第8章 动量定理与动量矩定理

8.1 动量 质点的动量 单位 质点系的动量 质心 ， 即

8.2 冲量 常力的冲量 变力的元冲量 在　～ 内的冲量 单位： N·s

8.3 动量定理 8.3.1 质点的动量定理 或 称为质点动量定理的微分形式,即质点动量的增量等于作用于质点上的力的元冲量. 在 ~ 内, 速度由 ~ , 有 称为质点动量定理的积分形式,即在某一时间间隔内,质点动量的变化等于作用于质点的力在此段时间内的冲量.

8.3.2 质点系的动量定理 外力: , 内力: （1） 内力性质: （2） （3） 质　点: 质点系:

得 或 称为质点系动量定理的微分形式,即质点系动量的增量等于作用于质点系的外力元冲量的矢量和;或质点系动量对时间的导数等于作用于质点系的外力的矢量和.

在 内, 动量 有 ~ 称为质点系动量定理的积分形式,即在某一时间间隔内,质点系动量的改变量等于在这段时间内作用于质点系外力冲量的矢量和. 动量定理微分形式的投影式 动量定理积分形式的投影式

例8-1 电动机外壳固定在水平基础上,定子和外壳的质量为 ,转子质量为. 定子和机壳质心 ,转子质心 , ,角速度 为常量 　　例8-1 电动机外壳固定在水平基础上,定子和外壳的质量为 ,转子质量为 .定子和机壳质心 ,转子质心 , ,角速度 为常量.求基础的水平及铅直约束力.

解: 由 得

　　电机不转时, , 　 称静约束力; 　　电机转动时的约束力称动约束力,上面给出的是动约束力. 动约束力 - 静约束力 = 附加动约束力 本题的附加动约束力为 方向: 方向:

8.3.3 质点系动量守恒定律 若 , 则 = 恒矢量 若 , 则 = 恒量

　　例8-2 流体在变截面弯管中流动,设流体不可压缩,且是定常流动.求管壁的附加动约束力. 解:dt 内流过截面的质量及动量变化为 流体受外力如图, 由动量定理,有

即 设 为静约束力; 为附加动约束力 由于 得

8.4 质心运动定理 8.4.1 质量中心 , ,

例8-3 已知: 为常量,均质杆OA = AB = ,两杆质量皆为 ,滑块 B 质量 . 求:质心运动方程、轨迹及系统动量.

解:设 ，质心运动方程为 消去t 得轨迹方程

系统动量沿x, y轴的投影为: 系统动量的大小为:

内力不影响质心的运动,只有外力才能改变质心的运动. 8.4.2 质心运动定理 由 得 或 称为质心运动定理,即:质点系的质量与质心加速度的乘积等于作用于质点系外力的矢量和. 内力不影响质心的运动,只有外力才能改变质心的运动.

在直角坐标轴上的投影式为: 在自然轴上的投影式为:

例8-4 均质曲柄AB长为r,质量为m1,假设受力偶作用以不变的角速度ω转动,并带动滑槽连杆以及与它固连的活塞D,如图所示 　　例8-4 均质曲柄AB长为r,质量为m1,假设受力偶作用以不变的角速度ω转动,并带动滑槽连杆以及与它固连的活塞D,如图所示.滑槽、连杆、活塞总质量为m2,质心在点C .在活塞上作用一恒力F .不计摩擦及滑块B的质量,求:作用在曲柄轴A处的最大水平约束力Fx .

解:如图所示 应用质心运动定理,解得 显然,最大水平约束力为

8.4.3 质心运动守恒定律 质心运动守恒定律 则　　 常矢量 若 则　　 常矢量 若

　　例 8-5 地面水平,光滑,已知 , , ,初始静止, 常量. 求:电机外壳的运动.

解:设 由 , 得

8.5 动量矩定理 8.5.1 质点的动量矩 对点O的动量矩 对 z 轴的动量矩 代数量,从 z 轴正向看, 逆时针为正,顺时针为 负.

单位:kg·m2/s 8.5.2 质点系的动量矩 对点的动量矩 对轴的动量矩 即

（1） 刚体平移.可将全部质量集中于质心, 作为一个质点来计算. , （2） 刚体绕定轴转动 转动惯量

8.5.3 动量矩定理  1）质点的动量矩定理 设O为定点,有 其中: （O为定点）

因此 称为质点的动量矩定理:质点对某定点的动量矩对 时间的一阶导数,等于作用力对同一点的矩. 投影式:

2）质点系的动量矩定理 由于 得 称为质点系的动量矩定理:质点系对某定点O 的动量矩对时间的导数,等于作用于质点系的 外力对于同一点的矩的矢量和.

投影式: 内力不能改变质点系的动量矩.

例8-6 已知：　　　　 ,小车不计摩擦. 求:小车的加速度 . 解: 由 , 　， 得

3）动量矩守恒定律 若 , 则 常矢量； 若 , 则 常量。 例：面积速度定理 有心力：力作用线始终通过某固定点, 该点称力心. 由于 ,有 若 , 则 常矢量； 若 , 则 常量。 例：面积速度定理 有心力：力作用线始终通过某固定点, 该点称力心. 由于 ,有 常矢量

面积速度定理：质点在有心力作用下其面积速度守恒. （1） 与 必在一固定平面内,即点M的运动 轨迹是平面曲线. 即 常量 由图, 因此, 常量 称面积速度. 面积速度定理：质点在有心力作用下其面积速度守恒.

例8-7 两小球质量皆为 ,初始角速度 求：剪断绳后, 角时的 .

解： 时, 时, 由 , 得

8.6 绕定轴转动刚体对转轴的动量矩 8.6.1 刚体绕定轴转动的微分方程 主动力: 约束力: 即: 转动 微分 方程 或 或

例8-8 已知: ，求 . 解:

求微小摆动的周期 . 例8-9 物理摆（复摆），已知 ，

解： 微小摆动时， 即： 通解为 称角振幅， 称初相位，由初始条件确定. 周期

例8-10 已知： ，动滑动摩擦系数 ， 求：制动所需时间 .

解：

例8-11 已知 求： . 解： 因 ， ，得

1. 简单形状物体的转动惯量计算 单位：kg·m2 1)均质细直杆 由 ，得

2）均质薄圆环 3）均质圆板 式中： 或

4）惯性半径（回转半径） 8.6.3 平行轴定理 式中 轴为过质心且与 轴平行的轴， 为 或 与 轴之间的距离。 式中 轴为过质心且与 轴平行的轴， 为 与 轴之间的距离。 即：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积.

证明： 因为 有 ，得

（1） 均质圆盘对盘心轴的 （2） 均质细直杆对一端的 （3） 均质细直杆对中心轴 例8-12 均质细直杆，已知 . 例8-12 均质细直杆，已知 . 求：对过质心且垂直于杆的 轴的转动惯量。 对一端的 轴，有 解： 则 要求记住三个转动惯量 （1）    均质圆盘对盘心轴的 转动惯量 （2）    均质细直杆对一端的 转动惯量 （3）    均质细直杆对中心轴 的转动惯量

例8-13 已知杆长为 质量为 ，圆盘半径为 ， 质量为 . 求： .

解：

例8-14 已知： ， 求 .  解： 其中 由 ，得

例：求对 轴的转动惯量. 解： 将曲柄悬挂在轴 O上，作微幅摆动. 由 其中 已知, 可测得，从而求得 .

均质物体的转动惯量 物体的形状 转动惯量 惯性半径 体积 简 图 细直杆 薄壁圆筒

圆柱 空心圆柱 薄壁空心球

实心球 圆锥体 圆环

椭圆形薄板 长方体 矩形薄板

8-7 质点系相对于质心的动量矩定理 8.7.1 质点系对任意点的动量矩 由于 得 其中 有

即：无论是以相对速度或以绝对速度计算质点系对于 质心的动量矩其结果相同. 对任一点O的动量矩：

8.7.2 质点系相对于质心的动量矩定理 即 由于

得 或 质点系相对于质心的动量矩定理:质点系相对于 质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系 的外力对质心的主矩.

8.8 碰撞 8.8.1 基本概念 碰撞是一种常见的力学现象。当物体在极短的时间间隔内速度发生急剧的改变时就发生碰撞。 塑料

碰撞的特征  碰撞过程的持续时间极短，通常用千分子一秒或万分之一秒来度量。  碰撞的物体间产生巨大的碰撞力。

两个基本假设 1. 由于碰撞力很大，是一般平常力（如重力、弹性力等）的几百倍甚至几千倍， 故平常力在碰撞过程中可以忽略不计。 由于碰撞过程是一个十分复杂的物理过程，要研究碰撞过程的动力学问题，必须进行适当的简化，略去次要因素，突出事物的本质，以获得较简单的力学模型。 1. 由于碰撞力很大，是一般平常力（如重力、弹性力等）的几百倍甚至几千倍， 故平常力在碰撞过程中可以忽略不计。 2. 由于碰撞力随时间而变化，瞬时值很难测定。 因此，通常是用碰撞力在碰撞时间内的冲量来表示碰撞的强弱。这个冲量称为碰撞冲量。

碰撞的分类  对心碰撞  偏心碰撞 若碰撞开始时，两物体的质心均在接触点的公法线上，这种碰撞称为对心碰撞，如图a。 两物体的质心不在接触点的公法线上的碰撞，如图b。 C1 C2 n (a) C1 C2 n (b)

 对心正碰撞  对心斜碰撞 在对心碰撞的情形下，若两物体质心的速度恰在公法线上的碰撞，如图c。 在对心碰撞的情形下，质心速度不在此公法线上的碰撞，如图d。 C1 C2 n v2 v1 (c) C1 C2 n v2 v1 (d)

8.8.2 碰撞时的动力学定理 1）冲量定理 对于质点系有 上式表示了碰撞时质点系的冲量定理。即质点系在碰撞过程中的动量变化，等于该质点系所受的外碰撞冲量的矢量和。 质点系的动量可以用质点系的总质量M与质心速度的乘积来计算，所以可以改写为 其中vC 1和vC2分别是碰撞开始和结束时质心C的速度。上式称为碰撞时的质心运动定理。

2）冲量矩定理 根据研究碰撞问题的基本假设，在碰撞过程中，质点系内各质点的位移均可忽略，因此，可用同一矢 ri 表示质点 Mi 在碰撞开始和结束时的位置。 质点对固定点的动量矩为 x z y ri Mi O miv'i 碰前： Ii mivi 碰后： 所以 或者写成 对于整个质点系有 全部内碰撞冲量之矩的总和恒等于零，所以只剩下外碰撞冲量的矩。

由于碰撞过程中伴随有机械能损失，因此研究碰撞问题一般不用动能定理。 x z y ri Mi O Ii mivi miv'i 把上式投影到任一轴上，例如Ox上，则得 上面两式分别表示了碰撞时质点系对点（或对轴）的冲量矩定理，即在碰撞过程中，质点系对任一点（或任一轴）的动量矩的变化，等于该质点系所受到外碰撞冲量时对同一点（或同一轴）之矩的矢量和（或代数和）。 由于碰撞过程中伴随有机械能损失，因此研究碰撞问题一般不用动能定理。

8.8.3 恢复系数及质点对固定面的碰撞  先以两球为研究对象。考察整个碰撞过程，因外碰撞冲量等于零，故由冲量定理，有 8.8.3 恢复系数及质点对固定面的碰撞 设质量分别为m1和m2的两个光滑球作平动，两球质心的速度分别为v1和v2，且v1＞v2，在某瞬时发生正碰撞。 C1 C2 n v1 v2 碰撞前 碰撞结束时，两球仍作平动，其速度分别为v'1和v'2。  先以两球为研究对象。考察整个碰撞过程，因外碰撞冲量等于零，故由冲量定理，有 C1 C2 n v'1 v'2 碰撞后 沿水平方向投影，得

 考察碰撞的第一阶段——变形阶段。 v1 v2 以两球为研究对象 用u表示变形结束时两球的公共速度。 因外碰撞冲量等于零，故由冲量定理，有  考察碰撞的第一阶段——变形阶段。 C1 C2 n v1 v2 碰撞前 以两球为研究对象 用u表示变形结束时两球的公共速度。 因外碰撞冲量等于零，故由冲量定理，有 C1 C2 n u 碰撞变形阶段结束时 沿水平方向投影，得 从而求出

 考察碰撞的第一阶段——变形阶段。 I1 I'1 x 分别取两球为研究对象 v2 u v1 u C1 C2 由冲量定理，有  考察碰撞的第一阶段——变形阶段。 分别取两球为研究对象 C1 v1 u I'1 C2 I1 v2 u x 由冲量定理，有 沿水平方向投影，得

 现在考虑碰撞的第二阶段——恢复阶段。 I2 I'2 x u v'1 v'2 C1 C2 利用冲量定理，有 沿水平方向投影，得  现在考虑碰撞的第二阶段——恢复阶段。 C2 C1 I'2 I2 v'1 v'2 u x 利用冲量定理，有 沿水平方向投影，得 恢复阶段与变形阶段碰撞冲量I2和I1的大小的比值，可以用来度量碰撞后变形恢复的程度，也反映了物体在碰撞中机械能的损失程度，称为恢复系数，用e表示。

恢复阶段与变形阶段碰撞冲量I2和I1的大小的比值，可以用来度量碰撞后变形恢复的程度，称为恢复系数，用e表示。 即 利用式 消去u，得

两球正碰撞时的恢复系数为 可以证明，对于一般碰撞，恢复系数

大量的实验表明，恢复系数主要与碰撞物体的材料性质有关，可由实验测定。  恢复系数一般都小于1而大于零（0＜e＜1），这时的碰撞称为弹性碰撞。物体在弹性碰撞结束时，变形不能完全恢复，动能有损失。  理想情况e =1时，碰撞结束后，物体能完全恢复原来的形状，这种碰撞称为完全弹性碰撞。  在另一极端情况 e =0 时，说明碰撞没有恢复阶段，即物体的变形不能恢复，碰撞结束于变形阶段，这种碰撞称为非弹性碰撞或塑性碰撞。

一种最简单的测定恢复系数的方法如图所示。 恢复系数测定 一种最简单的测定恢复系数的方法如图所示。 h1 h2 v1 v'1 n A C B

碰撞物体的材料 铁对铝 木对胶木 木对木 钢对钢 玻璃对玻璃 恢复系数 0.14 0.26 0.50 0.56 0.94 表8-2 常见材料的恢复系数 碰撞物体的材料 铁对铝 木对胶木 木对木 钢对钢 玻璃对玻璃 恢复系数 0.14 0.26 0.50 0.56 0.94

8.8.4 正碰时系统的动能损失 两小球的质量分别为m1和m2 ，碰撞开始时两质心的速度分别为v1和v2 ，且沿同一直线，如图所示。 v1 8.8.4 正碰时系统的动能损失 两小球的质量分别为m1和m2 ，碰撞开始时两质心的速度分别为v1和v2 ，且沿同一直线，如图所示。 v1 v2 C1 C2 例题8-1

1）两物体正碰后的速度 v1 v2 图示两球能碰撞的条件是 。设碰撞结束时，二者的速度分别为 和 ，方向如图所示。 根据动量守恒，有 图示两球能碰撞的条件是 。设碰撞结束时，二者的速度分别为 和 ，方向如图所示。 根据动量守恒，有 v1 v2 （a） C1 C2 由恢复系数定义有 （b） 联立（a）和（b）二式，解得 （c）

v1 v2 2）正碰时系统的动能损失 可见，当 时， ， 。 以T1和T2分别表示此两球组成的质点系在碰撞过程开始和结束时的动能，则有 可见，当 时， ， 。 C1 C2 v1 v2 2）正碰时系统的动能损失 以T1和T2分别表示此两球组成的质点系在碰撞过程开始和结束时的动能，则有 在碰撞过程中质点系损失的动能为 （d）

（d） 考虑到 于是有

 在理想情况下，e = 1 , ΔT = T2 －T1 =0。可见，在完全弹性碰撞时，系统动能没有损失，即碰撞开始时的动能等于碰撞结束时的动能。 如果第二个物体在塑性碰撞开始时处于静止，即 v2=0， 则动能损失为

第二个物体在塑性碰撞开始时处于静止，即 v2=0， 则动能损失为 上式可改写为 注意到 上式可改写为 可见，在塑性碰撞过程中的动能损失与两物体的质量比有关。

例8-15 设小球与固定面作斜碰撞，入射角θ为，碰撞后反射角β 为。若不计摩擦，试计算其恢复系数。 解： 由于不计摩擦，碰撞只在法线方向发生。设小球质量为， 在碰撞的第一阶段，由碰撞定理在法向的投影为 在碰撞的第二阶段，在法向的投影为 又在切线方向动量守恒：

由前三式可得 对于一般材料，e<1。所以当碰撞表面光滑时有β>θ。 恢复系数也可写为 上式中un和vn分别u和v为在法向上的投影。

例 题 8-4 例题8-16 如图所示物块A自高度 h= 4.9 m处自由落下，与安装在弹簧上物块B相碰。已知A的质量m1=1 kg，B的质量m2=0.5 kg ，弹簧刚度k=10 N·mm－1。设碰撞结束后，两物块一起运动。求碰撞结束时的速度v'和弹簧的最大压缩量。 A h sst smax B 例题8-4

解： m1g 物块A自高处落下与B块接触的时刻，碰撞开始。此后A的速度减少，B的速度增大。当两者速度相等时，碰撞结束。 h sst 1. 碰撞前阶段 smax B

碰撞过程中，忽略重力和弹簧力，沿y方向系统的动量守恒。 2. 碰撞过程 碰撞过程中，忽略重力和弹簧力，沿y方向系统的动量守恒。 A 已知 h A sst smax 解得 B

碰撞结束后，设最大压缩量为smax ，由动能定理得 3. 碰撞后阶段 碰撞结束后，设最大压缩量为smax ，由动能定理得 A 上式可整理成对smax 的标准二次方程 (m1 +m1) g h sst A smax F B 注意到 ，解得最大压缩量 另一解为-78.55 mm ，弹簧为拉伸状态，不合题意。

例8-17 汽车质量为m1 =1000kg，锻件和砧座的质量为m2 =15000kg。 设恢复系数为0.6。求汽锤的效率。 解： 锻锤与锻件碰撞时消耗与锻件变形的动能损失ΔT是有用的， 因此汽锤的效率为 由式(8-53)，有 由此可知，η随e的减小而增加，若将锻件加热使其塑性增加，即 则汽锤的效率为 很明显，此时汽锤效率大大提高。