Schrodinger Wave Equation Davos, Swiss 1925

A total of five papers in 1926 薛丁格證明了波動力學與矩陣力學數學上是等價的！ 因此以波來描述電子成為最簡單方便的辦法。 第一步就是要猜出波動方程式。

找物質波的波方程式如同解讀一個古老的失傳的語言 Rosetta Stone It was created in 196 BC, discovered by the French in 1799 at Rosetta

找尋波方程式的線索 正弦波對應於一個不受力的自由粒子 粒子與波的翻譯表

粒子與波的翻譯表 對一個自由粒子來說，能量與動量是有關係的： 因此，這個關係也就翻譯為波長與頻率的關係： 波的頻率與波長的關係，一般稱為色散關係： 對一般的波來說 一般的色散關係，來自傳統的波方程式，那麼是否可由電子波的色散關係追溯電子波的波方程式？

我們以下先以正弦波為對象來找一個它所滿足的波方程式。 畢竟所有週期波都是正弦波的疊加！ 一般的波方程式至少必須要先適用於正弦波。

一般波如何得出色散關係？ 考慮正弦波 k 的二次方，翻譯為位置的二次微分 ω 的二次方，翻譯為時間的二次微分 代入波方程式即給出色散關係

這個翻譯方式，對物質波卻行不通： 右方的ω是一次方，表面上似乎翻為時間的一次微分 我們當然可以選擇放棄這套翻譯法！ 或者也可以繼續這個翻譯的辦法，但以新的波函數來取代傳統的正弦波 這個新函數，它的一次微分與自己成正比，但又必須振盪！ 需要一個函數又是指數函數又是三角函數！

找一個函數，又是指數函數又是三角函數！ 要同時是指數與正弦函數，並不是不可能。 如果只看二次微分，可以假設： 此定義對一次微分不成立，但如果比較它們的一次微分，竟然也非常類似 一次微分將cos與sin互換 虛數指數函數的一次微分是自己乘上 i 將實數部及虛數部互換 何不假設 的實數部與虛數部分別是正弦與餘弦？

正好是我們期待指數函數必須滿足的微分關係。 正好是我們期待指數函數必須滿足的乘積關係。 此定義滿足指數函數所有重要性質！

在複數平面上表示，a 決定絕對值，θ 決定幅角 我們可以更進一步定義複數的指數函數： 在複數平面上表示，a 決定絕對值，θ 決定幅角 Im θ Re 找到又是指數函數又是三角函數的函數了！

? Schrodinger Wave Equation 考慮複數的波函數 如我們所預期，這個波函數的一次微分與自己成正比 時間微分翻譯為 ω，位置微分翻譯為 k 對電子波而言：色散關係： ? Schrodinger Wave Equation

但此時波函數的實數部與虛數部可以分開，一開始起始條件沒有虛數部，以後也就沒有虛數部。 同樣的邏輯也是用於一般的波： 波方程式即給出色散關係 但此時波函數的實數部與虛數部可以分開，一開始起始條件沒有虛數部，以後也就沒有虛數部。

以此指數三角函數來嘗試構造自由電子的波函數 波函數疊加時實數部虛數部分別疊加！ 實數部是破壞性干涉時，虛數部也是！ 因此干涉條紋與古典波類似！

? 電子波波方程式 Schrodinger Wave Equation 如果電子不是自由粒子，而是受到一個位能的影響呢？ 此時動量與能量的關係要修改為： 電子波波方程式 ? Schrodinger Wave Equation

Schrodinger Wave Equation 因為有虛數係數，波函數必須是複數！波函數的實數部與虛數部無法分開。 電子波函數必須是複數 波函數無法觀測，波強度正比於振幅平方，則是實數，應可觀測。

時間為 t 時在 x 與 x+dx 之間發現該粒子的機率 在 a 與 b 之間發現該粒子的機率

雖然薛丁格期望電子是由一個連續的實質的波來描述！ 但每一個電子都是明顯的顆粒，部分電子從未被看到過！

薛丁格方程式的解 固定能量解

固定能量解 薛丁格方程式一般來說很難解，但在某些特殊情況下是可以解的： 我們通常對於能量為一定值 E 的解最有興趣，畢竟獨立系統都遵守能量守恆： 這些解因為能量固定，因此具有固定頻率： 以自由電子為例： 其與時間關係很簡單：波函數的變化率正比於波函數本身

波函數的變化率正比於波函數本身 具有這個性質的波函數，其能量的測量，沒有不確定性！ 滿足此條件的波函數與時間的關係，可以很容易被解出來（指數函數）！ 代入薛丁格方程式，位置函數 ψ(x) 則滿足一常微分方程式： 解出位置函數 ψ(x) 整個波函數就都知道了！ 此常微分方程式有時也稱為與時間無關之薛丁格方程式。

固定能量解正好描述穩定態 機率密度 與時間無關 可以證明其他物理測量的期望值與時間無關！

旅行波

分別對應於向+x與-x方向運動的正弦電子波 自由電子 當電子受力為零時，位能V 是一常數， 假設 動能 這方程式與簡諧運動相同，其解很簡單： 這正是德布羅意所猜到的波長與動量及能量的關係。 分別對應於向+x與-x方向運動的正弦電子波 波速不是定值

電子顯微鏡 以0.1c光速移動的電子 遠小於可見光，故鑑別度高於可見光顯微鏡！

單一方向傳播的電子波，波長確定，動量確定： 與一般的波不同，它有虛數部！ 單一方向傳播的電子波機率密度為一常數 動量完全確定，位置完全不確定，波狀的態的波函數 粒子總是有一些區域性，需要一系列的電子波的疊加：波包。

動量不可能完全精確，若將波長有些微差距的兩個波疊加，結果振幅會出現忽大忽小的周期變化。 Beat

如果進一步疊加波長在一個範圍內的正弦波，波函數的振幅會集中在一個區域之內，稱為波包。

如果動量（波長）的分布是高斯分布，平均值即是粒子的動量，寬度即是動量不準度。 波包的寬度 Δk 波強度的分布也會是一個高斯分布，寬度即是位置測量的不準度。 Δx 測不準原理可由波包的傅利葉分析推導出來

波包波函數的實部與虛部

波包不是固定能量態， 而是能量相近的固定能量波的疊加， 不是穩定態，所以波包會擴散！

Δk Δx 波包即是一個位置與動量同時都有不準度的粒子狀態的波函數。

粒子狀的態的波函數 x 波狀的態的波函數 兩者都是波包的極端情況

階梯狀位能，反射與透射

階梯狀位能

反射與透射 入射波 透射波 反射波

機率分布 反射的波與入射波疊加干涉！強度與位置有關。

以波包來描述粒子的反射與透射！ 古典粒子會直接穿越，只是速度變慢。 電子卻有一個反射回來的波包！ 波包在撞擊位階後會分裂為二！透射與反射。 古典粒子碰到這樣的位能是不會有反射的！一個粒子分成兩個？

這就是一維的散射，所以散射後測量該電子，有可能發現它往右運動，也有小部分機率會發現它往左，但發現是永遠是一顆電子。 如果式一束電子，波的強度就是電子數的分布！

Tunneling effect 如果

如果 E < V0 ，波數 為虛數， 古典的粒子根本不能存在這樣的區域， 然而在量子力學中，波函數還是有解， 只是此時不再是正弦波，而是指數函數 會往右一直增加，對左邊來的波是不可能的！ 指數遞減

電子波會以指數遞減的程度滲入古典粒子無法進入的區域！

能量較低的波包撞擊位階，波會滲入禁止區， 但長期而言，反彈如同古典粒子。

但如果這位能只持續很小一個範圍，位能很薄，粒子便能滲透過去： 穿隧效應 Tunneling Effect

穿牆人 Le Passe-Muraille Marcel Aymé, 1943

Tunneling effect 在位壘中 機率密度 穿透機率

Scanning Tunneling Microscope 穿隧顯微鏡 STM

駐波

有限範圍的駐波態振盪，頻率都不是連續的

有邊界之自由電子 無限大位能井，在井中如自由電子 邊界條件：

有邊界之自由電子形成駐波 駐波能量不傳播，為穩定態 穩定態

能量量子化 基態的動量不為零 電子是靜不下來的！ 這是測不準原理的結果。

能階躍遷 粒子狀態隨時間的演化即為能階穩定態之間的躍遷。 量子物理可以計算躍遷發生的機率！但無法預測何時確定會發生！

節點處 P 永遠為零，在節點處永遠不可能發現該電子！ 機率密度 節點處 P 永遠為零，在節點處永遠不可能發現該電子！ 節點 量子趨近古典

有限大位能井 電子被拘限於一定區域時，能量為離散的能階 電子不被拘限於一定區域時，能量為連續

氫原子中的電子狀態

氫原子系統的電子穩定態能量

這些標記粒子狀態的數多為整數或半整數，稱為量子數。 以極座標表示，波函數可分解為三個部分的乘積。 量子化條件 這些標記粒子狀態的數多為整數或半整數，稱為量子數。

才有解 量子化 才有解

能量只與 n 有關 每一個能階，包含多個能量相等的能態！

Principal Quantum Number 決定能量 Orbital Quantum Number Orbital Magnetic Quantum Number

週期表

基態 Ground State

Radial probability density

n=2, l=0 有 1 個節點

s pz py px

量子數的物理意義 為角動量大小及z方向角動量的本徵態 本徴值 氫原子核對電子不作力矩，故電子的角動量守恒 能量的本徵態也會是角動量的本徵態 不過！…….