运筹学（O.R.） Operations Research 运筹学是应用分析、试验、量化的方法，对经济管理系统中的人力、物力、财力等资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现最有效的管理。

中国古代运筹学思想： 齐王赛马 丁渭修皇宫 沈括运粮 运筹学的产生： 防空系统 商船护航

运筹学发展三阶段： 创建时期（45年至50年代初） 成长时期（50年代初至50年代末） 迅速发展时期（60年代以来） 1948年 英国成立“运筹学”俱乐部 1948年 麻省理工学院 介绍运筹学 1950年 伯明翰大学开设运筹学课程 1952年 卡斯大学 设立运筹学硕士和博士学位 1947年 丹捷格 提出单纯形法 50年代初 计算机求解线性规划获得成功 成长时期（50年代初至50年代末） 多个国家成立运筹学会，多种运筹学刊物问世 1957年 在牛津大学召开第一次国际运筹学会议 1959年 成立国际运筹学联合会 迅速发展时期（60年代以来） 运筹学进一步分为各个分支，更多运筹学出版物 运筹学课程纳入教学计划

我国运筹学发展历程： 1956年 运筹学小组 1958年 运筹学研究室 1960年 应用运筹学经验交流会议 1962年 全国运筹学专业学术会议 1978年 全国运筹学专业学术会议 1980年 成立中国运筹学学会

国际著名运筹学刊物： Management Science Operations Research Interfaces Journal of Operational Research Society European Journal of Operations Research

运筹学的分支: 线性规划（linear programming） 非线性规划（nonlinear programming） 动态规划（dynamic programming） 图论与网络分析（graph theory and network analysis） 存贮论（inventory theory） 排队论（queueing theory） 对策论（game theory） 决策论（decision theory）

运筹学在工商管理中的应用: 生产计划：生产作业的计划、日程表的编排、合理下料、 配料问题、物料管理等，追求利润最大化和成 本最小化 库存管理：多种物资库存量的管理，库存方式、库存量等 运输问题：确定最小成本的运输线路、物资的调拨、运输 工具的调度以及建厂地址的选择等 人事管理：对人员的需求和使用的预测，确定人员编制、 人员合理分配，建立人才评价体系等 市场营销：广告预算、媒介选择、定价、产品开发与销售 计划制定等 财务会计：预测、贷款、成本分析、定价、证券管理、 现金管理等

学习管理运筹学: 必须使用相应的计算机软件 必须注重于学以致用的原则 要把注意力放在: 结合实际问题建立运筹学模型 解决问题的方案或模型的解 中间的计算过程尽可能让计算机软件完成

运筹学的工作步骤： 1．提出和形成问题 2．收集资料，确定参数 3．建立模型 4．模型求解和检验 5．解的控制

例1.1 某厂生产P、Q两种产品，主要消耗A、B、C三种原料，已知单位产品的原料消耗数量等资料如表所示。确定P、Q的产量，使产值最大。 第一章 线性规划 第一节 线性规划的基本概念 例1.1 某厂生产P、Q两种产品，主要消耗A、B、C三种原料，已知单位产品的原料消耗数量等资料如表所示。确定P、Q的产量，使产值最大。   P Q 原料总量 A B C 1 5 2 4 8吨 20吨 12吨 产品单价 2万元 5万元

数学模型： 设P、Q的产量分别为x1，x2

例1.2 某公司打算利用甲、乙、丙三种原料配置一种新型保健饮料，已知每千克原料中两种主要保健成分A，B含量及原料单价如表所示。质量标准规定每千克饮料中，营养成分A，B的含量不低于10个与8个单位。如何制定饮料配方，既满足质量标准又使成本最低？   甲 乙 丙 A B 20 10 40 单价（元/千克） 2 3

数学模型： 设每千克饮料中原料甲、乙、丙的投入量分别为x1，x2，x3千克

例1.3 A1 A2是两个粮库，每月分别可调出粮食30 吨与40吨，三个粮店B1，B2，B3每月需求量分别为20吨，25吨与18吨。粮库与粮店之间每吨粮食的运费如下表所示。要求安排粮食调运方案，在满足需求的前提下使总运费最低。   B1 B2 B3 A1 A2 2 4 3 6 5 30 40 20 25 18

数学模型： 设从Ai到Bj调运量为xij

共同特点： （1）每个行动方案可用一组变量（x1,…,xn）的值表示，这些变量一般取非负值； （2）变量的变化要受某些限制，这些限制条件用一些线性等式或不等式表示； （3）有一个需要优化的目标，它是变量的线性函数。

(1.1) (1.2) (1.3)

二、图解法 例1.4 求下列问题的最优解。 x2 x1 x1+2x2=8 5x1+2x2=20 4x2=12 4 3 2 1 5 6 Q1 5 6 Q1 Q2 Q3 Q4 (3,2.5) (2,3) z的等值线：

例1.5 在例1.4中，约束条件不变，而目标函数改为max z=2x1+4x2 3 2 1 5 6 Q1 Q2 Q3 Q4 (3,2.5) (2,3) 全部最优解： αX1+（1－α）X2 （0≤α≤1）

D A 2 4 x2 x1 B C x1－x2=2 －2x1+x2=4 O 例1.6 例1.7在例1.6中，约束条件改为

第二节 线性规划的标准形式和解的性质 一、 LP的标准形式 (1.4) (1.5) (1.6)

方法： （1）目标函数求极小：令z1=－z， （2）某右端常数bi<0，以－1乘该约束两端。 （3）约束为“≤”型，左端加非负变量（松弛变量） 约束为“≥”型，左端减去非负变量（剩余变量） （4）若xj≤0；令xj′=－xj，则xj′≥0； 若xj无符号限制,令xj=xj′-xj″,其中xj′≥0，xj″≥0。

例1.8

例1.9

二、LP的基可行解的概念 决策变量向量：X=(x1，x2，…，xn)T 价值向量： C=(c1，c2，…，cn) 资源向量： b=(b1，b2，…，bm)T 系数矩阵A=（aij）m×n =

设系数矩阵A的秩是m，即A的m个行向量是线性无关的。若B是A的m阶满秩子阵，称B为问题的一个基。 B=( P1，P2 ，… ，Pm) 对应的变量 ( x1，x2 ，… ，xm)称为基变量 其它的变量称为非基变量； 令非基变量等于0，从方程组可以唯一解出基变量的值，从而得到方程组的一个解，称为基本解；如果它的各个分量非负，即它同时又是可行解，则称之为基可行解，对应的基称为可行基。

三、LP解的性质 凸集和极点 设D为n维空间的点集，若对任意X1∈D，X2∈D，和实数α（0≤α≤1），都有αX1+（1－α）X2∈D，则称D为凸集。 凸集D中如果不存在两个不同的点X1∈D，X2∈D，使X=αX1+（1－α）X2（0<α<1）成立，那么点X称为极点。

2.线性规划解的性质 定理1 线性规划的可行域R是凸集。 证 对于LP max z=CX AX =b X ≥0 设X1∈R，X2∈R，则有Xi≥0，AXi=b 对于任意α∈[0，1]，X=αX1+（1－α）X2≥0 AX=A[αX1+（1－α）X2] = αAX1+（1－α）AX2 =αb+（1－α）b=b 故X∈R，R是凸集。

引理 设X是线性规划的可行解，则X是基可行解的充分必要条件是X的正分量对应的系数列向量是线性无关的。 证 （1）必要性。由基可行解的定义显然成立。 （2）充分性。不妨设X的前k个分量为正，若向量P1,P2,…,Pk线性无关，则必有k≤m。当k=m时，它们恰好构成一个基，从而X是基可行解。当k<m时，由于A的秩为m，从A中一定可以再找出m-k个列向量与P1,P2,…,Pk线性无关，共同构成一个基，其对应的解就是X，所以X是基可行解。

定理2 X是线性规划基可行解的充分必要条件是X是可行域的极点。 不失一般性，假设X的前m个分量为正，则有 （1） 由引理知P1,P2,…,Pm线性相关，即存在不全为零的数 使得 令 则 （2）

（1）+（2）得： （1）-（2）得： 设 则 又 即X不是可行域的顶点。

（2） X不是可行域的极点， 则X不是基可行解。 不失一般性，设 不是可行域的极点 存在两个不同的点 有 X=αY+(1－α)Z 即 因 故 时 因 故 （1） （2） （1）-（2）得： 因 故P1,P2,…,Pr线性相关

定理3 线性规划如果有可行解，则一定有基可行解；如果有最优解，则一定有基可行解是最优解。 定理3 线性规划如果有可行解，则一定有基可行解；如果有最优解，则一定有基可行解是最优解。 证 （1）不失一般性，假设可行解X的前m个分量为正。 如果P1,P2,…,Pm线性无关，则X是基可行解。 如果线性相关即存在不全为零的数 使得 令 则 设 则 若 则X2比X少一个正分量，若X2的m-1个列向量 线性无关，则X2是基可行解，否则，重复以上过程，直到找到基可行解为止。

（2）设X0是最优解，如果它不是基可行解，则有 故X1，X2也是最优解，如前所述， X1，X2中一定有一个点比X0少一个正分量。同理，如果X1（ X2）还不是基可行解，则能找到第三个最优解，其正分量比X1（ X2）少一个，如此继续下去，一定可以求得一个最优解，它的正分量是线性无关的，即这个最优解为基可行解。

第三节单纯形法 一、 单纯形法的解题思路 二、单纯形表 cj c1 c2 … cm cm+1 … ck … cn CB XB b x1 x2 … xm xm+1 … xk … xn c1 c2 cm x1 x2 xm b1 b2 bm 1 0 … 0 a1m+1 … a1k … a1n 0 1 … 0 a2m+1 … a2k … a2n 0 0 … 1 amm+1 … amk … amn σj 0 0 … 0

3. 单纯形法的基本法则 法则1 最优性判定法则 若对基可行解X1，所有检验数σj≤0，则X1为最优解。 法则2 换入变量确定法则 设 ，则xk为换入变量。 法则3 换出变量确定法则

例12 求下列LP问题 Cj -1 3 -2 CB XB b x1 x2 x3 x4 x5 x6 7 1 2 12 [4] 10 -4 8 -1 3 -2 CB XB b x1 x2 x3 x4 x5 x6 7 1 2 12 [4] 10 -4 8 σj [5/2] 1/4 -1/2 -5/2 -3/4 1/2 4 2/5 1/10 4/5 5 1/5 3/10 11 -1/5 -4/5 -12/5 例12 求下列LP问题

三、 关于单纯形法的补充说明  1. 无穷多最优解与唯一最优解的判别法则 若对某可行解X1， （1）所有检验数σj≤0，且有一个非基变量xk的检验数等于0，则问题有无穷多最优解； （2）所有非基变量的检验数σj<0，则问题有唯一最优解。

例13 讨论线性规划 cj 1 2 -1 CB XB b x1 x2 x3 x4 [1] σj

2. 无最优解（无界解）的判定 若对基可行解X1，存在非基变量xk的检验数σk>0，但aik≤0，i=1，2，…，m即xk的系数列向量无正分量，则问题无最优解。

3. 求min z 的情况 直接计算最优性检验条件改为：所有σj≥0； 换入变量确定法则改为：如果 则xk为换入变量。 例14 求例2中的LP

X*=(0.5,0,0.15,0,0)T，z=2×1/2+3×3/20=1.45 cj 2 3 CB XB b x1 x2 x3 x4 x5 CB XB b x1 x2 x3 x4 x5 1/4 2/5 [1/2] 1/2 1 -1/40 -1/20 σj -1/2 1/20 3/20 -1 1/40

第四节 初始可行基的求法——人工变量法 一、 大M法  例15 求下列LP问题的最优解

二、 两阶段法 例17

cj 1 CB XB b x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 11 3 -4 -2 2 [1] -1 σj 6 -3 10 12 -5

X*=(4，1，9，0，0)T，z*=2 cj 3 -1 CB XB b x1 x2 x3 x4 x5 12 1 -2 σj 4 9 1/3 CB XB b x1 x2 x3 x4 x5 12 1 -2 σj 4 9 1/3 2/3 -2/3 -4/3 -1/3 X*=(4，1，9，0，0)T，z*=2

三、 关于退化解的说明 cj -1 -4 1 CB XB b x1 x2 x3 x4 [1] σj -2 [2] 2 1/2 -1/2 [1] σj -2 [2] 2 1/2 -1/2 3/2

第五节线性规划应用举例 建立LP模型步骤： （1）深入分析问题特点，适当选择决策变量； （2）确定优化对象——目标函数，它必须表达为决策变量的线性函数； （3）分析制约变量的各种因素，用线性等式或不等式把这些条件反映出来。 例18 利用长度为7.4米的角钢，要做成三边长为2.9米，2.1米，1.5米的三角架100套。如何下料，才能使消耗的原料最少？

  1 2 3 4 5 6 7 8 2.9米 2.1米 1.5米 合计长 余料长 7.3 0.1 7.1 0.3 6.5 0.9 7.4 6.3 1.1 7.2 0.2 6.6 0.8 1.4 变量编号 x2 x4 x6 x1 x7 x3 x5 x8

例19 某食品厂要用C，P，H三种原料混合加工成三种不同档次的产品A，B，C，已知三种产品中原料含量限制，原料成本和每月限制用量，三种产品的加工费和单价等资料如表所示。该厂应当每月生产三种产品多少公斤，才能使利润最大？试建立问题的线性规划模型。

解 设AC，AP，AH分别表示产品A中三种原料的含量，其它符号BC，BP，BH和DC，DP，DH的含义相仿。 BC+BP+BH=B DC+DP+DH=D 含 量 限 制

AC+BC+DC≤3000 AP+BP+DP≤3000 AH+BH+DH≤2400 原料数量限制： 产品销售收入为： 60（AC+AP+AH）+45（BC+BP+BH）+40（DC+DP+DH） 加工费为： 6（AC+AP+AH）+5（BC+BP+BH）+4（DC+DP+DH） 原料成本为： 65（AC+BC+DC）+25（AP+BP+DP）+35（AH+BH+DH） 利润： z=60（x1+x2+x3）+45（x4+x5+x6）+40（x7+x8+x9） －6（x1+x2+x3）－5（x4+x5+x6）－4（x7+x8+x9） －65（x1+x4+x7）－25（x2+x5+x8）－35（x3+x6+x9） =－11x1+29x2+19x3－25x4+15x5+5x6－29x7+11x8+x9