮与系杆构成行星机构，由撑杆 § 15-2 虚位移原理 例15-7 已知：半径为R的三个齿轮与系杆构成行星机构，由撑杆 CD支撑。M2和M3分别作用于轮Ⅱ，Ⅲ上，系杆 受力偶M作用。 求：撑杆内力。 第十五章 虚位移原理

§ 15-2 虚位移原理 解： 虚功方程 虚位移之间的关系 第十五章 虚位移原理

§15-3 自由度和广义坐标 一、自由度 在完整约束的条件下，确定质点系位置的独立参数的个数等于该质点系的自由度数。 §15-3 自由度和广义坐标 一、自由度 在完整约束的条件下，确定质点系位置的独立参数的个数等于该质点系的自由度数。 ⑴以质点作为质点系基本单元 质点系由n个质点、s个完整约束组成，则其自由度为 N = 3n－ s x y o φ l M 对平面问题，如Oxy平面内，zi≡0，则 N = 2n－ s 如单摆，n = 1，s = 1， ∴ N = 2×1－1=1 第十五章 虚位移原理

§15-3 自由度和广义坐标 ⑵以刚体作为质点系基本单元 N = 6n－ s N = 3n－ s ω 刚体数n = 1， 约束数s = 2， §15-3 自由度和广义坐标 ⑵以刚体作为质点系基本单元 质点系由n个刚体、s个完整约束组成，则其自由度为 N = 6n－ s 对平面问题，如Oxy平面内，zi≡0， φx≡0， φy≡0，则 N = 3n－ s x o y 如轮C在水平轨道上纯滚动 C xC P vC φ ω 刚体数n = 1， 约束数s = 2， ∴ 自由度数为 N = 3×1－ 2 = 1 yC = r vC－rω=0 第十五章 虚位移原理

再如平面双摆由刚体OA、AB及铰链O、A组成。 §15-3 自由度和广义坐标 再如平面双摆由刚体OA、AB及铰链O、A组成。 刚体数n = 2， x y o A B φ1 φ2 l1 l2 约束数s = 4， ∴自由度数为 N = 3×2－ 4 = 2 约束方程 第十五章 虚位移原理

§15-3 自由度和广义坐标 二、广义坐标 在完整约束的质点系中，广义坐标的数目等于该系统的自由度数。 §15-3 自由度和广义坐标 二、广义坐标 确定质点系位置的独立参数称为广义坐标。 在完整约束的质点系中，广义坐标的数目等于该系统的自由度数。 如曲柄连杆机构有一个自由度，可任选xA、 yA 、 xB之一为广义坐标，而选  更方便。 x o y l r A B  第十五章 虚位移原理

再如平面双摆有两个自由度，选 1 、  2为广义坐标比较合适。 §15-3 自由度和广义坐标 再如平面双摆有两个自由度，选 1 、  2为广义坐标比较合适。 x y o A B  1  2 l1 l2 约束方程 第十五章 虚位移原理

§15-3 自由度和广义坐标 第十五章 虚位移原理 推广可得： 若质点系有n个质点，s个完整约束组成，则自由度为N = 3n－ s。 §15-3 自由度和广义坐标 推广可得： 若质点系有n个质点，s个完整约束组成，则自由度为N = 3n－ s。 选广义坐标q1， q2 ，…，qN ，则各质点的坐标 对上式中第一式求变分，则 ∴质点在直角坐标中的虚位移与广义坐标中的虚位移之间的关系为 式中δqk 称为广义虚位移。 第十五章 虚位移原理

§15-3 自由度和广义坐标 三、以广义坐标表示的质点系平衡条件 将式 代入虚功方程 得： 第十五章 虚位移原理

§15-3 自由度和广义坐标 第十五章 虚位移原理 于是得 令 则 Qk······用于质点系上的主动力对应于广义坐标qk的广义力。 §15-3 自由度和广义坐标 于是得 令 则 Qk······用于质点系上的主动力对应于广义坐标qk的广义力。 δqk······广义虚位移 第十五章 虚位移原理

 以广义坐标表示的质点系平衡条件为 Q1 = Q2 = ··· = QN = 0 §15-3 自由度和广义坐标 质点系的平衡条件是： §15-3 自由度和广义坐标  以广义坐标表示的质点系平衡条件为 ∵广义虚位移δqk相互独立， ∴若上式成立，则 Q1 = Q2 = ··· = QN = 0 质点系的平衡条件是： 所有的广义力都等于零。 第十五章 虚位移原理

本章小结  质点系在约束允许的条件下，可能实现的任何无限小的位移称为虚位移。  作用在质点上的力在虚位移上所做的功称为虚功。  若在质点系的任何虚位移中，约束反力所作的虚功的和等于零。则称这种约束为理想约束。 第十五章 虚位移原理

本章小结  虚位移原理：具有理想约束的质点系，其平衡条件是作用在质点系上的主动力在任何虚位移中所作的虚功之和为零；即 ∑Fi · ri = 0  通常用虚位移原理求解运动机构中主动力的平衡问题。解除约束，代之以约束反力，并将此约束反力视为主动力，可和其它主动力一起应用虚位移原理求解。  用虚位移原理也可求解约束反力：解除约束，代之以约束反力，并将此约束反力视为主动力，可和其它主动力一起应用虚位移原理求解。 第十五章 虚位移原理

本章小结  建立虚位移之间的关系可以有以下几种方法： ⑴直接找出虚位移之间的几何关系； ⑵写出坐标之间的关系，再仿照函数求微分的方法对坐标求变分，从而找出虚位移（坐标变分）之间的关系； ⑶根据运动学知识，找出在平衡位置处力作用点的虚速度之间的关系，而各点虚位移之比等于各点虚速度之比。 第十五章 虚位移原理

本章小结  确定质点系位置的独立参数称为广义坐标。  在完整约束下，广义坐标的数目等于系统的自由度数。  对应于广义坐标qk的广义力为 质点系平衡的条件是 Q1 = Q2 = ··· = QN = 0 第十五章 虚位移原理