第三章 统计数据的概括性描述

第一节 统计数据的整理与展示 第二节 数据集位置的测度 第三节 数据集离散程度的测度 第四节 数据集的峰度与偏度 第三章 统计数据的概括性描述 第一节 统计数据的整理与展示 第二节 数据集位置的测度 第三节 数据集离散程度的测度 第四节 数据集的峰度与偏度

学习目标 了解数据预处理的内容和目的 掌握分配数列的整理与显示方法 掌握数据集的位置测度的变量与方法 掌握数据集的离散程度测度的变量与方法 掌握数据集的分布形态测度的变量与方法 用SPSS作频数分布表和形图

背景 统计数据首先需要经过预处理和整理，以便人们对数据分布的类型和特点有了一个大概的了解。但这种了解并不能帮助我们准确地描述出统计数据的分布，还需要更深入的分析，找到能反映数据分布特征的各个代表值。 对统计数据分布的特征和规律，可以从本章所介绍的三个方面进行测度和描述： 数据集位置的测度，反映各数据向其中心值靠拢或聚集的程度； 数据集离散程度，反映各数据远离其中心值的趋势； 数据集的峰度与偏度，反映数据分布的形状。 这三个方面从不同侧面反映了数据分布特征。本章将重点介绍这些代表值的计算方法、特点及其应用。

第一节 统计数据的整理与展示 3.1.1 数据的预处理 3.1.2 频数分布表的编制与图示

3.1.1 数据的预处理 数据的审核 检查数据中的错误 数据的筛选 找出符合条件的数据 数据排序 升序和降序 寻找数据的基本特征

数据审核—原始数据 (raw data)  审核的内容 完整性审核 准确性审核 检查应调查的单位或个体是否有遗漏 所有的调查项目或指标是否填写齐全 准确性审核 检查数据是否真实反映客观实际情况，内容是否符合实际 检查数据是否有错误，计算是否正确等

数据的审核—原始数据 (raw data) 审核数据准确性的方法 逻辑检查 计算检查 从定性角度，审核数据是否符合逻辑，内容是否合理，各项目或数字之间有无相互矛盾的现象 主要用于对分类和顺序的审核 计算检查 检查调查表中的各项数据在计算结果和计算方法上有无错误 主要用于对数值型数据的审核

数据的审核—二手数据 (second hand data) 适用性审核 弄清楚数据的来源、数据的口径以及有关的背景材料 确定数据是否符合自己分析研究的需要 时效性审核 尽可能使用最新的数据 确认是否必要做进一步的加工整理

数据筛选 (data filter) 当数据中的错误不能予以纠正，或者有些数据不符合调查的要求而又无法弥补时，需要对数据进行筛选 数据筛选的内容包括 将某些不符合要求的数据或有明显错误的数据予以剔除 将符合某种特定条件的数据筛选出来，而不符合特定条件的数据予以剔

数据筛选 (data filter) 用SPSS进行数据筛选 8名学生的考试成绩数据

数据排序 (data rank) 按一定顺序将数据排列，以发现一些明显的特征或趋势，找到解决问题的线索 排序有助于对数据检查纠错，以及为重新归类或分组等提供依据 在某些场合，排序本身就是分析的目的之一 排序可借助于计算机完成

数据排序 (方法) 分类数据的排序 数值型数据的排序 字母型数据，排序有升序降序之分，但习惯上用升序 数据排序 (方法) 分类数据的排序 字母型数据，排序有升序降序之分，但习惯上用升序 汉字型数据，可按汉字的首位拼音字母排列，也可按笔画排序，其中也有笔画多少的升序降序之分 数值型数据的排序 递增排序：设一组数据为x1，x2，…，xn，递增排序后可表示为：x(1)<x(2)<…<x(n) 递减排序：可表示为：x(1)>x(2)>…>x(n)

3.1.2 频数分布表的编制与图示 频数与频数分布 统计分组 品质数列的整理和显示 变量数列的整理和显示 频数分布的类型

1. 频数与频数分布 频数分布数列的概念 在统计分组的基础上，将总体的所有单位按组归类整理，并按一定顺序排列，形成总体中各个单位在各组的分布，又称次数分配或分布数列。 频数(frequency) ：又叫次数，落在各类别中的数据（单位）个数，记作 Fi 。 频率(ratio) ：又叫比率，各组次数（频数）与总次数（频数）之比。

频率分布的性质： = £ å 1 N i F

2. 统计分组 统计分组—概念： 是根据统计研究的目的，选择某一主要标志，将总体单位划分为若干类型或组别，使组内具有同质性，组间具有差异性。 统计分组—作用 划分现象的类型 揭示现象内部结构 分析现象之间的依存关系

统计分组—分组标志的选择 统计分组的关键问题：如何选择分组标志和确定各组的界限。 根据统计研究的目的来选择 在满足研究目的的前提下，应选择本质的、主要的，而不是非本质的、次要的标志。 考虑具体的历史和经济条件。

简单分组、复合分组和分组体系 根据采用的分组标志的多少，可以分为： 简单分组 复合分组

简单分组 又称单一分组，是对被研究现象总体只按一个标志进行的分组。 特点： 只能反映现象在某一标志特征方面的差异情况。 不能反映现象在其他标志特征方面的差异，说明问题比较简单明了。

简单分组 按 性 别 分 组 男 女 按 年 龄 分 组 ～ 6 岁 7 1 8 5 9 以 上

复合分组 对同一总体选择两个或两个以上标志层叠起来进行的分组。 特点： 可以从几个不同角度了解总体内部的差别和关系，比简单分组能更全面、更深入地研究问题； 分组的组数随着分组标志的增加而成倍地增加。因而在采用复合分组时，选择分组标志的数量要适量，并且要考虑倒只有在总体包括的单位数较多的情况下，才宜于采用复合分组。

复合分组 理 科 学 生 组 高 等 校 总 体 男 女 本 专 文

3. 品质分布数列的整理与显示 分类数据的整理 顺序数据的整理

品质分布数列的整理 列出各类别 计算各类别的频数 制作频数分布表 用图形显示数据 分类 频数 比例 百分比 比率 A B C D E

分类数据整理—频数分布表 (例题分析) 用SPSS制作频数分布表 分类数据整理—频数分布表 (例题分析) 【例3.1】一家市场调查公司为研究不同品牌饮料的市场占有率，对随机抽取的一家超市进行了调查。调查员在某天对50名顾客购买饮料的品牌进行了记录，如果一个顾客购买某一品牌的饮料，就将这一饮料的品牌名字记录一次 。右边就是记录的原始数据 用SPSS制作频数分布表

分类数据的图示—条形图 (bar Chart) 用宽度相同的条形的高度或长短来表示各类别数据的图形 有单式条形图、复式条形图等形式 主要用于反映分类数据的频数分布 绘制时，各类别可以放在纵轴，称为条形图，也可以放在横轴，称为柱形图

分类数据的图示—条形图 (例题分析)

分类数据的图示—饼图 (pie Chart) 也称圆形图，是用圆形及园内扇形的面积来表示数值大小的图形 主要用于表示总体或样本中各组成部分所占的比例，对于研究结构性问题十分有用 绘制圆形图时，总体中各部分所占的百分比用园内的各个扇形面积表示，这些扇形的中心角度，是按各部分数据百分比占3600的相应比例确定的

分类数据的图示—饼图 (例题分析)

顺序数据的整理 累积频数(cumulative frequencies)：各类别频数的逐级累加 累积频率(cumulative percentages)：各类别频率(百分比)的逐级累加

顺序数据的频数分布表 (例题分析) 【例3.2】在一项城市住房问题的研究中，研究人员在甲乙两个城市各抽样调查300户，其中的一个问题是：“您对您家庭目前的住房状况是否满意？ 1．非常不满意； 2．不满意； 3．一般； 4．满意； 5．非常满意。 甲城市家庭对住房状况评价的频数分布 回答类别 甲城市 户数 (户) 百分比 (%) 累 计 非常不满意 不满意 一般 满意 非常满意 24 108 93 45 30 8 36 31 15 10 132 225 270 300 8.0 44.0 75.0 90.0 100.0 合计 —

顺序数据的频数分布表 (例题分析) 乙城市家庭对住房状况评价的频数分布 回答类别 乙城市 户数 (户) 百分比 (%) 累 计 非常不满意 顺序数据的频数分布表 (例题分析) 乙城市家庭对住房状况评价的频数分布 回答类别 乙城市 户数 (户) 百分比 (%) 累 计 非常不满意 不满意 一般 满意 非常满意 21 99 78 64 38 7.0 33.0 26.0 21.3 12.7 120 198 262 300 40.0 66.0 87.3 100.0 合计 —

环形图 (annular chart) 环形图中间有一个“空洞”，总体中的每一部分数据用环中的一段表示 环形图与圆形图类似，但又有区别 圆形图只能显示一个总体各部分所占的比例 环形图则可以同时绘制多个总体的数据系列，每一个总体的数据系列为一个环 环形图可用于结构比较研究 环形图主要用于展示分类和顺序数据

环形图 (例题分析) 8% 36% 31% 15% 7% 33% 26% 21% 13% 10% 非常不满意 不满意 一般 满意 非常满意 环形图 (例题分析) 8% 36% 31% 15% 7% 33% 26% 21% 13% 10% 非常不满意 不满意 一般 满意 非常满意 甲乙两城市家庭对住房状况的评价

4. 变量数列的整理与显示 数据分组 累计频数分布 数值型数据的图示

数据分组

分组方法 分组方法 单变量值分组 组距分组 等距分组 异距分组

单变量值分组 (要点) 将一个变量值作为一组 适合于离散变量 适合于变量值较少的情况

组距分组 (要点) 将变量值的一个区间作为一组 适合于连续变量 适合于变量值较多的情况 需要遵循“不重不漏”的原则 组距分组 (要点) 将变量值的一个区间作为一组 适合于连续变量 适合于变量值较多的情况 需要遵循“不重不漏”的原则 可采用等距分组，也可采用不等距分组

等距分组 (步骤) 确定全距（极差）：全部变量的最大之与最小值的距离 确定组数：组数的确定应以能够显示数据的分布特征和规律为目的。在实际分组时，可以按 Sturges 提出的经验公式来确定组数K 确定组距：组距(Class Width)是一个组的上限与下限之差，可根据全部数据的最大值和最小值及所分的组数来确定，即 组距＝( 最大值 - 最小值)÷ 组数 统计出各组的频数并整理成频数分布表

频数分布表的编制 (例题分析) 【例3.3】某电脑公司2002年前四个月各天的销售量数据。 试对数据进行分组。

频数分布表的编制 (步骤) 确定组数：根据 Sturges 提出的经验公式得组数 K 为： 确定各组的组距： 组距＝( 237 - 141)÷ 10=9.6  10 用SPSS制作频数分布表

组距分组与不等距分组 (在表现频数分布上的差异) 各组频数的分布不受组距大小的影响 可直接根据绝对频数来观察频数分布的特征 不等距分组 各组频数的分布受组距大小不同的影响 各组绝对频数的多少不能反映频数分布的实际状况 需要用频数密度反映频数分布的实际状况

异距分组 （几个概念） 标准组距：数列中能被各组组距整除的最大组距。 常用数列中的最小组距作为标准组距。

异距分组 （例题分析） 某厂工人年龄分布情况 工人按年龄分组 组距 人数（人） 标准组距人数 次数密度 15～20 20～25 25～30 异距分组 （例题分析） 某厂工人年龄分布情况 工人按年龄分组 组距 人数（人） 标准组距人数 次数密度 15～20 20～25 25～30 30～35 35～45 45～50 5 10 17 28 40 70 65 32.5 3.4 5.6 8 14 6.5 2 合计 － 230 —

组限和组中值 组限(class limit) ：各组的上限界限值 组下限(low limit) ：一个组的最小值 组上限(upper limit) ：一个组的最大值 闭口组：上限和下限都齐全的组 开口组：上限或下限有一个没有的组

组限的确定 组限确定有一个基本原则：即按这样的组限分组后，标志值在各组的变动能反映事物的质的变化。 常用的组限表示方法： 按连续变量分组，由于相邻两组的上限和下限常时同一数值，每组的界限会重叠，为避免计算各组次数时出现混乱，一般的原则是“上组限不在内，或下组限不在内”。 按离散变量分组，则相邻的上限和下限通常是以两个确定的不同整数值来表示，故相邻两组的上下限可以不重合。

等距分组表 (上下组限重叠)

等距分组表 (上下组限间断)

等距分组表 (使用开口组)

组中值(class midpoint) 组中值(class midpoint) ：下限与上限之间的中点值。 下限值+上限值 2 组中值 =

累计频数分布

累计频数分布 在频数分布的基础上将各组频数逐一累计，称为频数分布累计。 累计频数分布图：以变量值为横坐标，累计频数和频率为纵坐标。 向上累计：从变量值最低组开始向变量值高的组累计，表明小于该组上限的频数（频率）一共有多少； 向下累计：从变量值最高组开始向变量值低的组累计，表明大于该组下限的频数（频率）一共有多少。 特点：同一数值的向上累计和向下累计次数之和等于总体总次数。 累计频数分布图：以变量值为横坐标，累计频数和频率为纵坐标。

累计频数分布 （例题分析） 某电脑公司2002年前4个月的销售量 141 159 166 172 177 182 188 196 203 214 143 160 167 173 183 189 215 144 168 178 184 205 218 149 161 174 185 206 223 150 186 190 207 225 152 162 170 179 197 208 226 153 163 171 175 187 191 209 228 192 198 210 233 154 164 180 194 155 165 200 211 234 156 176 181 195 201 158 202 213 237

累计频数分布 （例题分析） 按销售量 分组(台) 频数 （天） 频率 （%） 向上累积频率 向下累积频率 150以下 4 3.33 100.00 150～160 9 7.50 10.83 96.67 160～170 16 13.33 24.17 89.17 170～180 27 22.50 46.67 75.83 180～190 20 16.67 63.33 55.33 190～200 17 14.17 77.50 36.67 200～210 10 8.33 85.83 210～220 8 6.67 92.50 220～230 95.83 230以上 5 4.17 合计 120 100

累计频数分布 （例题分析）

变量分布数列的图示 分组数据—直方图和折线图

分组数据—直方图 (histogram) 用矩形的宽度和高度来表示频数分布的图形，实际上是用矩形的面积来表示各组的频数分布 在直角坐标中，用横轴表示数据分组，纵轴表示频数或频率，各组与相应的频数就形成了一个矩形，即直方图 直方图下的总面积等于1

分组数据的图示 (直方图的绘制) 频 数 (天) 25 20 15 10 5 30 某电脑公司销售量分布的直方图 180 190 200 170 210 160 220 140 150 240 230 某电脑公司销售量分布的直方图

分组数据—直方图 (直方图与条形图的区别) 条形图是用条形的长度(横置时)表示各类别频数的多少，其宽度(表示类别)则是固定的 直方图是用面积表示各组频数的多少，矩形的高度表示每一组的频数或百分比，宽度则表示各组的组距，其高度与宽度均有意义 直方图的各矩形通常是连续排列，条形图则是分开排列 条形图主要用于展示分类数据，直方图则主要用于展示数值型数据

分组数据—折线图 (frequency polygon) 折线图也称频数多边形图 是在直方图的基础上，把直方图顶部的中点(组中值)用直线连接起来，再把原来的直方图抹掉 折线图的两个终点要与横轴相交，具体的做法是 第一个矩形的顶部中点通过竖边中点（即该组频数一半的位置）连接到横轴，最后一个矩形顶部中点与其竖边中点连接到横轴 折线图下所围成的面积与直方图的面积相等，二者所表示的频数分布是一致的

分组数据的图示 (折线图的绘制) 频 数 (天) 25 20 15 10 5 30 某电脑公司销售量分布的折线图 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 某电脑公司销售量分布的折线图

未分组数据—箱线图 (box plot) 用于显示未分组的原始数据的分布 箱线图由一组数据的5个特征值绘制而成，它由一个箱子和两条线段组成 其绘制方法是： 首先找出一组数据的5个特征值，即最大值、最小值、中位数Me 和两个四分位数(下四分位数QL和上四分位数QU） 连接两个四分（位）数画出箱子，再将两个极值点与箱子相连接

未分组数据—单批数据箱线图 (箱线图的构成) 中位数 4 6 8 10 12 Q U L X 最大值 最小值 简单箱线图

未分组数据—单批数据箱线图 (例题分析) 某电脑公司销售量数据的箱线图 最小值 141 最大值 237 中位数 182 下四分位数 170.25 上四分位数 197 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 某电脑公司销售量数据的箱线图

分布的形状与箱线图 左偏分布 Q L 中位数 U 对称分布 Q L 中位数 U 右偏分布 Q L 中位数 U 不同分布的箱线图

未分组数据—多批数据箱线图 (例题分析) 【例3.4】 从某大学经济管理专业二年级学生中随机抽取11人，对8门主要课程的考试成绩进行调查，所得结果如表。试绘制各科考试成绩的箱线图，并分析各科考试成绩的分布特征 11名学生各科的考试成绩数据 课程名称 学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 英语 经济数学 西方经济学 市场营销学 财务管理 基础会计学 统计学 计算机应用基础 76 65 93 74 68 70 55 85 90 95 81 87 75 73 91 78 97 51 92 71 88 69 84 66 63 79 80 60 67 86 83 77 82 72 94 62

未分组数据—多批数据箱线图 (例题分析) 8门课程考试成绩的箱线图

未分组数据—多批数据箱线图 (例题分析) 11名学生8门课程考试成绩的箱线图 105 95 85 75 65 55 45 学生1 学生3 未分组数据—多批数据箱线图 (例题分析) 105 95 85 75 65 55 Min-Max 45 学生1 学生3 学生5 学生7 学生9 学生11 25%-75% 学生2 学生4 学生6 学生8 学生10 Median value 11名学生8门课程考试成绩的箱线图

数值型数据的图示 时间序列数据—线图

时间序列数据—线图 (line plot)  绘制线图时应注意以下几点 时间一般绘在横轴，指标数据绘在纵轴  绘制线图时应注意以下几点 时间一般绘在横轴，指标数据绘在纵轴 图形的长宽比例要适当，其长宽比例大致为10：7 一般情况下，纵轴数据下端应从“0”开始，以便于比较。数据与“0”之间的间距过大时，可以采取折断的符号将纵轴折断

时间序列数据—线图 (例题分析) 【例3.5】已知1991～2000年我国城乡居民家庭的人均收入数据如表。试绘制线图 年份 城镇居民 时间序列数据—线图 (例题分析) 【例3.5】已知1991～2000年我国城乡居民家庭的人均收入数据如表。试绘制线图 1991～2000年城乡居民家庭人均收入 年份 城镇居民 农村居民 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 1700.6 2026.6 2577.4 3496.2 4283.0 4838.9 5160.3 5425.1 5854.0 6280.0 708.6 784.0 921.6 1221.0 1577.7 1926.1 2091.1 2162.0 2210.3 2254.4

时间序列数据—线图 (例题分析)

数值型数据的图示 多变量数据—雷达图

多变量数据—雷达图 (radar chart) 显示多个变量的图示方法 在显示或对比各变量的数值总和时十分有用 假定各变量的取值具有相同的正负号，总的绝对值与图形所围成的区域成正比 可用于研究多个样本之间的相似程度

多变量数据—雷达图 (雷达图的制作)  设有n组样本S1，S2，…Sn，每个样本测得P个变量X1，X2，Xp，要绘制这P个变量的雷达图，其具体做法是 先做一个圆，然后将圆P等分，得到P个点，令这P个点分别对应P个变量，在将这P个点与圆心连线，得到P个幅射状的半径，这P个半径分别作为P个变量的坐标轴，每个变量值的大小由半径上的点到圆心的距离表示 再将同一样本的值在P个坐标上的点连线。这样，n个样本形成的n个多边形就是一个雷达图

2000年城乡居民家庭平均每人生活消费支出构成(%) 多变量数据—雷达图 (例题分析) 【例3.6】2000年我国城乡居民家庭平均每人各项生活消费支出构成数据如表。试绘制雷达图。 2000年城乡居民家庭平均每人生活消费支出构成(%) 项 目 城镇居民 农村居民 食品 衣着 家庭设备用品及服务 医疗保健 交通通讯 娱乐教育文化服务 居住 杂项商品与服务 39.18 10.01 8.79 6.36 7.90 12.56 5.17 49.30 5.75 4.52 5.24 5.58 11.18 15.47 3.14

多变量数据—雷达图 (例题分析)

数据类型及图示 (小结)

频数分布的类型

频数分布的类型 右偏分布 左偏分布 对称分布 反J型分布 U型分布 正J型分布 几种常见的频数分布 Shape Concerned with extent to which values are symmetrically distributed. Kurtosis The extent to which a distribution is peaked (flatter or taller). For example, a distribution could be more peaked than a normal distribution (still may be 慴ell-shaped). If values are negative, then distribution is less peaked than a normal distribution. Skew The extent to which a distribution is symmetric or has a tail. Values are 0 if normal distribution. If the values are negative, then negative or left-skewed. 反J型分布 U型分布 正J型分布 几种常见的频数分布

本节小结 数据预处理的内容和目的 品质分布数列的整理与显示方法 变量分布数列的整理与显示方法 用SPSS作频数分布表和图形