第三章 中子扩散理论

单位能量间隔内，运动方向为 Ω的单位立体角内的中子数目。 中子角通量密度定义为: 对中子角密度和中子角通量密度积分便可得到与运动方向无 中子在介质中的输运过程中 的运动状态由位置矢量r(x,y,z), 能量 E, 和运动方向Ω表示。 Ω通过极角θ和方位角φ来 表示 中子角密度函数n(r,E, Ω)定义： 在r处单位体积内和能量为E的 单位能量间隔内，运动方向为 Ω的单位立体角内的中子数目。 中子角通量密度定义为: 对中子角密度和中子角通量密度积分便可得到与运动方向无 关的标量中子密度和标量中子通量密度 这些量是反应堆物理经常需要计算的量。 方向 Ω的表示

要求解反应堆内中子密度和中子通量密度的分布一般 采用两种方法： 确定论方法---根据边界条件和初始条件解数学物理方程 得出所求问题的精确解或近似解。 适用于问题的几何结构不太复杂的情况。 非确定论方法—又称为Monte Carlo方法，是基于统计 概率理论的方法，适用于问题的几何结构 比较复杂的情况。 本章是用确定论方法研究中子的输运过程建立描述中子在 介质输运过程的中子扩散方程。中子扩散方程是研究中子 在介质内运动的基本方程，它是研究反应堆理论的重要工 具和基础。

3.1 单能中子扩散方程 中子的扩散和气体分子的扩散很相似， 它们都从浓度高的区域向浓度底的区域 扩散，扩散的速率与粒子的密度的梯度 成正比，既都服从“斐克扩散定律”。 由于在热堆中子密度（1016/m3）比介质 的原子核密度（ 1028/m3 ）小很多，因 此它与气体分子的扩散又有不同，主要 区别在于：分子扩散是由于分子间的 碰撞引起，而中子的扩散主要是由中子 与原子核之间碰撞的结果，中子之间的 相互碰撞可以忽略不计。 中子与介质原子核 的散射碰撞

3.1 .1 斐克定律 下面我们通过中子扩散过程来推导 稳态情况下中子扩散方程，并假设： 介质是 无限的、均匀的 在实验室坐标系中散射是各向同性 介质的吸收截面很小即Σa<<Σs 中子通量密度是随时间位置缓慢 变化的函数 设在r′处的体积元 内中子通量密度为ϕ(r′),每秒发生散射的中子数目为 ,每秒自体积元内散射出来沿着Ω方向未经碰撞到达dA上的中子数是

从-∞到0积分 式中ϕ(r′)不是r的函数, 是一个未知函数,所以上述积分无法 计算, 我们可以将ϕ(r′)按r的函数展开 这里 沿Ω方向的方向倒数,可以表示如下: Ωx, Ωy, Ωz为Ω在x, y, z轴的投影,完成以上积分可得沿Ω 方向每秒穿过dA上的中子数为：

对 的半空间积分,就可以得到每秒沿z轴正方向自下 而上穿过dA的中子数 。 完成积分可得： 对 的半空间积分,就可以得到每秒沿z轴负方向自上 而下穿过dA的中子数 。

单位时间内沿着z方向穿过dA平面单位面积的净中子数Jz为 与x轴垂直，沿着x方向穿过dA平面单位面积净中子数Jx为 同样，沿着y方向穿过dA平面单位面积净中子数Jy为 如果所讨论的面元并不垂直于任何坐标轴，那么单位时间内 穿过dA平面单位面积净中子数J为三个分量之和

可以把上式写成矢量形式即 式中 斐克定律 矢量J称为中子流密度，Jx ，Jy， Jz 是它在 x,y,z 轴上的投影， 它表示空间任何一个点上中子宏观净流动的方向和梯度。 强调：J即不同于中子束强度 I，也不同于中子通量密度ϕ(r,Ω)。 它是由许多具有不同方向的微分中子束矢量合成的量， 表示该处中子的净流动情况情况。它与中子通量密度 ϕ(r,Ω)的关系为 斐克定律表示：中子流密度J正比于负的中子通量密度梯度， 其比例常数叫作扩散系数，并用D表示。斐克定律可 写成

推导过程中使用了在实验室坐标系中中子的散射是各向 同性的假设，实际计算中应对散射的各向异性进行修正， 必须用输运的平均自由程 λtr代替散射平均自由程λs，扩散系数D可写为 为平均散射角余弦。 斐可定律表明： 任一处净中子流动的方向与中子通量密度分布的梯度的方向相反。gradϕ 的方向指向ϕ的增加方向，所以 J的方向指向ϕ减少最快的方向。

3.1 .2 单能中子扩散方程的建立 核反应堆理论所基于的一个基本原理就是”中子数守恒”, 即在一定的体积内,中子数对时间的变化率应等于该体积中 子的产生率减去该体积内中子的吸收率和泄露率. 中子数的 守恒方程可以表达为 中子的扩散方程就是基于这一平衡原理建立的。 泄露率 利用高斯散度公式

产生率 设中子源分布函数用S(r,t)表示，在体积V内中子产生率 吸收率 在体积V内中子吸收率 中子数的守恒方程可以表达为 去掉等式两边的积分可得 方程叫做连续方程，在反应堆理论计算中具有非常主要的 地位。无论斐可定律是否适用，该方程都是普遍成立。

利用 可得 在斐可定律成立的基础上，连续方程可以写为： 这是单能的中子扩散方程，如中子通量密度不随时间变化， 上式就变为： 称为稳态单能的中子扩散方程，这个方程是以斐可定律为基础 得到，它的应用受到斐可定律适用范围的限制，仅适用于单能 中子情况。 是拉普拉斯算符，在不同坐标系的表示式为：

3.1 .3 中子扩散方程的边界条件 必须用边界条件来确定扩散方程的解中的任意积分常数, 边界条件的数目应恰好使方程由唯一的解。解扩散方程常用 的边界条件有： 扩散方程适用范围，中子通量密度必须是正的、有限实数 在两种不同扩散性质的介质交界面上，垂直于分界面的中子流密度和中子通量密度相等。 两式相加减得扩散方程的边界条件： 在两种介质的分界面上的中子扩散

的分布曲线按它在交界面处的斜率向真空作直线外推，则在 离开交界面距离d处的位置上中子通量密度为零， 我们有 介质与真空交界外表面上从 真空返回介质的中子流等于零 即 或 假设从交界面处将中子通量密度 的分布曲线按它在交界面处的斜率向真空作直线外推，则在 离开交界面距离d处的位置上中子通量密度为零， 我们有 d称为直线外推距离 应用输运理论和扩散理论的 外推距离求得的扩散方程的解

以上d值是不准确的，因为d值是根据扩散定律推导而来，而 扩散定律不适用于真空交界处。更精确的中子输运理论所得 到的平面d值为 。在自由外表面的边界条件可以用 更简单的形式表示： 在自由表面外推距离d处，中子通量密度为零。

3.1 .4 斐克定律和扩散理论的适用范围 的应用范围是有限制的。 假定了扩散介质是无限的 在有限的介质内，在距离其表面几个自由程以外的全部 在推导斐克定律时，我们做了一些假设，所以斐克定律 的应用范围是有限制的。 假定了扩散介质是无限的 在有限的介质内，在距离其表面几个自由程以外的全部 区域斐克定律时成立的，而在距真空边界两三个自由程以内区域，它是不适用的。 推导中中子通量密度展成泰勒级数并只取到了一级项 这要求在所讨论点的几个平均自由程内，中子通量密度 必须缓慢变化或它的梯度变化不大。 在控制棒附近或两 种扩散性质明显不同的介质交界面附近的几个平均自由程内，斐克定律不适用。此外，斐克定律只适用于Σa<<Σs弱吸收介质。

推导中并没有考虑中子源的贡献，中子流密度的贡献只 是来自中子与介质核的散射碰撞 在强中子源两三个平均自由程的区域内，斐克定律不 适用。

3.2 非增殖介质内中子扩散方程的解 稳态单能的中子扩散方程 无源情况下，即除中子源所在的位置以外的无源区域,扩散 方程有以下形式: 或 L称为中子的扩散长度,它表征中子在介质中扩散特征的一 个重要的量。以上方程称为波动方程或亥姆霍兹方程， 加 上适当的边界条件就可以得出以上数理方程的解。下面列 出一些常见的简单几何形状下波动方程的普遍解。

注：分别是第一类和第二类零阶贝塞尔函数； 分别是第一类和第二类零阶修正贝塞尔函数。 （见附表8）。 在一些几何形状情况下波动方程 的解 解的形式 一维平板 球 或 一维圆柱 注：分别是第一类和第二类零阶贝塞尔函数； 分别是第一类和第二类零阶修正贝塞尔函数。 （见附表8）。

下面我们讨论几种特殊情况下扩散方程的解，它可以帮助 我们掌握和熟悉扩散方程的求解和如何使用边界条件： 无限介质内点源的情况 在介质中有一个每秒各向同性放射出S个中的点源，采用 球坐标，原点选择在点源上。球对称的扩散方程为： 这个方程在r=0处不成立，其边界条件为： （1）除r=0处以外，中子通量在各处均为有限值； （2）中子源条件： 引入新变量 ，代入扩散方程可将扩散方程化为：

方程的解为： 所以： C=0, 所以 由 根据中子源边界条件： 得到 最后得到无限介质内的中子通量密度为：

无限平面源位于有限厚度 介质内的情况 设源为强度为S的平面中子源， 扩散方程为 边界条件为： （1） （2）中子源条件 当x为正值时，扩散方程的解为： 由边界条件（1）可得： 平面源位于有限厚介质的情况

通量密度可以表达为： 根据边界条件（2）可以得到： 中子通量密度的解为： 由于对称性，用|x|代替x可得到对所有x适用的中子通量密 度的解 用 乘分子和分母，并利用双曲函数性质 可得：

我们可以把扩散长度看作中子通量密度的衰减长度，由图中 可以看出当介质厚度为扩散长度的三倍时，除在边界附近， 中子通量密度的分布与无限介 通过实际的边界向外泄露的中子流密度等于 对于无限介质平面源情况，a→∞，有 我们可以把扩散长度看作中子通量密度的衰减长度，由图中 可以看出当介质厚度为扩散长度的三倍时，除在边界附近， 中子通量密度的分布与无限介 质内的分布相差不多。 对于单能的情况，反射层厚度 大于三个扩散长度时，其效果 就大致和无限厚度相当。因此， 没有必要使用过厚的反射层。 不同厚度介质内的中子通量密度分布

包含两种不同介质的情况 在不同介质的交界面上扩散 方程必须满足交界面边界条件 边界条件： x为正值时，扩散方程的解是： 和 双区介质内中子通量密度分布

图中虚线部分代表的是没有介质2时，中子通量密度的分布。 由边界条件（1）可得C2=0， 边界条件（2）可得： 由边界条件（3） 和（4）可得： 图中虚线部分代表的是没有介质2时，中子通量密度的分布。 双区介质内中子通量密度分布

3.3* 反照率 介质 A 介质 B J+ 当平板介质外再围上一层扩散介质后， 中子通量密度分布的下降将比于真空交 J- 界时减缓许多。这就是堆芯使用反射 层的原因。反射层的效率可以通过反 射系数或反照率表示： 根据扩散定律，反照率可写为： 通常反照率采用反射介质的性质来表示。反照率不仅取决于 反射介质的材料特征，而且还取决于系统尺寸和几何形状。

对于无限平板反射层， 反照率等于 对于有限厚度的反射层 a→∞时，β→β∞。 反照率的重要应用在于用来作为于反射层介质相邻的分界面 上的边界条件，以代替反射层介质。如果能精确知道堆芯水 反射层的反照率，在作芯部计算时可以在芯部于反射层上应 用下列边界条件以代替反射层： 这样，就不必对反射层部分进行计算，从而节省大量计算时间。

3.4 扩散长度、慢化长度和徙动长度 扩散长度 大多数元素散射截面与能量无关，而吸收截面服从1/v 律，当热中子能谱按麦克斯韦分布时，热中子吸收截面等于 Σa,0 是能量为 En =0.0253 eV 的中子吸收截面，Tn 为中 子温度，ga 是非 1/v 修正因子，代入上式

为了阐明扩散长度的物理意义，我们计算热中子从产生地点 到被吸收地点穿行距离的均方值 对于无限介质中的点源，在球 壳内每秒被吸收的中子数是 所以均方值 （空间二次距）可以 表示成 将点源的中子通量密度代入可得： 或 对于平面源的情况有 点源空间二次矩的计算

从计算可以看出，扩散长度L的大小直接影响堆内热中子 的泄露。 L愈大，则热中子自产生地点到被吸收地点所移 动的直线平均距离也愈大，因而热中子泄露到反应堆外的 概率也就愈大。 慢化长度 我们还希望能计算出中子 在介质中从产生地（快中子） 到慢化成热中子时所穿行的 直线距离。这与堆内中子的慢 化过程中的泄露有关，同样考虑一个点源的情况，源中子 能量为E0 ，我们把E0 到 Eth 的中子称为快群中子。 慢化长度计算

而把Eth 以下的中子称为热群中子，同时定义一个移出截面 Σ1 使 设Σs 为快中子的宏观散射截面， Σs ϕ1 便是每秒单位体积 内快中子发生的碰撞数，因此一个源中子从初始能量E0 降 低到 Eth 平均所需要的碰撞次数为 因此快群中子转移到热群中子转移率为 得到

我们可以求出无限介质点源情况下快群中子的扩散方程 该方程类似于方程（3-48）， L1 称为慢化长度，它具有 长度的量刚。反应堆物理中L21 称为中子年龄，用τth 表示。 即为慢化长度。中子的年龄 τ(E)定义为 当E=Eth ,τ(E)便等于热中子年龄τth ， τth 是随着中子能量 降低或中子慢化时间的增大而增大的函数，它有年龄的意义。

但它并不具有时间的量刚，而具有长度平方的量刚。因为能 量愈低则中子离开源点的距离愈大。 可以证明慢化长度平方或热中子年龄和扩散长度的平方 具有相似的物理意义，即慢化长度的平方L21或热中子年龄τth 等于在无限长度介质内中子自源点产生发出在介质中慢化到 年龄τth（Eth）时所穿行的直线距离的均方值的六分之一， 它具有长度平方的量纲。 徙动长度 反应堆计算中经常用到的量徙动面积定义为： M称为徙动长度。从热中子年龄和扩散长度的意义由上式可得：

徙动面积M2 是中子由裂变产生的快中子变成热中子并在介质 中扩散最终被吸收所穿行直线距离均方值的六分之一。 两边取均方值 由于rs 和 rd 的方向彼此不相 关，因而两者夹角的余弦的 平均值等于零，所以 徙动面积M2 是中子由裂变产生的快中子变成热中子并在介质 中扩散最终被吸收所穿行直线距离均方值的六分之一。 徙动长度M是影响芯部中子泄露程度的重要参数， M值 愈大，则中子愈容易泄露。 徙动长度的计算