CH 5 第 6 章 動量與碰撞

本章大綱 6.1 動量與衝量 6.2 動量守恆 6.3 碰撞 6.4 擦撞(斜向碰撞) 6.5 火箭推進 Copyright © 滄海書局 第6章 動量與碰撞

6.1 動量與衝量 Copyright © 滄海書局 第6章 動量與碰撞

動量 Copyright © 滄海書局 第6章 動量與碰撞

動量的分量 動量是一向量，它與速度同方向，在二維空間中，動量的分量可以寫成下式： 質量 m 的物體之動量 p 大小亦可用動能 KE 表示： Copyright © 滄海書局 第6章 動量與碰撞

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衝量 要改變一物體的動量需要對物體施力。 一物體的動量變化 除以所歷經的時間 Dt 等於作用於該物體的平均淨力 ： Copyright © 滄海書局 第6章 動量與碰撞

衝量 (續) 衝量是一向量，與作用於物體上的定力同方向。 Copyright © 滄海書局 第6章 動量與碰撞

衝量－動量定理 力作用在物體上的衝量等於該物體的動量變化。 若作用於物體上的力不是常數時，可以改採平均力來處理。 Copyright © 滄海書局 第6章 動量與碰撞

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平均力 平均力在 Δt 時間內為一常數，在相同 Δt 的時間內，平均力所提供的衝量，和變力所提供的衝量 相同。於是我們可以將衝量－動量定理寫成： 力在 Δt 時間內所提供的衝量，等於力對時間圖中 (如圖6.1a) 曲線下方的面積，也等於圖6.1b平均力 在 Δt 時間內的長方形面積。 Copyright © 滄海書局 第6章 動量與碰撞

例題6.1　擊出高爾夫球 如圖6.3，一質量 5.0 × 10–2 kg 的高爾夫球被球桿擊中。力由小到最大再變小 (力最大時球的變形也最大)，其 F-t 圖如圖6.1所示。假設球離開球桿面時有 +44 m/s 的速率。(a) 求擊球過程中桿對球的衝量大小；(b) 估計碰撞期間作用於球的平均力。 Copyright © 滄海書局 第6章 動量與碰撞

例題6.1 擊出高爾夫球(續) 解 (a) 求傳遞給球的衝量。 (b) 估計碰撞持續時間，及作用於球的平均力。 例題6.1　擊出高爾夫球(續) 解 (a) 求傳遞給球的衝量。 (b) 估計碰撞持續時間，及作用於球的平均力。 Copyright © 滄海書局 第6章 動量與碰撞

例題6.2　緩衝器有多好呢？ 在車輛撞擊測試中，一質量 1.50 × 103 kg 的車撞上一牆並反彈，如圖6.4a所示。車的初速與末速分別為 vi = –15.0 m/s 及vf = 2.60 m/s。如果碰撞作用時間為 0.150 s，求 (a) 碰撞中車所受到的衝量；及 (b) 作用於車的平均力大小與方向。 Copyright © 滄海書局 第6章 動量與碰撞

例題6.2　緩衝器有多好呢？(續) 解 (a) 求車所受到的衝量。 Copyright © 滄海書局 第6章 動量與碰撞

例題6.2　緩衝器有多好呢？(續) (b) 求作用於車的平均力。 Copyright © 滄海書局 第6章 動量與碰撞

汽車碰撞的傷害 在車子發生碰撞時，我們能夠做的防範措施，其中最主要的因素為碰撞的時間，或是讓車內的人靜止下來所需的時間，如果能將碰撞時間拉長，乘員存活率自然會大大提高。 增加撞擊時間的方法有： 安全帶 安全氣囊 Copyright © 滄海書局 第6章 動量與碰撞

安全氣囊 安全氣囊增加了碰撞作用的時間。 它同時也吸收了來自人體的部分動能。 它會讓碰撞的接觸面積增加。 可減少壓力。 幫助免受穿刺傷害。 Copyright © 滄海書局 第6章 動量與碰撞

6.2 動量守恆 Copyright © 滄海書局 第6章 動量與碰撞

動量守恆 在一孤立系統中，碰撞前及碰撞後的任何時刻，系統的總動量不改變。 二物的碰撞可能是物體有實體上的接觸。 也可能是微小的帶電粒子之間的碰撞，它們沒有實體上的接觸，這兩個質點的帶正電荷，彼此互相排斥。 Copyright © 滄海書局 第6章 動量與碰撞

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動量守恆 (續) 「孤立」(isolated) 系統意味，系統內的物體沒有受到如引力或摩擦力這類由系統外對系統作用之力的意思。 動量守恆原理指出，當包含兩物體的系統未受外力作用時，兩物體間若發生碰撞，系統的總動量保持不變。 進一步來說，系統碰撞前的總動量等於碰撞後的總動量。 Copyright © 滄海書局 第6章 動量與碰撞

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動量守恆 (續) 數學方式表示的動量守恆式。 兩個碰撞物體組成的系統中，動量保持一定。 系統包含相互間有作用力的物體。 假設在碰撞期間僅有內力的作用。 可以推廣到含任意個體所組成的系統。 Copyright © 滄海書局 第6章 動量與碰撞

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例題6.3　弓箭手 一弓箭手靜立於無摩擦水平冰面上，若人與弓合計有 60.00 kg 的質量，見圖6.9。(a) 將一質量0.0300 kg 的箭以 50.0 m/s 速率朝正 方向射出，則此人射箭後的速度為何？(b) 承上題，若此人接著朝與水平夾 30.0° 角的方向以相同的速度射出第二支箭，則速度為何？(c) 當第二支箭被弓弦加速時，求作用於弓箭手的平均正向力，假設弓弦被拉長了 0.800 m。 Copyright © 滄海書局 第6章 動量與碰撞

例題6.3　弓箭手(續) 解 (a) 找出弓箭手的速度。 Copyright © 滄海書局 第6章 動量與碰撞

例題6.3 弓箭手(續) (b) 在弓箭手以水平上方 30.0° 的方向射出第二支箭後，其速度為何？ Copyright © 滄海書局 例題6.3　弓箭手(續) (b) 在弓箭手以水平上方 30.0° 的方向射出第二支箭後，其速度為何？ Copyright © 滄海書局 第6章 動量與碰撞

例題6.3　弓箭手(續) (c) 當第二支箭被弓弦加速時，求作用在弓箭手的平均正向力。 Copyright © 滄海書局 第6章 動量與碰撞

例題6.3　弓箭手(續) Copyright © 滄海書局 第6章 動量與碰撞

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6.3 碰撞 Copyright © 滄海書局 第6章 動量與碰撞

碰撞的類型 任何一類型的碰撞中，動量都是守恆的。 非彈性碰撞 動能不守恆 當碰撞後兩物結合在一起的碰撞，稱為完全非彈性碰撞。 有部分的動能轉變成諸如熱、聲、使物體產生永久變形所做的功等其他形式的能量。 當碰撞後兩物結合在一起的碰撞，稱為完全非彈性碰撞。 並非全部的動能都必須耗損掉。 Copyright © 滄海書局 第6章 動量與碰撞

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碰撞類型的進一步說明 彈性碰撞 動量以及動能都守恆。 實際上的碰撞 絕大部分的碰撞是介於彈性與完全非彈性碰撞之間。 Copyright © 滄海書局 第6章 動量與碰撞

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完全非彈性碰撞 當兩物於碰撞後結合在一起，我們就說這兩物做完全非彈性碰撞。 動量守恆的數學式變成： 要注意正負號所代表的含意，當選定某一方向為正之後，若速度出現負號則表示與所選方向相反。 Copyright © 滄海書局 第6章 動量與碰撞

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例題6.4　貨車與小車的碰撞 一 1.80 × 103 kg的貨車以 +15.0 m/s 速率向東行駛，另一小車 9.00 × 102 kg 以 –15.0 m/s 速率朝西行駛 (圖6.11)。兩車正面相撞，並且糾纏在一起。(a) 求碰撞後兩車糾纏在一起後的速率；(b) 求每一車速度的變化；(c) 求包含兩車系統的動能變化。 Copyright © 滄海書局 第6章 動量與碰撞

例題6.4　貨車與小車的碰撞(續) 解 (a) 求碰撞後的末速度。 Copyright © 滄海書局 第6章 動量與碰撞

例題6.4 貨車與小車的碰撞(續) (b) 求各車速度的變化。 (c) 求系統的動能變化。 Copyright © 滄海書局 例題6.4　貨車與小車的碰撞(續) (b) 求各車速度的變化。 (c) 求系統的動能變化。 Copyright © 滄海書局 第6章 動量與碰撞

例題6.4　貨車與小車的碰撞(續) Copyright © 滄海書局 第6章 動量與碰撞

例題6.5　衝擊擺錘 圖6.12a中，衝擊擺錘是一利用二條細線懸掛起來的木塊，用於量測高速運動的物體例如子彈的速率。子彈射入由線懸吊之木塊中，並停留在木塊中，使整個系統擺盪上升了 h 的高度，由量度 h及子彈與木塊質量，可以知道子彈的速率。例如：子彈 m1 = 5.00g，木塊擺錘 m2 = 1.000kg ，且 h = 5.00 cm。(a) 求子彈在嵌入木塊後系統的速度；(b) 求子彈的初速度。 Copyright © 滄海書局 第6章 動量與碰撞

例題6.5　衝擊擺錘(續) Copyright © 滄海書局 第6章 動量與碰撞

例題6.5　衝擊擺錘(續) 解 (a) 求子彈在嵌入木塊後，系統的速度。 Copyright © 滄海書局 第6章 動量與碰撞

例題6.5　衝擊擺錘(續) (b) 求子彈的末速率。 Copyright © 滄海書局 第6章 動量與碰撞

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彈性碰撞 在此情形下兩物構成的系統其動量與動能均守恆。 在彈性碰撞的典型問題中，包括有兩未知數及兩方程式 聯立求解未知值。 重整一下得： Copyright © 滄海書局 第6章 動量與碰撞

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彈性碰撞的圖示法 將碰撞前與碰撞後的圖形畫出來。 把每一物體標示清楚。 包括每一物體的速度與方向。 保持座標軸方向的一貫性。 Copyright © 滄海書局 第6章 動量與碰撞

完全非彈性碰撞的圖示法 兩物在碰撞後結合在一起。 每一物體上要標示出速度及方向。 碰撞後兩物合成一體，速度相同。 Copyright © 滄海書局 第6章 動量與碰撞

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例題6.6　玩撞球 兩質量相等的撞球迎面相撞 (互動圖6.13)，若令向右為正 x 軸方向 (步驟1和2)，假設是彈性的碰撞，若一球初速為 30.0 cm/s，另一球初速為 –20.0 cm/s，試問碰撞後各球的速度為何？假設摩擦與旋轉可忽略不計。 Copyright © 滄海書局 第6章 動量與碰撞

例題6.6　玩撞球(續) 解 Copyright © 滄海書局 第6章 動量與碰撞

例題6.7　兩木塊與一條彈簧的系統 一木塊質量 m1 = 1.60 kg，於一無摩擦水平面上以初速+4.00 m/s 向右運動，如圖6.14a，撞上了左側裝有一彈力常數為 6.00 × 102 N/m 彈簧，質量為 m2 = 2.10 kg 的木塊，此木塊以初速度 –2.50 m/s 向左移動。(a) 當木塊1 的速度減為 +3.00m/s 向右時，如圖6.14b所示，求木塊2的速度；(b) 彈簧此時的壓縮量是多少？ Copyright © 滄海書局 第6章 動量與碰撞

例題6.7 兩木塊與一條彈簧的系統(續) 解 (a) 當木塊1速度為 +3.00 m/s時，求木塊2的速度v2f。 例題6.7　兩木塊與一條彈簧的系統(續) 解 (a) 當木塊1速度為 +3.00 m/s時，求木塊2的速度v2f。 Copyright © 滄海書局 第6章 動量與碰撞

例題6.7　兩木塊與一條彈簧的系統(續) (b) 求彈簧的壓縮量。 Copyright © 滄海書局 第6章 動量與碰撞

6.4 擦撞(斜向碰撞) Copyright © 滄海書局 第6章 動量與碰撞

斜向碰撞 對於三維的碰撞，只要系統是孤立的，動量守恆仍然成立，且每一維度如同一維的情形，動量也守恆。 針對兩物體的二維碰撞，很輕易地便可寫出如下的二維動量守恆方程式： 在此一般式中，我們必須使用三個下標來分別表示，(1) 方程式中的物體；(2) 初速和末速的分量。 Copyright © 滄海書局 第6章 動量與碰撞

斜向碰撞 (續) 碰撞後速度會含有 x 與 y 兩個分量。 動量在 x 方向以及 y 方向均守恆。 Copyright © 滄海書局 第6章 動量與碰撞

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例題6.8　交叉路口的碰撞 一房車質量 1.50 × 103 kg 以速率 25.0 m/s 向東行駛，在一路口撞上了質量為 2.50 × 103 kg 的箱型車，該車以速率 20.0 m/s 向北行駛，如圖6.16所示。求發生車禍後各車的速率與方向，假設是完全非彈性碰撞 (也就是黏在一起)，並假設車與路之間的摩擦力可忽略。 Copyright © 滄海書局 第6章 動量與碰撞

例題6.8 交叉路口的碰撞(續) 解 求碰撞前與碰撞後總動量的 x 分量： x 方向的初動量等於末動量： Copyright © 滄海書局 例題6.8　交叉路口的碰撞(續) 解 求碰撞前與碰撞後總動量的 x 分量： x 方向的初動量等於末動量： Copyright © 滄海書局 第6章 動量與碰撞

例題6.8 交叉路口的碰撞(續) 求碰撞前與碰撞後總動量的y分量： y 方向的初動量等於末動量： Copyright © 滄海書局 例題6.8　交叉路口的碰撞(續) 求碰撞前與碰撞後總動量的y分量： y 方向的初動量等於末動量： Copyright © 滄海書局 第6章 動量與碰撞

例題6.8 交叉路口的碰撞(續) 將 (1) 式除以 (2) 式解得 θ： 將此角度再代回 (2) 式求vf： 例題6.8　交叉路口的碰撞(續) 將 (1) 式除以 (2) 式解得 θ： 將此角度再代回 (2) 式求vf： Copyright © 滄海書局 第6章 動量與碰撞

6.5 火箭推進 Copyright © 滄海書局 第6章 動量與碰撞

火箭的推進 火箭的運作仍然是依據由火箭及其排出的燃料所構成的系統，運用動量守恆原理所得到的結果。 這種作用和地面上兩物相互間施力彼此互相推動的情形不同。 地面對車輛的作用力。 火車對鐵軌的作用力。 Copyright © 滄海書局 第6章 動量與碰撞

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火箭的推進 (續) 火箭朝後排出燃燒後的廢氣來加速自己。 這一現象與非彈性碰撞過程相反。 動量是守恆的。 動能則不斷增加(這是靠消耗燃料中的能量換來的) 。 Copyright © 滄海書局 第6章 動量與碰撞

火箭的推進 (續) 火箭的初質量為 M + Δm 。 M為火箭質量。 m為燃料質量。 火箭的初速度為 。 Copyright © 滄海書局 火箭的初速度為 。 Copyright © 滄海書局 第6章 動量與碰撞

火箭的推進 (續) 火箭的初質量為 M 。 質量 Δm 的燃料經燃燒後被火箭排出。 這一動作使得火箭速率增加為 。 這一動作使得火箭速率增加為 。 Copyright © 滄海書局 第6章 動量與碰撞

火箭的推進 (結尾) 火箭推進的基本方程式為： Mi 為火箭本體加上燃料的最初質量。 Mf 為火箭本體加上剩下燃料的末質量。 火箭的速率與燃料相對於火箭噴出的速率。 Copyright © 滄海書局 第6章 動量與碰撞

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火箭推力 作用在火箭的推力 (thrust) 定義為排放氣體施於火箭之力。 火箭的瞬時推力可寫成： 作用於火箭的推力隨燃料自火箭噴出的速率(ve )以及燃料的燃燒速率(ΔM/Δt)增加而變大。 Copyright © 滄海書局 第6章 動量與碰撞

例題6.9 利用單節火箭將酬載送上軌道 (single stage to orbit, SSTO) 一火箭總質量為 1.00 × 105 kg，燃燒後包括引擎、殼與酬載 (payload)，剩下的質量為 1.00 × 104 kg。火箭從地面出發，在 4.00 min 內用罄了燃料，燃料排放速率為 ve = 4.50 × 103 m/s。(a) 若忽略空氣阻力與重力，火箭在燒完燃料時速率為何？(b) 在剛要上升時，引擎的推力如何？(c) 若重力未忽略，火箭的初加速度為何？(d) 若重力不忽略，估計燒完燃料時，火箭的速率。 Copyright © 滄海書局 第6章 動量與碰撞

例題6.9 利用單節火箭將酬載送上軌道 (single stage to orbit, SSTO)(續) 解 (a) 算出燃料用罄時的速度。 Copyright © 滄海書局 第6章 動量與碰撞

例題6.9 利用單節火箭將酬載送上軌道 (single stage to orbit, SSTO)(續) Copyright © 滄海書局 第6章 動量與碰撞

例題6.9 利用單節火箭將酬載送上軌道 (single stage to orbit, SSTO)(續) (c) 求最初的加速度。 (d) 當考慮重力的因素後，估算燃料用罄時火箭的速率。 Copyright © 滄海書局 第6章 動量與碰撞

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