比與比值 國立臺南大學數學教育系 　　　 謝　　堅

何謂比? 何謂比值? 比與比值有何異同? 比與比值是相同的數學概念（只是兩種不同的表徵方式）?

下列何者為比? 它們有何異同? 棒球比數「5：2」。 甲有5元，乙有2元(記成5：2)。 每給甲5元，就給乙2元(記成5：2)。 甲的錢：乙的錢＝5：2。 何者是特例？何者是等價類？

下列何者為比? 它們有何異同? 我有5個蘋果，你有2個梨子(5：2)。 每5個蘋果換2個梨子(5：2)。 甲花了5秒鐘跑2公尺(5：2) 乙車每5秒鐘跑2公尺(5：2)。 何者是特例？何者是等價類？

下列何者為比值? 它們有何異同? 棒球打擊率是7成。 甲的錢是乙的7倍。 甲的錢：乙的錢＝7。 全校有7％的學生戴眼鏡。 水中含有7ppm的礦物質。 何者是特例？何者是等價類？

下列何者為比值? 它們有何異同? 甲車的速度(率)是7公尺/秒。 乙物的密度是7公克/平方公分。 糖果售價7元/百公克。 何者是特例？何者是等價類？

下列何者為比? 何者為比值? 它們有何異同? 甲的錢：乙的錢＝5：2。 甲的錢：乙的錢＝5/2。 甲的錢是乙的5/2倍。

下列何者為比? 何者為比值? 它們有何異同? 每1秒鐘跑7公尺。 距離(公尺)：時間(秒)＝7：1。 7公尺/秒。

20公升的水放4公升的糖、 10公升的水放2公升的糖、 5公升的水放1公升的糖、 40公升的水放8公升的糖、 100公升的水放20公升的糖。 上面都是相等的比，用一個簡單的數學式子來表示這些相等的比？

水：糖＝5：1(最簡單整數比)。 水是糖的5倍。 水：糖＝5(比值)。 你喜歡那一種說法？為什麼？ 水和糖的比是5：1，簡稱水是糖的5(倍)。

水：鹽＝10：1(最簡單整數比)。 水是鹽的10倍。 水：鹽＝10(比值)。 看到上面的說法，你可以調配出這種比例的鹽水嗎？ 

4小時跑240公里 3小時跑180公里 2小時跑120公里 10小時跑600公里 20小時跑1200公里 上面都是相等的比，用一個簡單的數學式子來表示這些相等的比？

60公里：1小時(最簡單整數比)。 每1小時跑60公里。 60公里/小時(比值)。 你喜歡那一種說法？為什麼？

64年課程對比與比值的看法： 比是兩數（量）倍數關係的另一種記法或說法，5塊餅乾是2塊餅乾的幾倍，這種關係可以寫做「5：2」，讀做「五比二」。 前項除以後項的商，叫做這個比的比值（5：2＝5÷2＝5/2）。 比值是比較量是基準量多少倍的另一種記法。

82年國編本對比與比值的看法： 比是並置的兩對應關係量（對等關係）的記錄。甲拿了5個蘋果和乙換了3個梨子，可以記成「5：3」。 5：3＝5/3：1＝5/3，稱為5：3的比值。 比值是後項為1的省略記法。

省思： 比很容易看到兩個量併置的關係，比值只呈現一個數字，是比較摘要的記法。 比和比值（等價類）是相同的概念，兩種不同的表徵方式，人們為什麼要發明比較抽象的比值？

64年課程引入的比，隱含著只適合記錄兩個同類量（被測量的性質相同）的關係，面對兩個異類量（例如：3公尺長的鋼筋重8公斤）時，比的定義不容易推廣。

64年課程引入的比，比較適合解決「基準量、比較量、母子和、母子差、比（倍數關係）」的問題。 比值是幾倍的另一種記法。

64年課程引入比值時，比值與比之間的關係沒有交代清楚，兩個量的併置（5：2)為什麼會透過除法運算(5÷2)變成一個數(5/2)。 （5：2＝5÷2＝5/2）。 「5：2」是比，「5/2」是比值，比「5：2」和一個數字「5/2」為什麼會相等？

兩種不同定義比值的方式： 定義甲： 5：3＝5÷3＝5/3　 定義乙： 5：3＝5/3：1＝5/3 試說明這兩種定義的異同及其優缺點？

同類量的比值： 同類量是相同測度單位的量。 同類量的比值是倍的關係，當基準量訂為1時，比較量是5（5：1的比值）。

甲繩長10公尺，乙繩長2公尺 甲物重50公斤，乙物重10公斤 甲物賣80元，乙物賣16元 …… 我們都稱甲量是乙量的5倍。 5倍，是一個等價類，指的是兩個量的關係，當基準量訂為1時，比較量是5（5：1的比值）。

5％是「5：100」的比值，指的是 基準量是100時，比較量是5。 5折是「5：10」的比值，指的是 基準量是10時，比較量是5。 5ppm是「5：1百萬」的比值，指的是基準量是100萬時，比較量是5。 當比較量較小時，我們將基準量放大，方便溝通。

5％ 和 5/100 是否相等? 5倍 和 5 是否相等? 5％公尺 和 5/100公尺是否相等? 5倍公尺 和 5公尺是否相等? 5％和5倍是比值的概念，5/100和5可以是一個量，也可以是比值。

100公克的鹽水中，有8公克的鹽，92公克的水。可以說鹽水是水的0.08倍，或說鹽水的濃度是8％。 成本100萬元，賺了8萬元，可以說賺率是8％。 濃度是比較奇怪的比值概念。

異類量的比值： 異類量是不相同測度單位的量。 異類量的比值是單價法的概念，當其中一個量訂為1時，另一個量是5（5：1的比值）。 引入異類量的比值有什麼好處？

甲5分鐘跑了400公尺，乙3分鐘跑了200公尺，誰跑的比較快？ 學童可能有那些解題策略？ 何種解題策略比較有效率？

將時間變成一樣，透過距離的長短判斷誰跑的比較快。 將距離變成一樣，透過時間的長短判斷誰跑的比較快。 分別求出1秒跑多少公尺，再判斷誰跑的比較快。 分別求出跑1公尺要花多少秒，再判斷誰跑的比較快。

如果100個人要比較誰跑的比較快，何種解題策略比較有效率？ 引入異類量的比值是為了比較。 把時間都變成1秒時，只要比較距離就可以知道誰跑的比較快。 「5米／秒」是比值的描述。

跑150公里花2小時　 150：2 跑300公里花4小時　 300：4 跑600公里花8小時  600：8 跑225公里花3小時　 225：3 …… 我們說上面的速度都是75公尺/秒。

最簡單整數比的概念： 使用75：1來描述上述現象。 跑75公里花了1小時。 比值的概念： 使用75（75公里/小時）來描述上述現象。 75：1＝75（75公里/小時）。 它們是我們最常使用的等價類。

60公里/小時＝（　）公尺/分鐘 60公里/小時＝60公里：1小時 　　　　 　＝60000公尺：60分鐘 　　　　　 ＝ 1000公尺：1分鐘 　　　　　＝ 1000公尺/分鐘 比值是比較抽象的概念。

國中的理化，很多都是比值的概念，透過比來說明比較具體。 密度＝質量：體積 加速度＝速度：時間

64年引入比值的定義，比較偏向計算，直接宣告可以透過前項除以後項得到比值。(5：3＝5÷3＝5/3) 82年部編本引入比值的定義，比較偏向概念，後項為1時的前項就是比值，學童比較不會混淆比與比值的意義。(5：3＝5/3：1＝5/3) 

對等關係　ｖｓ　對等問題  何謂對等關係？ 何謂對等問題？ 對等關係和對等問題有那些異同？

當兩個量Ａ、Ｂ基於某種原因，產生一種配對的關係，則稱Ａ、Ｂ這兩量有對等關係，數學上常使用有序數對（Ａ、Ｂ）或比（Ａ：Ｂ）的符號來記錄對等關係。 涉及對等關係的問題稱之為對等問題。

依據情境的不同，對等關係（問題）可以區分成下列四類： 仿加法問題可以區分為添加、併加、追加的方式，將比的問題分類。

組合關係（問題）： 母子關係（問題）： 交換關係（問題）： 密度問題（問題）： 

組合關係： 如果Ａ、Ｂ這兩個量是同類量（被測量的性質相同），而且Ａ與Ｂ都是同一個全體量中的部份，Ａ，Ｂ稱之為組合的對等關係。

在親子遊戲中，3個小孩須要2個大人來協助。 園遊會分組時，每組都有4個男生，3個女生。 上述關係分別可以記成「3：2」、「4：3」。

組合問題： 親子遊戲中，3個小孩，需要2個大人來協助，15個小孩，需要幾個大人來協助？ 問題可以記成3：2＝15：x。  

母子關係： 如果Ａ、Ｂ這兩個量是同類量，且一個數量是全體量，另一個數量是全體量的部份分量，Ａ，Ｂ可以稱之為母子的對等關係。

一打襯衫有12件，1打襯衫中，其中4件是藍色的。 每借支10000元就要付8元手續費。 上述關係分別可以記成　　　　　「12：4」、「10000：8」。

母子問題： 1打襯衫有12件，1打襯衫中，其中4件是藍色的，如果要包裝6打襯衫，需要幾件藍襯衫？ 上述問題可以記成12：4＝72：□。

交換關係： 如果Ａ、Ｂ這兩個量是異類量，基於某種原因，使這兩個數量具有相同的價值，可以交換，而形成Ａ、Ｂ這兩個量的對等關係，稱之為交換的對等關係。

甲拿了5個蘋果到水果商店換了3個水蜜桃。 10張優勝卡可以換1張獎狀。 上述關係分別可以記成「5：3」、「10：1」。

交換問題： 5個蘋果可以到商店換了3個水蜜桃，幾個蘋果才可以換6個水蜜桃？ 問題可以記成5：3＝□：6。 

密度關係： 如果Ａ、Ｂ這兩個量是異類量，而且這兩個數量是描述同一個物件的不同性質，如果Ａ，Ｂ的比是做密度的描述時，Ａ，Ｂ這兩個量的關係，稱之為密度的對等關係。　

30立方公分的甲液體重50公克。 12公尺長的鐵絲重40公斤。 火車跑50公里花了30分鐘。 上述關係可以記成「30：50」、「12：40」、「50：30」。

密度問題： 50公尺長的鐵絲重幾公斤，10公尺長的鐵絲重6公斤？ 問題可以記成「50：□＝10：6」。

兩對等關係的相等關係（等價或不等價）：  64年課程透過比值來判斷兩個比是否相等，其實背後已經假設這些比是同類量的比，就好像當我們比較兩個分數的大小時，背後假設這些分數的單位量是一樣的。

不同種類的對等關係，不比較，也不記錄比較的結果。 50立方公分的甲液體重30公克。 50公尺長的鐵絲重30公斤。 一盒筆有10枝，其中3枝是藍的。 這三個對等關係是否相等？

同一種類（相同關係）的對等關係可以比較，但是只比較這兩個對等關係是否相等，不比較他們的大小（優劣）關係。

甲拿了5個蘋果換了3個水蜜桃。 乙拿了15個蘋果換了9個水蜜桃。 丙拿了8個蘋果換了5個水蜜桃。 這三個對等關係是否相等？ 那一個對等關係最大？

何時才能比較兩個對等關係的大小？ 對等關係（比）的階段不比較大小（優劣）關係，引入比值後(變成一個數字），就可以比較大小關係。

將前項變成1時的後項，與將後項變成1時的前項，它們的大小關係剛好相反。 透過比值將比轉換成一個數，就可以比較兩個對等關係的大小（兩個數的大小）。

對等關係　vs　比的關係 何謂對等關係？ 何謂比？ 對等關係與比有那些異同？

對等關係和比的關係，很像分數和有理數的關係。 如果學童能夠將將「a：b」與 「ma：mb（ｍ≠0）」視為等價類，則對等關係「ａ：ｂ」轉變成「每ａ個就有ｂ個」的比的關係。

先引入分數，再透過等值分數，將分數轉換成有理數。 先引入對等關係，再透過（最）簡單整數比，將對等關係轉換成比的關係。

何謂簡單整數比？ 何謂最簡單整數比？ 簡單整數比和最簡單整數比有何異同？

簡單整數比： 二個比的比較結果。 最簡單整數比： 所有等價比的比較結果。

「3：2」、「12：8」、「6：4」、「48：32」....這些比都相等。 「6：4」比「12：8」簡單，所以就「6：4」和「12：8」這兩個比而言，「6：4」是(較)簡單整數比。 相同的，就「3：2」和「6：4」這兩個比而言，「3：2」是(較)簡單整數比。 

在這些等價的比中，「3：2」是最簡單的，稱之為最簡單整數比。 我們常使用最簡單整數比來代表這個等價類的所有比。

如何以對等關係為基礎，幫助學童建立比或比值的概念？  謝老板賣粽子，每15個粽子中，有9個是肉粽，這個對等關係可以摘要地記成「15：9」。

「5：3、30：18、10：6、90：54、45：27」....等，都是和「15：9」相等的對等關係，這些相等（等價）的對等關係可以記成： 　　　　 15：9＝5：3＝30：18＝10：6 ＝90：54＝45：27。

這些相等的對等關係，形成為一個等價類，可以選用最簡單整數比「5：3」來代表這一個等價類，並說這些相等的對等關係都是「每5個對3個」，此時建立了比的概念 （每5個粽子中有3個是肉粽）。

比不易比較大小，因此透過控制一個量（後項）為1的方法，建立了比值的概念，使用「5/3：1」來代表這一個等價類，並將「每5/3個對1個」，摘要記成「5/3」。 請注意：比值雖然是一個數，但是比值的意義仍是兩個量的關係。

比也是一個可以被運算的單位：   「4：6」和「1」、「7」一樣，都可以視為可以被運算的單位。

「1」單位： 「1」是最原始的單位，它可以重複的複製（自然數概念），也可以被等分割與合成（分數概念）。 可以重複的複製，和可以被等分割與合成，難度相差很多。

「5」單位： 「5」剛開始只是5個「1」所成的集合，只是一個集聚單位。

當可以重複的複製5，並察覺這些複製出來的5都等價（個數一樣多）時，「5」開始變成一個可以被計數的單位（可以像計數有幾個1的方法來計數有幾個5）。

在計數有幾個1和有幾個5時，不會混淆兩者計數的意義，此時，5才和1一樣，變成一個單位（自然數概念）。

可以複製5，並不代表可以對5進行等分割與合成，如果也能對5進行等分割與合成，5才和1一樣變成真正的單位（單位分數內容物為非整數個）。

「4：6」單位： 4與6（4：6），剛開始只是並置的二個量，這種併置是偶然的，未必可以重複的複製，例如拿4個蘋果換6個橘子，學童重視的是4和6，而不是「以4換6」的方法。

如果學童在解決「12個蘋果可以換幾個橘子？」時，可以透過3次「以4換6」得到18個，此時「以4換6」這種關係才可以重複。

「以4換6」這種關係可以重複，並不代表可以被分割，學童可能無法透過分割活動，把「以4換6」的關係視為「以2換3」

「以4換6」這種關係可以重複，也可以被分割與合成（將「以4換6」視為「4×□個換6×□個」），也就是「『每』4個蘋果換6個橘子」，4與6的關係才稱之為「比」的關係。

將「比」數量化的結果稱為「比值」，比值指的是後項為1時的前項，是「每」概念的抽象。

90公里：2小時 ＝45公里：1小時 ＝45公里／小時 ＝………. 每1小時45公里 45公里/小時

　12元：3個蛋 ＝4元：1個蛋 ＝4元/個（每1個蛋賣4元） 　12元：6元 ＝2元：1元 ＝2（倍） （基準量是1時，比較量是2）。

比的問題分析：  比的問題的難易度，有三項變因 第一項：活動順序 未知數在等號的左邊還是右邊（正向活動或逆溯活動）

第二項：轉換方式 左邊的單位量，是透過複製還是透過分割得到右邊的比。 第三項：數量範圍 左邊的單位量是整數對整數，還是分、小數對分、小數。

活動順序： 正向活動： 8：75＝ｘ：25（單位量已知）。 逆溯活動： ｘ：25＝8：75（單位量未知）。

轉換方式： 整數倍轉換： 5：3＝15：ｘ 重複3次5：3可以得到答案。

單位分數倍轉換： 15：9＝5：ｘ 15要進行3等分割才能得到答案。 真分數倍轉換： 15：9＝10：ｘ 15進行3等分割後還要合成其中的2份才能得到答案。

數量範圍： 整數對整數： 5：3＝ 1/3：ｘ 單位量是整數對整數。

整數對分數： 1/2：3＝ｘ：8 單位量是整數對分數或分數對整數。 分數對分數： 1/2：1/3＝ｘ：1/6 單位量是分數對分數。

比的教學流程：   3個蘋果可以換10個番茄，9個蘋果可以換幾個番茄？

解題過程記錄： 3×3＝9；10×3＝30 9÷3＝3；10×3＝30 10÷3＝10/3，9×10/3＝30 單價法策略，就是比值的先備經驗

摘要記錄：3：10＝9：30 問題記錄：3：10＝9：□ 解題工具（算則）：內項乘以內項等於外項乘以外項。