第3章 平面電磁波

綱要 3-1 均勻無損媒質中的平面電磁波 3-2 時諧變化的平面電磁波及其偏極化 3-3 平面波進出不同媒質的問題 3-4 平面電磁波的正向入射問題 3-5 多夾層媒質的正向入射問題 △3-6 金屬導體中的趨膚效應(Skin Effect) 3-7 平面電磁波在無損媒質中的斜向入射問題 3-8 Brewster角和臨界角

電磁波動的產生 電磁場的根源乃是電流 電流的變化將導致附近磁場改變(Ampère定律) 磁場的改變引起電場的改變(Faraday定律) 電荷可以由電荷守恆式求出 電流的變化將導致附近磁場改變(Ampère定律) 磁場的改變引起電場的改變(Faraday定律) 電場變化就成了位移電流 又造成磁場改變 . . . . . . 電磁場的波動

電磁場分佈 電磁場中的波動產生以後，逐漸傳播出去 整個空間中電磁場的分佈以及其對時間的變化由空間中的物質(稱為媒質Medium)決定 沒物質時稱真空媒質或自由空間Free Space 對任意給定的媒質和電流，求出空間中的電磁場分佈是很困難的工作 但仍可對某些問題進行簡化，又不會失去太多電磁波的特性。

平面波與球面波：說明1 在自由空間有一根小天線，電流在上面振盪 天線近的電磁場很難分析，暫且不考慮 但在距離很遠的地方，電磁場必來自天線附近的電磁場，不過大小會減弱 小天線遠處的電磁波波前

平面波與球面波：說明2 觀測點P到天線中心的距離r相當大 天線附近的波動要抵達P 必定經過 的遲延 P附近的場其各個分量的形式一定是 (與水平角f無關) 小天線遠處的電磁波波前

平面波與球面波：說明3 如果只在P點附近觀測 可以集中考慮 角度變動的幅度不大 r 很大，r 的變動相對於r來說也很小 沒什麼變化[第6章天線] 可以集中考慮 小天線遠處的電磁波波前 P點附近電磁場分量形式

平面波與球面波：說明4 只和空間中的一個維度有關 可採用直角座標討論 形式的電磁波動 小天線遠處的電磁波波前 P點附近電磁場分量形式

平面波與球面波：說明5 平面上的電磁場，經 的遲延後抵達平面 波前 波前是平面時，稱平面波 Wavefront 又稱等相面 面上的 值相同 面上的 值相同 波前是平面時，稱平面波 小天線遠處的電磁波波前 平面波形式

平面波與球面波：說明6 波前為球面時，稱球面波 天線所發出來的球面波在遠處接收時，可以用平面波來近似 簡化數學處理 波的性質並未失去 小天線遠處的電磁波波前 球面波形式 平面波形式

平面波理論的重要性 天線所發出來的球面波在遠處接收時，可以用平面波來近似 電磁學一些複雜的問題，可以用平面電磁波的一些性質來解釋，有助於我們對其現象的瞭解 物理上的波動幾乎都有平面波近似

綱要 3-1 均勻無損媒質中的平面電磁波 3-2 時諧變化的平面電磁波及其偏極化 3-3 平面波進出不同媒質的問題 3-4 平面電磁波的正向入射問題 3-5 多夾層媒質的正向入射問題 △3-6 金屬導體中的趨膚效應(Skin Effect) 3-7 平面電磁波在無損媒質中的斜向入射問題 3-8 Brewster角和臨界角

平面電磁波方程式 平面電磁波只和一個空間維度有關，令為z 可知 ＝ ， = 展開Maxwell方程式之後即得 ＝0 不考慮靜電場和靜磁場 可知 ＝ ， = 展開Maxwell方程式之後即得 ＝0 不考慮靜電場和靜磁場 可得

平面電磁波方程式的前進波解 平面電磁波方程式和傳輸線方程式相對應 假設空間充滿均勻無損媒質 可直接寫出平面電磁波方程式的前進波解 傳輸線方程式及其解

平面電磁波與無窮長傳輸線的類比

媒質的特性阻抗或固有阻抗 (Intrinsic Impedance) 電場和磁場分別類比為電壓和電流 電壓除以電流稱為阻抗 可稱 或 為阻抗，單位正好也是Ohm Z0是傳輸線的特性阻抗 h 可稱為媒質的特性阻抗或固有阻抗 真空媒質的固有阻抗(重要常用值) 377(Ω)

平面電磁波的場線變化 z＝0處 電力線、磁力線的疏密隨著時間的改變而向前傳播 在z為定值的平面上，電力線的密度和磁力線的密度都是相同的 經過一段時間後，相同的電力線、磁力線分佈又在遠一些的平面上出現

綱要 3-1 均勻無損媒質中的平面電磁波 3-2 時諧變化的平面電磁波及其偏極化 3-3 平面波進出不同媒質的問題 3-4 平面電磁波的正向入射問題 3-5 多夾層媒質的正向入射問題 △3-6 金屬導體中的趨膚效應(Skin Effect) 3-7 平面電磁波在無損媒質中的斜向入射問題 3-8 Brewster角和臨界角

時諧變化的平面電磁波與傳輸線類比 整個空間充滿均勻無損的介質( )

時諧變化平面電磁波的電力線分佈 (*磁力線省略)

電磁波的偏極化(Polarization) 接收電磁波的天線只能收到電場 一般常用的直線形天線只能收到沿天線方向的電場分量 時間改變時電場方向的改變也很重要，稱為電磁波的偏極化

電磁波偏極化的參數 只考慮往＋z方向傳播的電磁波 固定點z＝z0收到的電場 討論偏極化的兩個參數

線性偏極化(Linear Polarization) 時間改變時， 在所示的線段上移動 ＝0 線性偏極化

圓偏極化(Circular Polarization) 會掃出一個半徑為 的圓 p＝1

一般情形：橢圓偏極化 橢圓偏極化

左旋偏極化 t 增加時得到一個順時針方向旋轉的電場 左手大姆指指向傳播方向，則另外四指所指正好是旋轉方向，故稱左旋偏極化 p＝1

右旋偏極化 時域對應逆時針方向旋轉的圓偏極化波，故稱右旋偏極化波 判斷左旋或右旋 站在波的後面 大姆指除外的四指跟著電場轉 看那隻手的大姆指指向傳播方向，便知是左旋或右旋 p＝1

偏極化波的一個性質 任意偏極化的平面電磁波都可以寫成兩個圓偏極化波的和 證明：

圓偏極化波的應用 有些天線例如螺旋狀天線可以發射或接收圓偏極化波 在化學、生物和光學方面，圓偏極化波是重要研究的工具 左旋或右旋中的一種，視天線構造而定 在化學、生物和光學方面，圓偏極化波是重要研究的工具 例如，所謂的光學異構物，只有藉著光線通過它們的溶液，產生不同旋轉的方向的圓偏極化波，才能加以分辨

綱要 3-1 均勻無損媒質中的平面電磁波 3-2 時諧變化的平面電磁波及其偏極化 3-3 平面波進出不同媒質的問題 3-4 平面電磁波的正向入射問題 3-5 多夾層媒質的正向入射問題 △3-6 金屬導體中的趨膚效應(Skin Effect) 3-7 平面電磁波在無損媒質中的斜向入射問題 3-8 Brewster角和臨界角

平面波正向入射另一媒質的類比 平面波要進入另一種媒質時，電力線、磁力線有的繼續前進(透射波或折射波Transmitted或Refracted Wave)，有的反向而行(反射波，Reflected Wave) 透射波及反射波仍是平面波，而且透射波傳播方向與入射波一致，反射波則與之相反。

平面波斜向入射另一媒質的類比 假定軍隊(電力線、磁力線)的行列(等相面)與海岸邊不平行 落水的兵(透射波)行走必然較慢，隊伍就向後偏折 往後逃的人(反射波) 轉往其他方向，並不衝回隊伍

Snell 定律 (反射定律) ＝ (折射定律)

平面電磁波的 Snell 折射定律 ＝ 時諧變化場

綱要 3-1 均勻無損媒質中的平面電磁波 3-2 時諧變化的平面電磁波及其偏極化 3-3 平面波進出不同媒質的問題 3-4 平面電磁波的正向入射問題 3-5 多夾層媒質的正向入射問題 △3-6 金屬導體中的趨膚效應(Skin Effect) 3-7 平面電磁波在無損媒質中的斜向入射問題 3-8 Brewster角和臨界角

電磁波正向入射問題 入射波 反射波 平面電磁波的正向入射問題

正向入射完全導體問題之解：步驟1 設媒質2為完全導體 z＝0處邊界條件 ＝0 反射係數 平面電磁波的正向入射問題

正向入射完全導體問題之解：步驟2 媒質1中之電磁場 平面電磁波的正向入射問題

正向入射完全導體之傳輸線類比 正向入射完全導體之傳輸線類比 平面電磁波的正向入射問題

正向入射無損介質問題之解：步驟1 透射波 不會有來自 的反射 平面電磁波的正向入射問題

正向入射無損介質問題之解：步驟2 反射係數 穿透係數(Transmission Coefficient) 平面電磁波的正向入射問題

正向入射無損介質問題之解：步驟3 邊界條件：z＝0處，切向電場連續和切向磁場連續 解出 平面電磁波的正向入射問題

正向入射無損介質之傳輸線類比 正向入射無損耗介質的傳輸線類比 平面電磁波的正向入射問題

正向入射無損介質之功率守恆：步驟1 媒質1中，傳送功率的密度 媒質2中，傳送功率的密度 平面電磁波的正向入射問題

正向入射無損介質之功率守恆：步驟2 由 可證出介質1中傳送的功率等於介質2中傳送的功率 功率值的大小和傳輸線類比算出來的一致 由 可證出介質1中傳送的功率等於介質2中傳送的功率 功率值的大小和傳輸線類比算出來的一致 平面電磁波的正向入射問題

綱要 3-1 均勻無損媒質中的平面電磁波 3-2 時諧變化的平面電磁波及其偏極化 3-3 平面波進出不同媒質的問題 3-4 平面電磁波的正向入射問題 3-5 多夾層媒質的正向入射問題 △3-6 金屬導體中的趨膚效應(Skin Effect) 3-7 平面電磁波在無損媒質中的斜向入射問題 3-8 Brewster角和臨界角

三夾層媒質的正向入射問題 這一類問題頗有實用價值 例如，玻璃上塗一層彩衣，看能不能擋掉如紫外線之類的強光 三夾層媒質的正向入射問題

問題列式 (介質1) (介質2) 三夾層媒質的正向入射問題 (介質3)

方程式組 四個常數需要決定 兩個邊界各提供兩個邊界條件(切向電場和磁場分別連續) 四個方程式決定四個未知數，解法繁瑣 、 、 三夾層媒質的正向入射問題

傳輸線類比 三夾層媒質正向入射問題的傳輸線類比 三夾層媒質的正向入射問題 可用Smith圖求解

三夾層媒質濾波器 令 ， 外來功率將會全部扺達第三層介質(1-8節) 可以選擇功率全部穿透的頻率 令 ， 外來功率將會全部扺達第三層介質(1-8節) 可以選擇功率全部穿透的頻率 可以由計算，求出必須在玻璃上塗什麼物質才能某種波長的光穿過 三夾層媒質的正向入射問題

玻璃塗層問題 讓黃綠色光(真空中波長約4000Å，位於可見光譜之中段)全部穿透 求塗料的相對介電常數 和厚度d 玻璃塗層問題

玻璃塗層問題解法 塗料中 波長為真空中波長的 倍(變短) 塗層的厚度d須為 玻璃塗層問題 ＝808(Å)的奇數倍

雷達罩問題 雷達外罩的圓頂(Radome)必須使電磁波的反射為最小 圓頂內、外的媒質都是空氣，1/4波長阻抗變換器的想法不可行 可讓圓頂的厚度為半波長的整數倍 求其他頻率下，反射功率佔入射波功率的比例 雷達罩問題

雷達罩問題解法：步驟1 反射係數 雷達罩問題 等效電路

雷達罩問題解法：步驟2 反射功率與入射功率之比 ＝ 雷達罩問題 等效電路

雷達罩問題解法：步驟3 ＝0時 為0(亦即，d恰為半波長之整數倍) 時達到極大 雷達罩問題 雷達罩問題的反射係數大小平方與 等效電路 的關係示意圖

綱要 3-1 均勻無損媒質中的平面電磁波 3-2 時諧變化的平面電磁波及其偏極化 3-3 平面波進出不同媒質的問題 3-4 平面電磁波的正向入射問題 3-5 多夾層媒質的正向入射問題 △3-6 金屬導體中的趨膚效應(Skin Effect) 3-7 平面電磁波在無損媒質中的斜向入射問題 3-8 Brewster角和臨界角

損耗正切(Loss Tangent) 一般線性物質中的Maxwell方程式 良好導體(導電電流遠大於位移電流) 絕緣體(導電電流遠小於位移電流) 損耗正切 判別物質偏向良導體或絕緣體

一般線性物質中的平面波 一般線性物質中的Maxwell方程式 所以之前關於平面電磁波導出的公式(3-2節到3-4節)大部份仍然可以適用 只有 換成 的差異 所以之前關於平面電磁波導出的公式(3-2節到3-4節)大部份仍然可以適用 只需將 改成

金屬導體中的傳播常數與固有阻抗 金屬導體中 (電感性)

平面波正向入射金屬導體 導體中的電磁波 任一分量在經過 d 的距離後，其大小必定減弱到原來的 36.8％ 平面波正向入射金屬導體

金屬屏蔽效應 銅：s ＝5.8×107( m-1) 40MHz時 1.05×10-5(m) 頻率再提高，d 還會更小 電磁場衰減更快 金屬常用來屏蔽外界電波干擾的原因

趨膚效應(Skin Effect) 金屬導體中 C所圍住的電流 85.9％ 大部份電流都集中在金屬表面以下d的深度 趨膚效應 趨膚效應說明內之封閉曲線

表面電阻率推導：步驟1 由於趨膚效應，我們可以假想所有電流都集中在表面 等效面電流密度 趨膚效應說明內之封閉曲線

表面電阻率推導：步驟2 電流亦可由 計算 令等效面電流恆在某一曲面S’上 即令 0，另有 面電流概念之幾何關係 面電流概念

表面電阻率推導：步驟3 電流密度 總消耗功率 ＝ 金屬表層趨膚效應圖示 ＝

表面電阻率：步驟4 表面電阻率(Surface Resistivity或Sheet Resistivity) Rs=1/(sd) 單位表面積所消耗的功率 每週期平均總消耗功率 等效總電阻 有如將所有電流均勻分佈於之深度d之內所求得的電阻 ＝

表面電阻應用於薄導體或半導體 定義表面電阻率 仍然成立 便於算出平面電路總電阻 h<d 代表物體厚度 電流上下分佈均勻 為沿電流走向的長度 為垂直於電流的寬度 便於算出平面電路總電阻 平面電路電阻

平面波正向入射金屬導體之傳輸線類比 交界面處反射係數 穿透係數 將金屬導體視為完全導體，誤差不會很大 一般導體 ＞100 -1 一般導體 ＞100 穿透係數 將金屬導體視為完全導體，誤差不會很大 -1 平面波正向入射金屬導體 的傳輸線類比

綱要 3-1 均勻無損媒質中的平面電磁波 3-2 時諧變化的平面電磁波及其偏極化 3-3 平面波進出不同媒質的問題 3-4 平面電磁波的正向入射問題 3-5 多夾層媒質的正向入射問題 △3-6 金屬導體中的趨膚效應(Skin Effect) 3-7 平面電磁波在無損媒質中的斜向入射問題 3-8 Brewster角和臨界角

平面波斜向入射問題 採用固著於媒質界面的座標系O-xyz O’-x’y’z’所見平面電磁波的簡單表示 需改用x，y，z座標表出 形式變複雜 ‘ 平面波斜向入射問題

平面波的向量表示法 z’表示波前上一點P之位置向量 在 z’方向的投影 令方向的單位向量為 O’和O取成相同 平面電磁波向量表示法 即位置向量 平面電磁波向量表示法 ‘

平面電磁波向量表示法之性質 不受座標選擇影響 運算符 可直接改成 ( 均垂直於傳播方向) (功率傳播方向即波前傳播方向)

入射平面(Plane of Incidence) 一般說來，入射波的電場，磁場方向並沒有什麼特殊對稱性可以利用 設定座標系時，使x軸落在入射平面上 入射平面指由界面單位法向量 和入射波傳播方向 所決定的平面 ‘ 平面波斜向入射問題

入射波電場與磁場的分割 為使邊界條件易於處理 可分別討論 兩組波的傳播狀況，再予以綜合，即可得出一般斜向入射問題的解 垂直於入射平面 落在入射平面上 可分別討論 兩組波的傳播狀況，再予以綜合，即可得出一般斜向入射問題的解 ‘ 平面波斜向入射問題

垂直偏極化波(Perpendicularly Polarized Wave) 斜向入射問題：電場 電場與入射平面垂直 垂直偏極化波的斜向入射問題

垂直偏極化波斜向入射問題： 總電磁場 磁場與入射平面平行 (媒質1) 垂直偏極化波的斜向入射問題 (媒質2)

垂直偏極化波斜向入射問題： Snell定律 觀察兩媒質內總電磁場各項的形式 在z＝0處 連續的性質對任意 x 均成立 可以推出Snell定律 (媒質1) (媒質2)

垂直偏極化波斜向入射問題：傳輸線類比 (媒質1) (媒質2)

平行偏極化波(Parallelly Polarized Wave) 斜向入射問題：電場 電場和入射平面平行 ＝ ＝ ＝ 平行偏極化波的斜向入射問題

平行偏極化波(Parallelly Polarized Wave) 斜向入射問題：磁場 磁場與入射平面垂直 ＝ / ＝ ＝ / ＝ ＝ / ＝ 平行偏極化波的斜向入射問題

平行偏極化波(Parallelly Polarized Wave) 斜向入射問題：總電磁場 (媒質1) (媒質2) 平行偏極化波的斜向入射問題

平行偏極化波(Parallelly Polarized Wave) 斜向入射問題：傳輸線類比 (媒質1) (媒質2)

傳輸線類比要點 電壓，電流分別對應於電場和磁場的切向分量 阻抗(包括固有阻抗)都是電壓除以電流的形式 垂直偏極化波中，入射波的電場切向分量為 ，而磁場切向分量是 傳輸線類比固有阻抗式中 出現在分母，即 平行偏極化波中，入射波的電場切向分量為 而磁場切向分量是 傳輸線類比固有阻抗式中 出現在分子，即 z傳播方向阻抗為 及 注意x，y，z之間的輪換關係

無損耗媒體的斜向入射問題之 穿透係數大小計算 先由傳輸線類比得到反射係數 再由反射係數大小直接算出穿透係數大小 (功率守恆式，附錄C)

斜向入射應用例：地面反射 發射天線發出之電磁波在反射點附近可視為平面電磁波 求垂直、平行兩種偏極化波在100MHz時的反射係數(反射電場與入射電場界面切向分量的比)對入射角 的關係 導電率s可暫予忽略 地面反射及透射波 k＝15 /m

地面反射例題解：折射角 地面反射及透射波 k＝15 導電率s忽略

地面反射例題解：垂直偏極化波 通常由與地面平行之線狀天線發出，如FM廣播或無線電視台 垂直極化波傳播的等效傳輸線電路

地面反射例題解：平行偏極化波 通常由與地面垂直之線狀天線發出，如AM廣播 平行極化波傳播的等效傳輸線電路

反射係數的另一種定義 垂直偏極化波反射係數 平行偏極化波反射係數

斜向入射應用例：石英晶體折射 垂直偏極化之光波(波長6000 )以56.5°之入射角打入石英晶體 求 求區域I的反射係數 ＝2.25 垂直偏極化之光波(波長6000 )以56.5°之入射角打入石英晶體 求 求區域I的反射係數 斜向入射石英晶體問題 ＝2.25 d＝400

石英晶體折射例題解：折射角 斜向入射石英晶體問題 (與入射波之偏極化無關) ＝2.25 d＝400

石英晶體折射例題解：反射係數

綱要 3-1 均勻無損媒質中的平面電磁波 3-2 時諧變化的平面電磁波及其偏極化 3-3 平面波進出不同媒質的問題 3-4 平面電磁波的正向入射問題 3-5 多夾層媒質的正向入射問題 △3-6 金屬導體中的趨膚效應(Skin Effect) 3-7 平面電磁波在無損媒質中的斜向入射問題 3-8 Brewster角和臨界角

斜向入射平面波的“匹配” ：垂直偏極化波 一般情況 Snell定律 (兩媒質相同)

斜向入射平面波的“匹配” ：平行偏極化波 Snell定律

Brewster角 入射角等於Brewster角 時平行偏極化波的入射不會產生反射 ＝

Brewster角例題 介質1為空氣( ) 介質2為某種玻璃( ) 平行偏極化波以 的入射角由空氣打到玻璃上時，應達到匹配而沒有反射波發生 介質1為空氣( ) 介質2為某種玻璃( ) 平行偏極化波以 的入射角由空氣打到玻璃上時，應達到匹配而沒有反射波發生 垂直偏極化波以同一角度入射時，其反射係數為 ＝－0.60

應用Brewster角的雷射裝置：說明1 氣體放電管中產生的光線，電場方向雜亂 光線以Brewster角撞擊石英 光線透過石英後其方向不變 平行偏極化的成份波沒有反射，幾乎全部穿過石英“窗” 垂直偏極化的成份波有反射，穿過的波較少

應用Brewster角的雷射裝置：說明2 穿過石英的波扺達全反射鏡後全被反射，又經過石英晶體一次，垂直偏極化波更少 兩面鏡子的距離是半波長的整數倍，在管中來去的波就有加強的效果 光每通過石英晶體一次，垂直偏極化波的成份就少了一些 最後送出去的都是平行偏極化的光

入射角與折射角的關係：由快媒質射入慢媒質 Snell定律 增加時， 也跟著增加，即透射波的傳播方向逐漸偏離法線 時，0°到90°入射都可求出對應的折射角 折射角正弦與入射角 正弦之間的關係

入射角與折射角的關係：由慢媒質射入快媒質 當 找不到實數折射角 媒質2不是完全導體，裏面應能被激發出電磁場 折射角可能是複數(對應非均勻平面波，在後面討論) 折射角正弦與入射角 正弦之間的關係

正弦、餘弦的原始定義 0到p/2的角 比p/2大或比0小的角 由x軸正向順時針旋轉的角為負角，而逆時針旋轉的為正角 依與單位圓交點的座標決定sinq和cosq 三角函數的定義方式

複數角的正弦與餘弦定義 沒有對應的幾何定義 改用代數式定義 實變數x之Euler 公式(附錄A) 複數 之正弦、餘弦定義

複變數指數函數與 複變數正弦與餘弦函數化簡

雙曲餘弦與雙曲正弦 雙曲餘弦與雙曲正弦曲線

入射角超過臨界角的情況討論 臨界角(Critical Angle) qc： 入射角超過臨界角 仍為實數(qi為實角) 令 (實數qt，不滿足sinqt > 1)

全反射(Total Reflection) 垂直偏極化波 平行偏極化波 入射角超過臨界角時的垂直偏極化波入射 問題之傳輸線類比 (入射的能量全部反射)

全反射時媒質2的電磁場

不均勻平面波 (Non-uniform Plane Wave) 波的大小順著z方向(界面法向量的線上)減弱，但卻向x方向(順著界面方向)傳播 場線集中在界面附近，貼著界面跟著入射波、反射波傳播 “表面波”(Surface Wave) 不均勻平面電磁波的場線分佈

全反射和表面波現象的想像 軍隊由沼澤開入公路 部隊前進方向與界面法線夾角加大 入射角為qc時 入射角繼續增加 公路上行走較快 部隊發生彎曲 部隊的行列彎曲也跟著變大 入射角為qc時 公路上的部隊全部沿路的方向前進 入射角繼續增加 公路上的部隊無法再彎曲 除非倒回沼澤，便是全反射 在公路上還是有一些漏出去的散兵游勇 大多不敢走遠， 都還要跟住部隊，得順著公路邊界跑，便是表面波 表面波的軍隊行進類比

全反射應用例：光纖通信 訊號由光纖裏以超過臨界角的角度打向空氣 第五章有更詳細的說明 一定發生全反射 反射回來的訊號再以超過臨界角的角度打向另一邊的空氣 又造成一次全反射 訊號就在光纖中向前傳播 第五章有更詳細的說明 光纖傳導訊號的原理

Snell定律的一般化證明 將平面波寫成 可均為複數 不需要引入複數角qt 較幾何圖示的證明嚴格與一般化