第九章 質點系統 9-2 質心 9-3 質點系統的牛頓第二定律 9-4 線動量 9-5 質點系統的線動量 9-2 質心 9-3 質點系統的牛頓第二定律 9-4 線動量 9-5 質點系統的線動量 9-6 碰撞與衝量 9-7 線動量守恆 9-8 碰撞的動量及動能 9-9 一維的非彈性碰撞 9-10 一維彈性碰撞 9-11 二維碰撞 9-13 變質量系統：火箭

9-2 質心 一個特殊的點 一物體或一系統的質心(Center of Mass)即有如所有質量集中在該處，且所有外力作用在該處 般地移動的點。 球棒的質心 (黑色的點) 沿拋物線行進，但其他部分則循更複雜的曲線行進。

9-1 質心 有兩個質點，質量為 m1 及 m2，兩者距離為d，質心的位置為

9-1 質心 n 個質點組成的系統質心定義為一個座標為 的點，其中 M 為系統總質量，mi 和 xi, yi, zi 為各質點的質量和座標。

9-1 質心 剛體: 由許多連續質點所組成的物體，例如球棒。 若剛體具有均勻密度，其質量為M，則質心為 具有對稱形狀的剛體，其質心通常位於對稱點上，例如一個均勻球體的質心位於球心。

測試站 1 圖中為一均勻的正方形板，四個角落相同大小的正方形板可被移開。(a)起初平板的質心在哪？下列平板移開後呢？(b)平板1 (c)平板1和平板2 (c)平板1和平板3 (e)平板1、2、3 (f) 4個平板？以四象限，軸或點來回答。

例題 9-1 三個質點，質量各為 m1=1.2 kg， m2=2.5 kg， m3=3.4 kg，各位於邊長 a=140 cm 之等邊三角形的頂點上。此系統的質心為何？

例題 9-1

例題 9-2 一半徑 2R 的金屬板， 挖去一半徑 R 的圓盤， 如圖，找出其質心位置？

例題 9-2

9-2 質點系統的牛頓第二定律 任何質點系統的運動可以系統質心的運動來表示 F 為所有作用於系統上的外力之淨力，M 為系統的總質量，acom為系統質心的加速度。 煙火在行進中爆炸: 無空氣阻力之下，諸碎片的質量中心將繼 續沿爆炸前之拋物線路徑前進。

9-3 質點系統的牛頓第二定律 舞者腳離開舞臺時，舉起手臂及伸直雙腿使質心通過身體向上移，但仍遵循拋物線路徑通過舞臺。 它相對於身體的移動，降低了她的頭和軀幹在正常跳躍時的高度。

9-3 質點系統的牛頓第二定律 考慮n個質點受一外力作用的系統 For mi： For all particle： i j 牛頓第三運動定律 j For all particle： 牛頓第三運動定律 質點組的質量中心： 所以 質點組受一外力的運動，猶如將系統中所有的質量集中於質量中心，而所有外力均施於質量中心的運動一般

測試站 2 兩位溜冰者在無摩擦力的冰上，彼此抓住無質量的桿子的兩端。座標沿著此桿，且軸的原點位在兩位溜冰者系統的質心處。溜冰者Fred，比另一位溜冰者Ethel重兩倍，下列三種狀況中，他們將在哪裡相遇呢？(a) Fred 拉著桿子使他自己向Ethel 移動 (b) Ethel 將自己拉向 Fred 的方向 (c) 他們一起拉向對方移動？

例題 9-3 三個質點一開始是靜止的，每個都受到來自三質點系統之外的物體所受之力。方向如圖所示，大小為 F1=6.0 N， F2=12 N， F3=14 N。問此系統的質心加速度為何？向那一個方向移動？

例題 9-3

例題 ex-1 一質量為 M 之砲彈以初速 v，傾角自地面斜向射出，當此砲彈飛行至最高點時，炸成 A、B 兩片，設其質量分別為MA=M/3，MB=2M/3，兩彈片均以水平飛出，若 A 片落地點離砲彈發射點之距離為 dA，則 B 片落地點離發射點之距離 dB 為多少？ 砲彈質量中心的飛行時間 T 為 故其水平射程 d 為 由質量中心之定義 將 MA 、 MB 及 d 代入上式，得

9-4 線動量 質點的動量為一向量 m 為質點的質量，v 為其速度。 動量的時間變動率就等於作用於質點上的淨力。

測試站 3 圖中為一質點沿著軸運動的線動量對時間圖，外力沿著軸的方向作用在質點上。(a) 依照力的大小，由大到小排列此四個區域。 (b) 那個區域中質點正在減速？

9-5 質點系統的線動量 質點系統的動量就等於 (1) 個別質點的線動量向量和或 (2) 系統總質量 M 與質心速度的乘積。 質 點 系 統

9-6 碰撞與衝量 衝量定義 線性動量-衝量定理 定 力 變 力

測試站 4 一個因降落散無法打開而降落失敗的傘兵，若他掉在雪地裡，那麼他可能只會受到輕傷。但若他是降落在光禿的地面上，那麼一直到完全靜止的這段時間，他可能將會發生十次很快且致命的碰撞。試問，雪地的出現將使得以下的量值(a)傘兵的動量改變(b)到傘兵靜止時所受到的衝量和 (c) 所受的作用力，分別是增加、減少或保持不變？

9-6 碰撞與衝量 系列碰撞： n：D t時間內網球撞擊數目 Dt 時間內撞上靶的總質量。

測試站 5 圖示為一個球碰到牆後的跳躍情形之俯視圖，而且球於碰撞前後之速率不變 。考慮球於碰撞前後線動量的變化Dp。 (a) Dpx是正、負或零。 (b)Dpy是正、負或零？ (c) Dp 的方向？ q1 = q2

例題 9-4 下圖是汽車碰撞到跑道邊壁所留下的汽車路徑頂視圖。就在碰撞發生以前，汽車正沿著與邊壁形成 30o 的直線跑道，以 Vi=70m/s 的速度前進。而且就在碰撞過程結束的時候，汽車沿著與邊壁形成 10o 的直線跑道，以 Vf=50m/s 的速度前進。汽車質量是 80 kg。(a) 由碰撞所導致作用在駕駛員身上的衝量J是多少？ (b) 碰撞過程中持續了 14ms 。試求在碰撞過程中作用在駕駛員身上的平均力是多少？

例題 9-4 (a) (b)

9-7 線動量守恆 若無淨外力作用於一質點系統上，該系統的總動量 P 便不會改變。 線 動 量 守 恆 定 律

測試站 6 一最初於無摩擦力地板上靜止的裝置，爆炸分裂成兩個碎片並於地板上滑動。一塊沿著正x軸方向滑動。(a)爆炸後，兩塊碎片的總動量為何？ (b) 第二塊碎片可否對x軸有一角度的運動？(c)第二塊碎片動量的方向為何？

例題 9-5 一個質量 m=6.0 kg 的盒子以 V=4 m/s 的速率沿正x軸方向通過無摩擦的地板。突然爆炸成兩塊碎片，一塊碎片的質量 m1=2.0 kg ，以 V1 = 8.0 m/s 的速率向x軸方向運動，求質量 m2 的第二塊碎片的速度為何？

例題 9-6 一太空船拖曳著一個貨艙，總質量 M ，在太空中沿x軸旅行。其速度大小相對於太陽為 2100 km/h 。藉由一個小爆炸，太空船排開了質量為 0.20 M 的貨艙。接著以比貨艙快 500 km/h 的速率沿x軸前進。意即，太空船與貨艙的相對速率 Vrel 為 500 km/h 。則此時太空船相對於太陽的速度 VHS 為何？

例題 9-6

例題 ex-2 一人70kg，站在冰凍的湖泊上以v = 3.5m/s 水平丟出一 2kg 的石頭，求此人的反彈速度為何？ 取”人+石頭”為系統，則此系統水平方向不受外力，故動量為守恆

9-8 碰撞的動量及動能 彈性碰撞: 兩個碰撞物體的系統之總動能在碰撞時不變，則系統的 動能是守恆的。 非彈性碰撞: 兩個碰撞物體的系統，其動能在碰撞時會有一部份轉 換成其它形式的能量，則系統的動能是不守恆的。

9-9 一維的非彈性碰撞 一維非彈性碰撞 前 後 一維完全非彈性碰撞

衝擊擺 ，木塊質量 M=5.4 kg，子彈質量 m=9.5 g，子彈打入後，系統質心上升 h=6.3cm，求碰撞前子彈速率？ 例題 9-8 衝擊擺 ，木塊質量 M=5.4 kg，子彈質量 m=9.5 g，子彈打入後，系統質心上升 h=6.3cm，求碰撞前子彈速率？

例題 ex-3 在 128 號公路的匝道上，一輛質量為 1.5 × 103 kg 的汽車正停在「停」的號誌前，等著進入高速公路。另一輛車，質量為 2.00 × 103 kg 從後面駛來，撞上正停著的車，兩輛車的保險槓貼在一起。若碰撞後兩車一起以 10.0 m/s 移動，則碰撞前那一瞬間第二輛車的速率是多少？

例題 ex-3 這個碰撞是完全非彈性的。 已知：m1 = 1.5 × 103 kg；m2 = 2.00 × 103 kg；碰撞前 v1 = 0，碰撞後 vf = 10 m/s (兩車 的速度相同) 欲求：v2 ( 碰撞前那一瞬間第二輛車的速率 ) 從動量守恆得知 初始動量是兩部車動量的總和 p1 = 0 或

9-10 一維彈性碰撞

例題 ex-4 一個氪原子 ( 質量 89.3 u) 以 0.80 km/s 的速度往右移動，和一個正以 0.40 km/s 往左移動的水分子 ( 質量 18.0 u) 正面碰撞。碰撞後，水分子以 0.60 km/s 的速度往右移動。則氪原子碰撞後的速度是多少？(u代表原子的質量單位 )？

例題 ex-4 在碰撞後，氪原子以 0.59 km/s 的速度往右移。 由動量守恆定律知初始動量必須和最終動量相等 由於 m1/m2 = 83.9/18.0 = 4.661，我們可以用 m1 = 4.661 m2 代入 消去 m2 可得 在碰撞後，氪原子以 0.59 km/s 的速度往右移。

9-11 二維碰撞

例題 ex-5 一個小橡皮圓盤 ( 質量 m1 = 0.10 kg) 正以 8.0 m/s 的初始速率在噴氣桌上往右滑行 ( 如圖 (a))。噴氣桌上空氣從許多小洞流出，形成氣墊，使物體能以很小的摩擦力在上面滑動。這個橡皮圓盤撞上另一個原本靜止不動的大橡皮圓盤 ( 質量 m2 = 0.40 kg)。圖 (b) 為碰撞後的結果：兩個圓盤分別在小圓盤原來運動方向以 φ1 = 60.0° 往上和 φ2 = 30.0° 往下移動。(a) 此兩橡皮圓盤的最終速率分別是多少？(b) 這是彈性碰撞或非彈性碰撞？(c) 若是非彈性碰撞，初始動能中有多少轉換成其他形式的能量？

例題 ex-5 (1) (a) 碰撞後總動量的 x 分量等於碰撞前總動量的 x 分量： px = mvx m2 = 4m1 消掉共同因子 m1 和把 cos 60.0° 和 cos 30.0° 的值代入 (1)

例題 ex-5 因為動量的 y 分量守恆 以 v1f 表示v2f (2)

例題 ex-5 (b) 初始動能 最終動能 最終動能比初始動能小，所以這是非彈性碰撞。

例題 ex-5 (c) 動能中轉換成其他能量形式的部分是： 把最終動能除以初始動能，即可求出初始動能轉換成其他能量形式的部分： 少於第一個橡皮圓盤動能的一半，因此是兩個橡皮圓盤碰撞後殘留下來的動能。

例題 ex-6 m1=30 g， m2=75 g，h1=8.0 cm，求 v1f 為何？

例題 ex-7

9-12 變質量系統 時間 速度 質量 U: 排出廢氣相對於慣性座標的速度

9-12 變質量系統 火箭相對於座標的速度=火箭相對於廢氣的速度+廢氣相對於座標的速度 ：火箭損失質量的速率

問：1, 5, 8 習：1, 10, 25, 37, 55, 60

例題 ex-7 一枚模型火箭被從地面上以拋物線的彈道發射到空中。在彈道的頂點，即離發射點水平距離 260 m 處，火箭內部發生爆炸，裂成兩片。其中一片的質量是原火箭的三分之一，它直往地面墜落，彷彿它在那點從靜止狀態落下一般。請問另一片在離發射點水平距離多遠處著地？忽略空氣阻力。

動量守恆。 拋物線軌道運動(質心)。 解答1： 於彈道的頂點，即爆炸發生時，vy = 0；火箭往 x 方向移動。爆炸前一刻的初始動量全部都在 x 方向。若 M 是火箭的質量，則 剛爆炸完後，火箭的三分之一的質量是處於靜止狀態，然後它受到重力的影響而垂直往下墜落。所以這個碎片在爆炸完的那一刻的動量是零。 由動量守恆知火箭的另外三分之二的質量必定有一動量，且此動量等於爆炸前那一刻的動量。 v2x則為 動量 y 的分量也必須守恆： piy 和 p1y 都是零，因此 p2y 也是零。 兩個碎片又在同樣的時間內著地，就好像火箭根本沒有爆炸一樣。若其水平速度是初始水平速度的 3/2，則火箭的第二個碎片會飛離爆炸點的水平距離也是 260 m 的 3/2 倍 。因此這個碎片的著陸點離發射點的水平距離是：

解答2： 在爆炸發生後，質量中心會繼續往前，就如同火箭根本沒有爆炸一樣。 質量為 M/3 的碎片垂直往下墜落，並在離發射點 260 m 處著地。從拋物線的對 稱性來判斷，質量中心會在離發射點 2 × 260 m = 520 m 處著地。 第二碎片的落地位置可由下式得到：