功能原理 机械能守恒 第03-2讲 第三章 动量守恒和机械能守恒 §3-4 动能定理 本次课内容 §3-5 保守力与非保守力 势能 第三章 动量守恒和机械能守恒 第03-2讲 功能原理 机械能守恒 §3-4 动能定理 §3-5 保守力与非保守力 势能 §3-6 功能原理 机械能守恒定律 §3-7 完全弹性碰撞 完全非弹性碰撞 课本 pp69—93；练习册 第四单元 本次课内容

§3-4 动能定理 一 功 力对质点所作的功为力在质点位移方向的分量与位移大小的乘积 . （功是标量，过程量） B * A

变力的功 合力的功 = 分力的功的代数和

功的大小与参照系有关 功的量纲和单位 平均功率 瞬时功率 功率的单位 （瓦特）

例 1 一质量为 m 的小球竖直落入水中， 刚接触水面时其速率为. 设此球在水中所受的浮力与重力相等, 水的阻力为 , b 为一常量 解 如图建立坐标轴 即 又由 2 - 5 节例 5 知

注意 二 质点的动能定理 动能（状态函数） 动能定理 合外力对质点所作的功,等于质点动能的增量 . 二 质点的动能定理 动能（状态函数） 动能定理 合外力对质点所作的功,等于质点动能的增量 . 功和动能都与 参考系有关；动能定理仅适用于惯性系 . 注意

例 2 一质量为1. 0kg 的小球系在长为1. 0m 细绳下 端 , 绳的上端固定在天花板上 解

由动能定理 得

§3-5 保守力与非保守力 势能 一 万有引力、重力、弹性力作功的特点 1） 万有引力作功 以 为参考系， 的位置矢量为 . 一 万有引力、重力、弹性力作功的特点 1） 万有引力作功 以 为参考系， 的位置矢量为 . 对 的万有引力为 由 点移动到 点时 作功为

2 ） 重力作功 A B

3 ） 弹性力作功

二 保守力和非保守力 保守力: 力所作的功与路径无关，仅决定于相互作用质点的始末相对位置 . 重力功 弹力功 引力功

物体沿闭合路径运动 一周时, 保守力对它所作的功等于零 . 非保守力: 力所作的功与路径有关 .（例如摩擦力）

三 势能 重力功 重力势能 引力功 引力势能 弹性势能 弹力功 势能 与物体间相互作用及相对位置有关的能量 . 保守力的功

说明 势能是状态函数 势能具有相对性，势能大小与势能零点的选取有关 . 势能属于整个系统. 势能计算 令

四 势能曲线 重力势能曲线 弹性势能曲线 引力势能曲线

§3-6 功能原理 机械能守恒定律 一 质点系的动能定理 对第 个质点，有 对质点系，有 质点系动能定理 注意:内力可以改变质点系的动能 一 质点系的动能定理 对第 个质点，有 外力功 内力功 对质点系，有 质点系动能定理 注意:内力可以改变质点系的动能

二 质点系的功能原理 质点系动能定理 非保守力的功 机械能 质点系的功能原理 质点系机械能的增量等于外力和非保守内力作功之和 .

机械能守恒定律 只有保守内力作功的情况下，质点系的机械能保持不变 . 三 机械能守恒定律 功能原理 当 时，有 机械能守恒定律 只有保守内力作功的情况下，质点系的机械能保持不变 . 守恒定律的意义 不究过程细节而能对系统的状态下结论，这是 各个守恒定律的特点和优点 .

例 如图的系统，物体 A，B 置于光滑的桌面上，物体 A 和 C, B 和D 之间摩擦因数均不为零. 首 受到挤压，后拆除外力，则 A 和 B 弹开过程中，对 A、B、C、D 组成的系统 （A）动量守恒，机械能守恒 . （B）动量不守恒，机械能守恒 . （C）动量不守恒，机械能不守恒 . （D）动量守恒，机械能不一定守恒 . D B C A

例 1 一雪橇从高度为50m 的山顶上点A沿冰道由静止下滑,山顶到山下的坡道长为500m 例 1 一雪橇从高度为50m 的山顶上点A沿冰道由静止下滑,山顶到山下的坡道长为500m . 雪橇滑至山下点B后,又沿水平冰道继续滑行,滑行若干米后停止在C处 . 若摩擦因数为0.050 . 求此雪橇沿水平冰道滑行的路程 . (点B附近可视为连续弯曲的滑道.忽略空气阻力 .)

已知 求 解 以雪橇、冰道和地球 为一系统，由功能原理得 又

由功能原理 可得 代入已知数据有

例 2 有一轻弹簧, 其一端系在铅直放置的圆环的顶点P, 另一端系一质量为m 的小球, 小球穿过圆环并在圆环上运动(不计摩擦) 例 2 有一轻弹簧, 其一端系在铅直放置的圆环的顶点P, 另一端系一质量为m 的小球, 小球穿过圆环并在圆环上运动(不计摩擦) .开始小球静止于点 A, 弹簧处于自然状态,其长度为圆环半径R; 当小球运动到圆环的底端点 B时,小球对圆环没有压力. 求弹簧的劲度系数. 解 以弹簧、小球和地球为一系统， 只有保守内力做功 系统机械能守恒 取图中点 为重力势能零点

系统机械能守恒 , 图中 点为重力势能零点 即 又 所以

例 3 在一截面积变化的弯曲管中，稳定流动着不可压缩的密度为  的流体. 点 a 处的压强为 p1、截面积 为A1 ,在点b 处的压强为p2 截面积为A2 .由于点 a 和点 b 之间存在压力差, 流体将在管中移动. 在点 a 和点b 处的速率分别为 和 .求流体的压强和速率之间的关系 .

解 取如图所示坐标,在 时间内 、 处流体分别 移动 、 . 则 又

由动能定理得 得 即 常量

伯努利方程 常量 若将流管放在水平面上，即 则有 常量

若将流管放在水平面上， 即 则有 常量 即 若 则

三种宇宙速度

四 宇宙速度 牛顿的《自然哲学的数学原理》插图，抛体 的运动轨迹取决于抛体的初速度

1） 人造地球卫星 第一宇宙速度 第一宇宙速度 ，是在地面上发射人造地球卫星所需的最小速度 . 设 地球质量 , 抛体质量 , 地球半径 . 解 取抛体和地球为一系统 ，系统的机械能 E 守恒 . ``````

由牛顿第二定律和万有引力定律得 解得

`````` 地球表面附近 故 计算得 第一宇宙速度

2）人造行星 第二宇宙速度 第二宇宙速度 ，是抛体脱离地球引力所需的最小发射速度 . 设 地球质量 , 抛体质量 , 地球半径 . 取抛体和地球为一系统 系统机械能 守恒 . 当 若此时 则

计算得 第二宇宙速度

3） 飞出太阳系 第三宇宙速度 第三宇宙速度 ，是抛体脱离太阳引力所需的最小发射速度 . 设 地球质量 , 抛体质量 , 地球半径 , 太阳质量 , 抛体与太阳相距 .

取抛体和地球为一系统，抛体首先要脱离地球引力的束缚, 其相对于地球的速率为 . 取地球为参考系,由机械能守恒得 取太阳为参考系 , 抛体相对于太阳的速度为 ， 地球相对于太阳的速度 则 如 与 同向,有

要脱离太阳引力，机械能至少为零 则 设地球绕太阳轨道近似为一圆， 由于 与 同向, 则抛体与太阳的距离 即为地球轨道半径 则

计算得 取地球为参照系 计算得 第三宇宙速度

抛 体 的 轨 迹 与 能 量 的 关 系 椭 圆(包括圆) 抛物线 双曲线

§3-7 完全弹性碰撞 完全非弹性碰撞 碰撞 两物体互相接触时间极短而互作用力较大 的相互作用 . 碰撞 两物体互相接触时间极短而互作用力较大 的相互作用 . 完全弹性碰撞 两物体碰撞之后， 它们的动能之 和不变 . 非弹性碰撞 由于非保守力的作用 ，两物体碰撞 后，使机械能转换为热能、声能，化学能等其他形式 的能量 . 完全非弹性碰撞 两物体碰撞后,以同一速度运动 .

例 1 在宇宙中有密度为  的尘埃, 这些尘埃相对 惯性参考系是静止的 例 1 在宇宙中有密度为  的尘埃, 这些尘埃相对 惯性参考系是静止的 . 有一质量为 的宇宙飞船以 初速 穿过宇宙尘埃, 由于尘埃粘贴到飞船上, 致使 飞船的速度发生改变 . 求飞船的速度与其在尘埃中飞 行时间的关系 . (设想飞船的外形是面积为S的圆柱体) 解 尘埃与飞船作完全非弹性碰撞, 把它们作为一个系 统, 则 动量守恒 . 即 得

已知 求 与 的关系 . 解

例 2 设有两个质量分别为 和 ,速度分别为 和 的弹性小球作对心碰撞 , 两球的速度方向相同. 若碰撞是完全弹性的,求碰撞后的速度 和 . 碰前 解 取速度方向为正向，由动量守恒定律得 碰后 由机械能守恒定律得

碰后 解得

碰后 讨 论 （1）若 则 （2）若 且 则 （3）若 且 则